3.5.5. Распределения, связанные с равномерным

В начале главы была рассмотрена СВ, все значения которой в интервале равновероятны. ПВ такой величиныимеет вид

Характеристическая функция равномерного распределения равна

а для среднего значения и дисперсии справедливы соотношения

= =и==.

Асимметрия распределения равна 0, коэффициент эксцесса .

С равномерным распределением приходится сталкиваться при изучении ошибок квантования (переход от непрерывного представления величины к дискретному, от аналогового сигнала к цифровому), при описании случайной начальной фазы гармонического колебания и во многих других случаях.

Рассмотрим задачу определения ПВ случайной величины =, где– независимые СВ, каждая из которых подчиняется равномерному распределению на промежутке. Эта задача может быть решена либо последовательным применением свертки, либо с использованием ХФ. При большом числе слагаемых второй способ более предпочтителен. При= 2, используя свертку двух одинаковых равномерных распределений, будем иметь

а ХФ

.

Полученное распределение по понятным причинам называется треугольным, или распределением Симпсона. Для определения среднего и дисперсии можно воспользоваться их свойствами, рассмотренными выше.

Так, математическое ожидание будет равно сумме математических ожиданий слагаемых, т. е. =+=. Дисперсия в силу независимости слагаемых также равна сумме дисперсий слагаемых=+= . Асимметрия распределения равна нулю, а коэффициент эксцесса. С ростом числа слагаемыхраспределение суммы будет достаточно быстро стремиться к нормальному закону

.

Рис. 3.4

Это часто используют при моделировании нормальной СВ. Нужно, однако, помнить, что в отличие от гауссовской, рассматриваемая СВ принимает значения в конечном интервале . На рис. 3.4 приведены графики равномерного распределения (а) и ПВ суммы равномерно распределенных СВ при = 2, 3 (б, в) и . Там же пунктирной линией (для= 3) приведен график аппроксимирующего нормального распределения (г).

Закон арксинуса. Часто приходится рассматривать СВ =, где СВ, распределенная равномерно в интервале .

Пользуясь правилами функционального преобразования СВ, можно показать, что . Функция распределения при этом будет равначто и определяет название распределения.

Характеристическая функция для закона арксинуса

.

Выполняя замену переменной , приходим к интегралу Парсеваля. Следовательно,.

Математическое ожидание равно нулю, а для вычисления дисперсии удобно воспользоваться формулой

= ==.

Распределение Коши. Распределение Коши встречается при решении следующей вероятностной задачи. Пусть из начала координат проведен под случайным углом , равномерно распределенным в интервале, отрезок, пересекающий прямуюв случайной точке (,), рис. 3.5.

Требуется найти ПВ случайной величины . Случайные величиныисвязаны очевидным соотношением. Пользуясь правилами преобразования СВ и учитывая, чтопри=, а, получим окончательно.

Как уже отмечалось, для распределения Коши характерно отсутствие моментов, так как интегралрасходится при любых значениях=1, 2, … .

Характеристическая функция распределения Коши равна

=.

Найдем ПВ суммы =независимых СВ, каждая из которых подчиняется распределению Коши с параметром. Пользуясь методом ХФ, получим, что, а ПВ равна, т. е. распределение Коши с параметром.

Полученный результат определяет устойчивость распределения Коши. В связи с этим дадим определение [2].

Распределение с ХФ называется устойчивым, если для любых,найдутся,> 0 такие, что.

Наш случай соответствует = 0 и=+. Это определение можно сформулировать и в терминах ПВ. Сделать это предлагается читателю.

Гамма-распределение. Случайная величина имеет гамма-распре-деление с параметрами (> 0,> 0), если

Функция распределения равна нулю при , а привыражается через неполную гамма-функцию (см. 6)

.

Характеристическая функция имеет вид

.

Этот результат при целых можно получить без вычисления интеграла с помощью следующих рассуждений. При= 2, 3, …,гамма-распре-деление дает ПВ суммы независимых СВ, подчиненных показательному (экспоненциальному) распределению

,

имеющему ХФ . Учитывая свойство ХФ суммы независимых СВ, получим.

Гамма-распределение при = 1, 2, 3, … называется распределением Эрланга и играет важную роль в теории массового обслуживания и теории надежности. При= ионо дает ПВ длительности интервала времени до появлениясобытий (вызовов, отказов) процесса Пуассона с параметром. Определение процесса Пуассона будет дано далее в разделах, посвященных случайным процессам.

Начальные моменты равны, а дисперсия, асимметрия и коэффициент эксцесса определяются выражениями ,,.

При =и=гамма-распределение превращается в‑распределение сстепенями свободы, играющее важную роль в задачах математической статистики. С ним мы познакомимся позже.

Распределение Лапласа. Плотность вероятности распределения Лапласа, или двойного экспоненциального распределения, имеет вид

= ,.

Функция распределения может быть записана как =прии=при, или окончательно

С помощью несложных вычислений можно найти ХФ для распределения Лапласа

= ,

начальные моменты

,

,

дисперсию , асимметриюи эксцесс.

Бета-распределение. Плотность вероятности случайной величины , принимающей значения на интервалеи имеющей бета-распределение с параметрами>0,>0, может быть записана как

Функция распределения выражается через неполную бета-функцию

(ч. I, гл. 6).

Начальные моменты , откуда для дисперсии, асимметриии эксцесса(а соответственно, и для=– 3) можно получить следующие выражения:

, =,

= .

Характеристическая функция представляется с помощью степенного ряда и здесь не приводится. При целочисленных значениях параметров =и=бета-распределение дает ПВ-й порядковой статистики (-го элемента в вариационном ряду ), полученного путем упорядочивания (ранжирования) исходной выборки, состоящей из независимых и равномерно распределенных на интервалеСВ. При= 1 и=мы имеем распределение наименьшего и наибольшего значений соответственно.

Для ФР наименьшего и наибольшего значений в выборке из независимых СВ с ФРбудем иметь соответственнои. Дифференцируя обе части, записанных равенств по, получими.

Читателю предлагается убедиться в этом. При == 1 бета-распределение совпадает с равномерным, а при==может быть сведено к закону арксинуса.