![](/user_photo/59031_ixqng.jpg)
- •1 Случайные величины
- •1.1 Определение случайной величины. Функция распределения случайной величины
- •Свойства функции распределения
- •1.2 Случайные величины с дискретным распределением
- •1.3 Случайные величины с непрерывным распределением
- •1.4 Числовые характеристики случайных величин
- •Свойства математического ожидания
- •Свойства дисперсии
- •Начальные и центральные моменты высших порядков
- •2 Основные законы распределения случайных величин
- •2.1 Биномиальный закон распределения случайной величины
- •Библиографический список
- •Содержание
- •1 Случайные величины ………………………………………3
- •1.1 Определение случайной величины. Функция распределения случайной величины ……………………………………………….. –
- •1.2 Случайные величины с дискретным распределением ……......4
- •2 Основные законы распределения случайных
Начальные и центральные моменты высших порядков
Математическое ожидание и дисперсия являются частными случаями общих характеристик случайной величины – начальных и центральных моментов высших порядков.
Начальным
моментом
го
порядка
называется математическое ожидание
случайной величины
:
.
Для случайной величины дискретного типа –
,
(1.10)
для непрерывного типа –
.
(1.11)
Начальный
момент первого порядка является
математическим ожиданием случайной
величины
:
Центральным
моментом
го
порядка
называется
математическое ожидание
й
степени центрированной случайной
величины
:
.
Для случайных величин дискретного и непрерывного типа определяются соответственно по формулам
(1.12)
(1.13)
Центральный
момент второго порядка является
дисперсией случайной величины
:
.
Центральные
моменты третьего и четвертого порядков
позволяют оценить форму распределения.
Параметрами формы называются коэффициенты
асимметрии
и
эксцесса
:
.
(1.14)
Коэффициент
асимметрии
характеризует закон распределения с
точки зрения его симметричности
относительно математического ожидания
[2,4], коэффициент эксцесса
характеризует «островершинность»
распределения относительно нормального
распределения, для которого
[2,4].
Пример 1.9
Дана функция распределения непрерывной случайной величины :
Найти:
1) параметры
и
;
2) плотность распределения
;
построить графики функций
;
3) параметры положения: математическое
ожидание
,
моду
,
медиану
;
4) параметры рассеивания: дисперсию
,
среднее квадратическое отклонение
;
5) параметры формы: коэффициент асимметрии
и коэффициент эксцесса
;
6) вероятность
).
Решение
1)
Функция распределения
непрерывна в точках
Из равенства левосторонних и правосторонних
пределов в этих точках получим систему
уравнений для определения параметров
и
:
Функция распределения имеет вид:
.
Плотность распределения находим по формуле :
.
Графики функций и представлены на рис. 5 и 6.
3)
График функции
симметричен относительно оси
.
Поэтому сразу получаем:
.
Эти характеристики можно найти по определению. Так, по второй формуле (1.8) получим:
Медиану
найдем как корень уравнения:
.
График
функции
имеет два локальных максимума в точках
и
.
Следовательно, распределение имеет две
моды:
,
т.е. является полимодальным.
4) Дисперсию определим по второй формуле (1.9):
.
Среднее
квадратическое отклонение:
5) Находим центральные моменты третьего и четвертого порядков по формулам (1.13):
(проверьте!),
(проверьте!).
Коэффициенты асимметрии и эксцесса вычисляем по формулам (1.14):
Объясните полученный результат с помощью графика плотности распределения случайной величины .
6) Вероятность события найдем по формуле (1.2):
Ответ:
1)
2) рис. 5 и 6; 3)
;
4) 1/3, 0,707; 5)
6) 0,5.