Математическое ожидание является точкой концентрации значений СВ в том смысле, что среднеквадратический разброс значений СВ относительноминимален. Смысл понятия «среднеквадратический разброс» будет уточнен ниже.

Являясь абсциссой центра тяжести плоской фигуры, ограниченной осью абсцисс и кривой, математическое ожидание характеризует положение ПВ относительно оси ординат. Часто бывает полезно представлениес помощью ФР.

Можно показать ([1][5]), что , т. е. мате-матическое ожидание равно разности площадей, заключенных между осью ординат, прямой= 1 и кривой=в интервале () и между осью абсцисс, кривой=и осью ординат в интервале (). На рис. 3.1 указанные площади заштрихованы и отмечен знак, с которым нужно взять соответствующие площади.

Условное математическое ожидание. Пусть дана условная ПВ . Условным математическим ожиданием СВотносительно значенияСВ, относительно события {=} называется выражение вида. Зависимость от определяет кривую регрессиина. При этом переменную, называют регрессионной переменной, или регрессором, а – откликом. Математическое ожидание может быть определено и для функций СВ , если только существует интеграл, т. е..

Для векторных и матричных СВ (компоненты вектора и элементы матрицы есть СВ) математическое ожидание определяется как вектор или матрица, в которых СВ заменены своими средними значениями, т. е. , где

.

Аналогично определяется математическое ожидание случайной матрицы. Читателю предлагается проверить справедливость приведенной формулы для .

Наряду с начальными моментами , для характеристики СВ используют центральные моменты=. Важнейшим центральным моментом является, называемый дисперсией СВи обозначаемый обычно какили. Корень из дисперсииназывают среднеквадратическим отклонением (значением) СВ. В качестве упражнения рекомендуем доказать, что если существует, то= 0.

Теперь мы можем вернуться к утверждению, что СВ имеет минимальный среднеквадратический разброс относительно математического ожидания . Запишем средний квадрат отклонения СВот некоторого значения

=. Раскрывая скобки и используя обозначения начальных моментов, будем иметь=– 2+. Исследуя данную функциюна экстремум, получим= 0, откуда следует, что=. Вторая производнаяравна 2 > 0 и, следовательно,=соответствует минимуму. Само минимальное значение=равно дисперсии.

Рассмотрим свойства математического ожидания и дисперсии.

1. Математическое ожидание постоянной (детерминированной величины) равно ей самой, а дисперсия равна нулю.

Так как для детерминированной СВ , где значение этой величины, то и.

2. Математическое ожидание суммы любых (зависимых и независимых) случайных величин равно сумме математических ожиданий, так как ==+. Выполняя внутреннее интегрирование в первом слагаемом по, а во втором по, получим

=+=.

3. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т. е. =, так как

===.

4. С учетом свойств 2 и 3 можно утверждать, что математическое ожидание линейной комбинации СВ равно линейной комбинации с теми же коэффициентамиматематических ожиданий, т. е.=. Таким образом, для оператора математического ожидания (статистического усреднения) справедлив принцип суперпозиции, т. е. это – линейный оператор (функционал).

5. Математическое ожидание произведения независимых СВ равно произведению их математических ожиданий, т. е.

= =

=,

так как переменные в последнем двойном интеграле разделяются.

6. Дисперсия суммы или разности независимых СВ равна сумме их дисперсий. Для суммы или разности независимых СВ идисперсия равна

= =

.

Возводя в квадрат и используя введенные обозначения, получим

=+± 2=+,

где – равные нулю первые центральные моменты СВи. Позже мы узнаем, что для справедливости данного результата достаточно некоррелированности СВи.

7. Дисперсия произведения постоянной величины на СВравна. Доказательство этого утверждения тривиально и предоставляется читателю.

8. Дисперсия линейной комбинации попарно независимых СВравна. Рекомендуем доказать это утверждение самим. Чему равна дисперсия суммы или разности зависимых СВ, мы определим позднее.

