2 курс летняя сессия / Бодунов Физика учебник

Например, электрону, прошедшему ускоряющую разность потенциалов U = 10 В, соответствует длина волны де Бройля 0,388 нм.

Гипотеза де Бройля явилась мощным революционным толчком к развитию новых представлений о природе материальных объектов и привела к созданию квантовой механики.

Опыты по дифракции частиц. Первое экспериментальное подтверждение гипотезы де Бройля было получено в 1927 г. К. Девиссоном и Л. Джермером. Они обнаружили, что пучок электронов, рассеиваясь на кристалле никеля, дает дифракционную картину, совпадающую с картиной рассеяния на кристалле коротковолнового рентгеновского излучения. Кристалл никеля в этих экспериментах играл роль дифракционной решетки. По положению дифракционных максимумов была определена длина волны электронов, которая соответствовала ее длине, вычисленной по формуле де Бройля.

Впоследствии дифракционные явления были обнаружены также для нейтронов, протонов, атомных и молекулярных пучков.

Экспериментальное доказательство существования волновых свойств микрочастиц привело к выводу, что это – универсальное свойство материи. Таким образом, волновыми свойствами должны обладать и макроскопические тела. Однако вследствие большой массы макроскопических тел их волновые свойства не могут быть обнаружены экспериментально. Например, пылинка массой 10–9 г, движущаяся со скоростью 0,5 м/с, имеет длину волны де Бройля порядка 10–21 м, что на одиннадцать порядков меньше размеров атомов. Такая длина волны лежит в области, не доступной для наблюдения. Следовательно, макроскопические тела могут проявлять только корпускулярные свойства.

2.6. Волновая функция. Уравнение Шредингера

Волновая функция. Результаты интерференционных опытов с микрочастицами показывают, что поведение данных частиц носит случайный характер, и, следовательно, их состояние может быть описано с помощью вероятностных методов. В этом заключается важнейшая особенность квантовой механики– раздела физики, в котором изучаются свойства микромира.

Вквантовой механике каждому микрообъекту (например, электрону

ватоме) ставится в соответствие функция координат и времени Ψ(x, y, z, t), которая характеризует состояние микрочастицы, т. е. ее положение, импульс, энергию и т. д. Эту функцию принято называть Ψ-функцией. Она обладает свойствамиклассическихволн, поэтомуназываетсятакжеволновой функцией.

Физический смысл волновой функции заключается в следующем: квад-

рат ее модуля (x, y, z,t) 2 определяет вероятность dW того, что микроча-

60

стица может быть обнаружена в момент времени t в пределах объема dV с координатами x, y и z:

dW (x, y, z,t) 2 dV.

Из этого выражения видно, что 2 dW / dV (т. е. квадрат модуля

волновой функции) есть плотность вероятности (отношение вероятности dW к объему dV) нахождения частицы в данном месте пространства.

Из физического смысла волновой функции следует, что квантовая механика не позволяет определить положение частицы или ее траекторию, но может предсказать, с какой вероятностью частица может быть обнаружена в разных точках пространства.

С помощью волновой функции можно найти средние значения физических величин, характеризующих состояние микрочастицы, – координаты, импульса, энергии и т. д.:

Xср(t) X (x, y, z, t 2 dxdydz,

где X – физическая величина. Так, например, среднее значение радиуса орбиты электрона rср в атоме водорода

rср r 2 dr.

Уравнение Шредингера. Выражение волновой функции находят из уравнения Шредингера (1926 г., Э. Шредингер) – основного уравнения квантовой механики.

В стационарном случае, т. е. когда волновая функция не зависит от времени (Ψ = Ψ(x, y, z)), уравнение Шредингера записывают следующим образом:

2m 2x2 2y2 2z2 U (x, y, z) E ,

где m – масса частицы; U и E – ее потенциальная и полная энергия. Выражение в скобках часто обозначают символом

x22 y22 z22 ,

называемым оператором Лапласа, с помощью которого уравнение Шредингера принимает вид

61

U (x, y, z,t) E . 2m

Таким образом, решив это уравнение, можно найти волновую функцию и с ее помощью определить вероятность нахождения частицы в разных точках пространства, а также средние значения характеризующих ее физических величин.

Квантование энергии. Из уравнения Шредингера и условий, налагаемых на волновую функцию, вытекает важный вывод, что энергия частицы квантуется, т. е. принимает строго определенные значения (собственные значения), совокупность которых (E1, E2,…, En,…) называется спектром энергий. Соответствующие этим значениям энергии волновые функции (Ψ1, Ψ2,…,

Ψn,…) называются собственными функциями.

Так, решение уравнения Шредингера для микрочастицы массой m, находящейся в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме шириной l (рис. 2.5), на границах которой потенциальная энергия U = ∞, а внутри ямы U = 0, приводит к следующему результату.

