3.5. Числовые характеристики некоторых распространенных распределений случайных величин

Заканчивая знакомство со случайными величинами, рассмотрим основные распределения, описывающие СВ, наиболее часто встречающиеся на практике.

3.5.1. Распределение Бернулли

Распределение Бернулли, введенное в начале гл. 1, пример 1, описывает дискретную СВ, принимающую значение 1 с вероятностью , и значение 0 с вероятностью . Плотность вероятности данной СВ имеет вид

.

Характеристическая функция

=.

Математическое ожидание и дисперсия равны соответственно

= ,=–=–=.

3.5.2. Биномиальное распределение

Биномиальное распределение было достаточно подробно рассмотрено в примере 2 в начале гл. 1. Нам осталось определить только числовые характеристики и ХФ.

Для решения этой задачи будем рассматривать результат (число успехов в серии изпоследовательных испытаний) как сумму независимых СВ, подчиненных распределению Бернулли – принимающих значение 1 (успех в испытании) с вероятностьюи 0 (неудача) с вероятностью, т. е. СВ=, где– независимые СВ, подчиненные распределению Бернулли.

Пользуясь правилами отыскания математического ожидания и дисперсии суммы (с учетом независимости СВ ), получим:

= =и==().

Наивероятнейшее значение находится в интервале. Учитывая независимость слагаемых, ХФ

.

Пользуясь приведенными выше соотношениями, нетрудно найти асимметрию распределения и коэффициент эксцесса. Видно, что с ростом, что свидетельствует о справедливости локальной теоремы Муавра. Причем для величинискорость сходимости к нормальному распределению в смысле, указанном в формулировке теоремы Муавра, зависит от величины, определяющей симметрию биномиального распределения. Скорость сходимости зависит от величины() и будет максимальна при. На практике, еслиудовлетворяет условиям:

() > 9 и,

то для определения вероятности можно пользоваться приближенными формулами вида

=.

Для ФР биномиальной СВ в этих условиях справедливо приближенное представление

,

причем если , то ошибка при использовании нормального распределения вместо биномиального не превосходит 0.05 для всех. В приведенных формулах– интеграл вероятностей, подробно рассмотренный в гл. 6 первой части пособия.

3.5.3. Отрицательное биномиальное распределение (распределение Паскаля)

Случайная величина описывается отрицательным биномиальным распределением с параметрами (,), если

, = 0, 1, 2, …

При натуральном это распределение дает вероятность того, что в схеме последовательных независимых испытаний с вероятностью успехадо получения ровноуспехов пройдетиспытаний. При= 1 данное распределение называют геометрическим. Числовые характеристики СВ, подчиненной отрицательному биномиальному распределению, имеют вид:

= =;=;=;

= .

В качестве упражнения читателю предлагается доказать справедливость формулы для ипри= 1.

3.5.4. Распределение Пуассона

К распределению Пуассона приходят, рассматривая схему последовательных независимых испытаний в условиях, когда вероятность успеха зависит от числа испытаний ипри числе испытаний.

При этом в соответствии с теоремой Пуассона [1]:

,

иными словами, при =, где=– параметр распределения Пуассона.

Рассмотрим конкретный пример, приводящий нас к распределению Пуассона. Пусть на телефонную станцию в случайные моменты времени поступают вызовы, относительно которых мы сделаем следующие предположения:

1. Вероятность поступления вызова в малый интервал пропорциональна величине интервала, не зависит от положения интервала на оси времени и от того, поступил или нет вызов в предшествующем интервале.

2. Считается, что вероятность поступления двух и более вызовов в малый интервал есть, т. е. бесконечно малая более высокого порядка, чем. Таким образом, в пределах промежутка временимы имеем=последовательных независимых испытаний с вероятностью успеха в одном испытании. При сформулированных условиях мы имеем схемупоследовательных независимых испытаний с вероятностью успеха в испытании, гдеимеет смысл среднего числа успехов (вызовов) в единицу времени, а– среднее число успехов за время. Тогда, в соответствии с теоремой Пуассона, вероятность того, что за времяинтересующее нас событие (вызов) будет иметь место ровнораз, равна

= ,= 0, 1, 2, … .

Это распределение и называется распределением Пуассона. Убедимся в том, что для записанного распределения выполняется условие нормировки

.

Характеристическая функция для распределения Пуассона может быть найдена путем подстановки в ХФ биномиального распределения и предельного перехода с учетом того, что. В результате

.

Математическое ожидание СВ, описываемой распределением Пуассона, равно ==. Учитывая, что, ряд в выражении дляестьи поэтому=. С помощью аналогичного приема можно показать, что== =, и следовательно,= =, т. е. пуассоновская СВ имеет

одинаковые математическое ожидание и дисперсию, равные .

Асимметрия и коэффициент эксцесса распределения Пуассона равны соответственно и. С ростомраспределение Пуассона может быть аппроксимировано нормальным и при большихможно пользоваться приближенным выражением

,

где – интеграл вероятности.