- •1 Случайные величины
- •1.1 Определение случайной величины. Функция распределения случайной величины
- •Свойства функции распределения
- •1.2 Случайные величины с дискретным распределением
- •1.3 Случайные величины с непрерывным распределением
- •1.4 Числовые характеристики случайных величин
- •Свойства математического ожидания
- •Свойства дисперсии
- •Начальные и центральные моменты высших порядков
- •2 Основные законы распределения случайных величин
- •2.1 Биномиальный закон распределения случайной величины
- •Библиографический список
- •Содержание
- •1 Случайные величины ………………………………………3
- •1.1 Определение случайной величины. Функция распределения случайной величины ……………………………………………….. –
- •1.2 Случайные величины с дискретным распределением ……......4
- •2 Основные законы распределения случайных
Свойства математического ожидания
Математическое ожидание постоянной равно этой постоянной: .
Постоянный множитель в произведении выносится за знак математического ожидания: .
Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий: .
Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: .
Мода, медиана случайной величины.
Модой случайной величины дискретного типа называется значение случайной величины, принимаемое с наибольшей вероятностью по сравнению с двумя соседними значениями [3], т.е. это наиболее вероятное значение случайной величины. Для непрерывной случайной величины мода – это точка локального максимума плотности распределения .
Так, в примере 1.1 для ряда распределения случайной величины (табл. 5) мода =3, так как значение достигается с наибольшей по сравнению с соседними значениями вероятностью 0,46.
Для распределения примера 1.1 (табл. 6) мода =2, для распределения случайной величины в примере 1.2 (табл. 7) мода =1 (объясните, почему?).
Для непрерывной случайной величины примера 1.3 мода =1, так как функция в точке имеет локальный максимум (рис.4).
Распределения с единственной модой называются унимодальными, с несколькими модами – полимодальными, без моды – антимодальными.
Таким образом, рассмотренные выше распределения (табл. 5, 6, 7) и распределение в примере 1.3 являются унимодальными.
Медианой случайной величины называется такое ее значение , для которого выполняется условие:
.
Медиана определяется только для случайных величин непрерывного типа.
Пример 1.4
Найти медиану распределения случайной величины приведенной в примере 1.3.
Решение
Плотность распределения представлена на рис.3 и имеет вид:
Медиану находим из уравнения
Ответ: 1,879.
2. Дисперсия случайной величины определяется как математическое ожидание квадрата центрированной случайной величины :
(1.9) Дисперсия характеризует разброс возможных значений случайной величины относительно среднего значения, имеет размерность квадрата размерности случайной величины. Для удобства сравнений вводят величину, имеющую ту же размерность, что и случайная величина – среднее квадратическое отклонение: .
Свойства дисперсии
Дисперсия постоянной равна нулю: .
Постоянный множитель в произведении выносится за знак дисперсии в квадрате: .
Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий: .
Замечание.
Распределения непрерывных случайных величин в данной работе не вводятся. Эти распределения предполагают знание распределений многомерных случайных векторов, распределений функций от случайной величины, распределений функций от многомерного случайного вектора. Первоначальное знакомство с указанными разделами предлагается на кафедре в виде самостоятельного изучения и докладов на Неделе науки [2, 7].
Следует отметить, что вышеперечисленные свойства математического ожидания и дисперсии справедливы как для дискретных случайных величин, так и для непрерывных случайных величин.
Пример 1.5
В условиях примера 1.1 найти .
Решение
Ряды распределений случайных величин представлены в таблицах 2, 3 и 5 соответственно.
По первой формуле (1.8) получим
По свойству 3 математического ожидания:
Используя ряд распределения случайной величины (табл.5), можно также получить математическое ожидание по первой формуле (1.8):
.
По первой формуле (1.9) для дисперсии дискретной случайной величины получим
.
.
Используя свойство о дисперсии суммы независимых случайных величин, получим
.
Дисперсию суммы можно получить непосредственно по первой формуле (1.9):
.
Среднее квадратическое отклонение .
Ответ: ; ; ;
; ; .
Пример 1.6
В условиях примера 1.3 найти .
Решение
Плотность распределения вероятностей имеет вид:
.
Математическое ожидание находим по второй формуле (1.8):
Дисперсию находим по второй формуле (1.9):
Среднее квадратическое отклонение:
Ответ: 2; 0,5; 0,71.
Пример 1.7
Дискретная случайная величина задана рядом распределения
Таблица 8
-
2
3
6
7
0,1
0,2
0,3
0,1
Найти значение случайной величины , вероятность , если .
Решение
Сумма вероятностей в ряде распределения равна единице:
0,1 + + 0,2 + 0,3 + 0,1 =1 = 0,3.
По определению математического ожидания дискретной случайной величины имеем:
Ответ: 0,3; 1.
Пример 1.8
Дискретная случайная величина может принимать два значения: и , при этом .
Известны
Построить ряд распределения случайной величины .
Решение
Сумма вероятностей в ряде распределения равна единице:
Для определения значений и используем выражения для дискретной случайной величины (первые формулы (1.7) и (1.8):
Систему решаем методом исключения:
Тогда
По условию . Следовательно, .
Ряд распределения имеет вид:
Таблица 9
-
1
2
0,2
0,8
Ответ: , .