Собственные волновые функции Ψ(x), определяющие вероятность нахождения микрочастицы в потенциальной яме, имеют вид

где n – целое число, равное 1, 2, 3,…

Соответствующие волновым функциям Ψn собственные значения энергии En оказываются кратными целому числу n:

En 2h2 n2.

2ml2

На рис. 2.5 схематически изображены потенциальная яма, первые три энергетических уровня и плотность вероятности (x) 2 нахождения частицы

в разных точках ямы для n = 1, 2, 3.

Из рисунка видно, что, например, в состоянии с наименьшей энергией (n = 1) частицу с наибольшей вероятностью можно обнаружить в центре ямы, в состоянии с n = 2 – в середине первой и второй частей ямы.

Разность энергий между двумя ближайшими уровнями энергии в яме

En En 1 En 2h2 (2n 1). 2ml2

При больших значениях n (n>>1)

En 2h22 n. ml

62

E |Ψ (x)|2

Оценка этой разности для молекулы водорода H2 (m = 3,34·10–27 кг), находящейся в сосуде с диаметром l = 0,1 м, дает следующий результат:

E 3,142 (6,62 10 34 ) n 1,3 10 40 n Дж 8,1 10 20 n эВ. 3,34 10 27 0,12

Это значение столь мало, что квантование энергии практически не сказывается на характере движения молекулы в сосуде. Действительно, при комнатной температуре (T = 300 К) тепловая энергия молекулы равна примерно kT = 4·10–2 эВ (k – постоянная Больцмана), т. е. во много раз превосходит E, и поэтому учитывать квантовый характер поведения молекулы газа не

имеет практического смысла.

Однако для электрона (me = 9,1·10–31 кг) в атоме водорода (l = 10–10 м) E составляет приблизительно 102n эВ, т. е. становится значительной, и ее необходимо учитывать.

2.7. Принцип неопределенностей Гейзенберга

Экспериментальные исследования свойств микрочастиц показали, что точность определения их координат, энергии, импульсов и т. д. ограничена и регулируется сформулированным в 1927 г. В. Гейзенбергом принципом не-

63

определенности. Согласно этому принципу при одновременном определении (т. е. измерении в один и тот же момент времени) координат и импульса частицы неопределенности координат x, y, z и неопределенности проекций импульса на соответствующие оси координат (x, y и z) px, py, pz связаны неравенствами

x px 2 , y py 2 , z pz 2 ,

получившими название соотношений неопределенностей Гейзенберга.

Данные соотношения надлежит понимать следующим образом: микрочастицы, в принципе, не имеют одновременно точных значений координаты и соответствующей проекции импульса. Это связано не с ограниченной разрешающей способностью приборов и техники эксперимента, а отражает фундаментальный закон природы – двойственность корпускулярно-волновых свойств микрочастиц.

Так как проекция импульса частицы на ось x составляет px = m vx , со-

отношение неопределенностей Гейзенберга для координаты х и импульса можно переписать в виде

x vx 2m .

Следовательно, чем больше масса m частицы, тем меньше неопределенности ее координаты хиимпульса рх и темс большейточностью к этой частице применимо понятие траектории.

Аналогичные соотношения справедливы для энергии частицы и ее импульса:

E t 2h .

Здесь E – неопределенность энергии системы в данном состоянии; t – интервал времени (время жизни), в течение которого это состояние существует.

64

В рамках этой модели результаты опытов Резерфордаобъясняются следующим образом. Угол рассеяния α-частицы зависит от расстояния, на котором она пролетает вблизи ядра. Поскольку масса α-частицы почти в 2000 раз больше массы электрона, при прохождении через ее электронное облако эти частицы почти не отклоняются от первоначального направления, т. е. не рассеиваются. При пролете на малых расстояниях от ядра α-частица испытывает большую силу кулоновского отталкивания от массивного положительно заряженного ядра и поэтому рассеивается на больший угол. Так как размер ядра значительно меньше размера атома, число α-частиц, рассеянных на большой угол, значительно меньше числа α-частиц, прошедших фольгу без рассеяния.

Воспользовавшись законом Кулона, Э. Резерфорд получил формулу, связывающую число α-частиц, рассеянных на некоторый угол, со скоростью α-частиц и зарядом ядра. Результаты опытов полностью подтвердили ее справедливость, позволили оценить размер ядра и послужили важным доказательством правильности ядерной модели атома.

Однако некоторые экспериментальные факты и представления классической физики вошли в противоречие с предложенной моделью. Так, электрон, вращающийся вокруг ядра по круговой орбите радиусом r, движется с центростремительным ускорением v2/r, сообщаемым кулоновской силой. Согласно классической электродинамике ускоренно движущиеся заряженные частицыдолжныизлучатьэлектромагнитныеволны ивследствиеэтогонепрерывно терять энергию. В результате электроны должны приближаться к ядру и в конце концов упасть на него. Однако атом остается стабильным.