Совершенно аналогично можно определить моменты (начальные и центральные) для функции СВ, т. е.==и==при условии, что.

Между центральными и начальными моментами существует очевидная связь, определяемая формулой =. Используя обозначенияэто выражение можно переписать в виде

=.

Запишем эту связь для первых четырех центральных моментов, играющих особо важную роль в теории вероятностей и статистике.

=0, ,,

.

На практике обычно используют нормированные моменты , называемый асимметрией, и, именуемый эксцессом.

Асимметрия характеризует несимметричность ПВ относительно математического ожидания [18], рис. 3.2. Эксцесс характеризует удельный вес больших отклонений от математического ожидания или, как говорят в статистике, «тяжесть хвостов» ПВ.

Чаще вместо используют коэффициент=– 3, который позволяет сравнивать данную ПВ с гауссовской, для которой= 3. Иллюстрация этой зависимости представлена на рис. 3.3, заимствованном из [18].

3.2. Квантили

Моменты СВ являются удобным способом описания СВ, если они существуют. Однако СВ может и не иметь моментов. Например, весьма важное для приложений распределение Коши =не имеет моментов, так как интегралрасходится при любых=1, 2, … .

Кроме того, при экспериментальном определении (оценке) моменты оказываются весьма чувствительными к засорению выборки, т. е. появлению в наблюдаемой совокупности чисел, значений другой СВ, обычно сильно отличающихся по своим свойствам от изучаемой СВ (аномальные ошибки). В этих условиях полезным оказывается использование квантилей, к определению которых мы и переходим.

Определение. Квантилью -го порядка, или-квантилью, называют корень уравнения=, обозначаемый как. При использовании ПВопределяется из условия=.

При =квантиль называют медианой и обозначают=. Медиана определяет точку на оси, которая делит значения СВ на две равновероятные половины. Кроме медианы, используюти, которые называются квартилями. В качестве характеристики разброса СВ часто принимается интерквартильный размах или срединное отклонение СВ, равное.

Полезной характеристикой распределения является мода – абсцисса локального максимума ПВ. По числу мод распределения делятся на унимодальные и полимодальные. Абсцисса глобального максимума называется наивероятнейшим значением СВ.

3.3. Числовые характеристики совокупности случайных величин. Корреляционные моменты

По аналогии с моментами одномерной СВ для характеристики совокупности СВ, случайного вектора=, могут быть использованы начальныеи центральныемоменты, определяемые как

= =

и ==

,

где  неотрицательные целые числа. Порядком момента называют величину .

Если все показатели степени , за исключением одного, равны нулю, то приведенные выражения дадут моментыидля СВ. При отличных от нуля показателях степениимы получим характеристику статистической связи СВи:

=.

При == 1 мы приходим к понятию ковариации СВи, характеризующему мерулинейной связи между СВ и:

= = =.

Чтобы исключить зависимость ковариации от величины разброса СВ иотносительно средних значений, ее нормируют относительно их среднеквадратических значенийи, т. е. переходят к безразмерному отношению

=,

называемому коэффициентом корреляции. Если коэффициент корреляции

равен нулю, то СВ иназывают некоррелированными или ортогональными, так как двойной интегралможно рассматривать как скалярное произведение функций =и=, в чем легко убедиться, используя аксиомы скалярного произведения. Тогда, используя неравенство Коши–Буняковского, получаем, что , причем равенствосправедливо, если только

=

или если =, что означает линейную связь между СВи. При этом=, гдеsign – знаковая функция.

Выясним связь между понятиями независимости и некоррелированности СВ. Если СВ инезависимы, то они некоррелированы, так как в этом случае

== === 0.

Обратное утверждение в общем случае не справедливо. Например, если и=, где– СВ, равномерно распределенная в интервале , то ==== 0, =

= === 0, т. е.и некоррелированные СВ, но между ними существует функциональная связь = 1 (не линейная!).