- •1 Случайные величины
- •1.1 Определение случайной величины. Функция распределения случайной величины
- •Свойства функции распределения
- •1.2 Случайные величины с дискретным распределением
- •1.3 Случайные величины с непрерывным распределением
- •1.4 Числовые характеристики случайных величин
- •Свойства математического ожидания
- •Свойства дисперсии
- •Начальные и центральные моменты высших порядков
- •2 Основные законы распределения случайных величин
- •2.1 Биномиальный закон распределения случайной величины
- •Библиографический список
- •Содержание
- •1 Случайные величины ………………………………………3
- •1.1 Определение случайной величины. Функция распределения случайной величины ……………………………………………….. –
- •1.2 Случайные величины с дискретным распределением ……......4
- •2 Основные законы распределения случайных
1.3 Случайные величины с непрерывным распределением
Случайная величина называется непрерывной (случайной величиной с непрерывным распределением), если множество ее возможных значений является промежутком на числовой оси (или вся числовая ось в частном случае) и ее функцию распределении можно представить в виде:
(1.5)
Подынтегральная функция называется плотностью распределения вероятностей, или дифференциальной функцией распределения случайной величины .
Свойства плотности распределения :
1) в точках непрерывности функции ;
2) – условие нормировки; (1.6)
плотность распределения неотрицательна: ;
вероятность попадания в заданный интервал определяется либо по формуле (1.2) через функцию распределения, либо по формуле
(1.7)
Функция распределения непрерывной случайной величины является непрерывной монотонно возрастающей функцией на всей оси.
В отличие от случайных величин дискретного типа для случайной величины с непрерывным распределением вероятность события ( ) равна нулю: Это означает, что для случайной величины с непрерывным распределением неравенства в левой части (1.7) могут быть как строгими, так и нестрогими.
Понятие независимости случайных величин связано с распределением многомерного случайного вектора [2, 7]. По сути, это понятие аналогично ранее введенным понятиям независимости случайных событий и испытаний [2, 8].
Так, две случайные величины и называются независимыми, если для любых вещественных чисел события и являются независимыми, т.е.
.
Отсюда , где – функции распределения случайных величин и соответственно.
Пример 1.3
Плотность распределения случайной величины задана функцией
.
Найти: 1) параметр , 2) функцию распределения , 3) вероятность , 4) построить графики функций и .
Решение
1) Параметр находим из свойства нормировки плотности распределения (1.6):
.
Тогда
2) Функцию распределения находим по формуле (1.5):
а)
б)
в) .
Итак, функция распределения имеет вид
.
3) Вероятность найдем по формуле (1.2):
4) Графики функции распределения и плотности распределения представлены на рис. 3, 4.
Ответ: 1) =2/9; 2) ;
3) =4/9; 4) Рис. 3,4.
1.4 Числовые характеристики случайных величин
Функция распределения полностью характеризует случайную величину . При решении многих практических задач бывает достаточно знать числовые характеристики, которые дают сжатое и наглядное представление о случайной величине. К ним относятся в первую очередь характеристики положения: математическое ожидание, мода, медиана и характеристики рассеивания: дисперсия и среднее квадратическое отклонение.
1. Математическое ожидание – это среднее значение случайной величины (с.в.), определяемое по формулам
. (1.8)
Если множество возможных значений счетно, то в определении (1.8) ряд должен быть сходящимся. Несобственный интеграл в определении (1.8) должен быть абсолютно сходящимся. В противном случае случайная величина не имеет математического ожидания.