![](/user_photo/59031_ixqng.jpg)
- •1 Случайные величины
- •1.1 Определение случайной величины. Функция распределения случайной величины
- •Свойства функции распределения
- •1.2 Случайные величины с дискретным распределением
- •1.3 Случайные величины с непрерывным распределением
- •1.4 Числовые характеристики случайных величин
- •Свойства математического ожидания
- •Свойства дисперсии
- •Начальные и центральные моменты высших порядков
- •2 Основные законы распределения случайных величин
- •2.1 Биномиальный закон распределения случайной величины
- •Библиографический список
- •Содержание
- •1 Случайные величины ………………………………………3
- •1.1 Определение случайной величины. Функция распределения случайной величины ……………………………………………….. –
- •1.2 Случайные величины с дискретным распределением ……......4
- •2 Основные законы распределения случайных
Свойства математического ожидания
Математическое ожидание постоянной равно этой постоянной:
.
Постоянный множитель в произведении выносится за знак математического ожидания:
.
Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий:
.
Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:
.
Мода, медиана случайной величины.
Модой
случайной величины
дискретного
типа называется значение случайной
величины, принимаемое с наибольшей
вероятностью по сравнению с двумя
соседними значениями [3], т.е. это наиболее
вероятное значение случайной величины.
Для непрерывной случайной величины
мода – это точка локального максимума
плотности распределения
.
Так,
в примере 1.1 для ряда распределения
случайной величины
(табл.
5) мода
=3,
так как значение
достигается с наибольшей по сравнению
с соседними значениями вероятностью
0,46.
Для распределения примера 1.1 (табл. 6) мода =2, для распределения случайной величины в примере 1.2 (табл. 7) мода =1 (объясните, почему?).
Для
непрерывной случайной величины
примера 1.3 мода
=1,
так как функция
в точке
имеет локальный максимум (рис.4).
Распределения с единственной модой называются унимодальными, с несколькими модами – полимодальными, без моды – антимодальными.
Таким образом, рассмотренные выше распределения (табл. 5, 6, 7) и распределение в примере 1.3 являются унимодальными.
Медианой
случайной величины
называется такое ее значение
,
для которого выполняется условие:
.
Медиана определяется только для случайных величин непрерывного типа.
Пример 1.4
Найти медиану распределения случайной величины приведенной в примере 1.3.
Решение
Плотность распределения представлена на рис.3 и имеет вид:
Медиану находим из уравнения
Ответ: 1,879.
2.
Дисперсия
случайной величины
определяется как математическое ожидание
квадрата центрированной случайной
величины
:
(1.9) Дисперсия
характеризует разброс возможных значений
случайной величины относительно среднего
значения, имеет размерность квадрата
размерности случайной величины. Для
удобства сравнений вводят величину,
имеющую ту же размерность, что и случайная
величина – среднее квадратическое
отклонение:
.
Свойства дисперсии
Дисперсия постоянной равна нулю:
.
Постоянный множитель в произведении выносится за знак дисперсии в квадрате:
.
Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий:
.
Замечание.
Распределения
непрерывных случайных величин
в данной работе не вводятся. Эти
распределения предполагают знание
распределений многомерных случайных
векторов, распределений функций от
случайной величины, распределений
функций от многомерного случайного
вектора. Первоначальное знакомство с
указанными разделами предлагается на
кафедре в виде самостоятельного изучения
и докладов на Неделе науки [2, 7].
Следует отметить, что вышеперечисленные свойства математического ожидания и дисперсии справедливы как для дискретных случайных величин, так и для непрерывных случайных величин.
Пример 1.5
В
условиях примера 1.1 найти
.
Решение
Ряды
распределений случайных величин
представлены в таблицах 2, 3 и 5
соответственно.
По первой формуле (1.8) получим
По свойству 3 математического ожидания:
Используя ряд распределения случайной величины (табл.5), можно также получить математическое ожидание по первой формуле (1.8):
.
По первой формуле (1.9) для дисперсии дискретной случайной величины получим
.
.
Используя свойство о дисперсии суммы независимых случайных величин, получим
.
Дисперсию суммы можно получить непосредственно по первой формуле (1.9):
.
Среднее
квадратическое отклонение
.
Ответ:
;
;
;
;
;
.
Пример 1.6
В
условиях примера 1.3 найти
.
Решение
Плотность распределения вероятностей имеет вид:
.
Математическое ожидание находим по второй формуле (1.8):
Дисперсию находим по второй формуле (1.9):
Среднее квадратическое отклонение:
Ответ: 2; 0,5; 0,71.
Пример 1.7
Дискретная случайная величина задана рядом распределения
Таблица 8
-
2
3
6
7
0,1
0,2
0,3
0,1
Найти
значение
случайной величины
,
вероятность
,
если
.
Решение
Сумма вероятностей в ряде распределения равна единице:
0,1
+
+
0,2 + 0,3 + 0,1 =1
=
0,3.
По определению математического ожидания дискретной случайной величины имеем:
Ответ: 0,3; 1.
Пример 1.8
Дискретная
случайная величина
может принимать два значения:
и
,
при этом
.
Известны
Построить ряд распределения случайной величины .
Решение
Сумма
вероятностей в ряде распределения равна
единице:
Для
определения значений
и
используем
выражения для
дискретной случайной величины (первые
формулы (1.7) и (1.8):
Систему решаем методом исключения:
Тогда
По
условию
.
Следовательно,
.
Ряд распределения имеет вид:
Таблица 9
-
1
2
0,2
0,8
Ответ:
,
.