В соответствии со вторым законом Ньютона для электрона, движущегося в кулоновском поле ядра с зарядом Ze (Z – порядковый номер элемента в Периодической системе элементов Менделеева) по окружности радиусом r, справедливо равенство

Ze2 mev2 , 4 0r2 r

где тe – масса электрона; 0 – электрическая постоянная.

Согласно этому уравнению существует бесчисленное множество допустимых значений радиуса и соответствующих ему значений скорости (а значит, и энергии). Следовательно, при переходе электрона с орбиты на орбиту может испускаться в виде волны любая, а не вполне определенная порция энергии, т. е. спектры атомов должны быть сплошными. В действительности же атомы имеют линейчатый спектр.

Попытки построить модель атома в рамках классической физики не привели к успеху. Преодоление возникших трудностей потребовало создания квантовой теории атома.

66

Линейчатый спектр атома водорода. Спектры излучения разрежен-

ных газов(т. е. индивидуальных атомов) имеют линейчатую структуру, состоящую из отдельных спектральных линий. Самым простым и наиболее изученным является спектр атома водорода – самого простого атома, состоящего из ядра и одного электрона.

И. Бальмер подобрал эмпирическую формулу (обобщенная формула Бальмера), описывающую все известные в то время спектральные линии атома водорода в видимой области спектра:

R m12 n12 , n m,

где R = 3,29·1015 с–1 – постоянная Ридберга; n и m – целые числа. Разным m соответствуют разные спектральные серии: при m =1

– серия Бальмера (видимая область спектра), при m = 3

R 12 12

3 n

–инфракрасная серия Пашена и т. д.

Сувеличением n (номер линии в серии) расстояние (энергетический зазор) между линиями в каждой серии уменьшается.

Постулаты Бора. В 1913 г. Н. Бор построил первую качественно новую, квантовую, теорию атома. В основе теории Бора лежат два постулата.

Первый постулат Бора (постулат стационарных состояний). В атоме существуют стационарные (не изменяющиеся со временем) состояния – орбиты электронов, движение по которым не сопровождается излучением электромагнитных волн. Эти орбиты выделяются среди других тем, что на них электрон в атоме водорода имеет строго определенные дискретные (квантовые) значения момента импульса

L mvr n 2h n .

67

Здесь n = 1, 2, 3, … Соответственно энергия электрона на каждой из этих орбит имеет определенное значение Еn. Другие значения энергии невозможны.

Второй постулат Бора (правило частот). При переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую атом излучает (или поглощает) один фотон с энергией

h En Em ,

где Еn и Em – энергии стационарных состояний атома.

Переход атома из состояния с большей энергией в состояние с меньшей энергией (Еm < Еn), т. е. переход электрона с более удаленной от ядра орбиты на более близкую, сопровождается излучением фотона. Переход атома в состояние с большей энергией (Еm > Еn), т. е. переход электрона на более удаленную от ядра орбиту, характеризуется поглощением фотона. Совокупность дискретных частот = (En – Em)/h квантовых переходов и определяет линейчатый спектр атома.

Боровская теория атома водорода. Сформулированные Бором посту-

латы позволили вычислить радиусы разрешенных орбит и энергию электрона на них для атома водорода (Z = 1). Решая систему из двух уравнений, первое из которых представляет собой уравнение движения электрона по круговой орбите радиусом r, записанное на основе второго закона Ньютона, а второе – первый постулат Бора,

получаем радиусы стационарных орбит электрона

Радиус первой орбиты атома водорода (r1 = a0 = 0,528·10–10 м) назы-

вается боровским радиусом.

Полная энергия электрона в атоме водорода есть сумма его кинетической и потенциальной энергии:

68

в задачах атомной и ядерной физики единица измерения энергии электронвольт (эВ). 1 эВ – величина, численно равная работе по перемещению элементарного заряда е между точками с разностью потенциалов U = 1 В:

1 эВ = e∆U = 1,6·10–19 Кл·В = 1,6·10–19 Дж.

Из формулы энергии электрона в атоме следует, что энергия состояния атома зависит от значения n. Целое число n называется главным квантовым числом. Энергетическое состояние с n = 1 называется основным состоянием, состояния с n > 1 – возбужденными.

Изменяя значения n, получаем возможные уровни энергии атома водорода (Z = 1). С увеличением n энергия атома водорода возрастает, оставаясь отрицательной, и при n→ энергетические уровни приближаются к границе – значению E∞ = 0. Таким образом, атом водорода имеет минимальную энергию(E1 = –13,6 эВ) в основномсостоянии (n = 1) и максимальную(Е = 0) при n = . Значения Е ≥ 0 соответствуют ионизированному атому – отрыву от него электрона. При положительных значениях энергии электрон становится свободным (радиус орбиты бесконечен).

Согласно второму постулату Бора переход атома водорода (Z = 1) из возбужденного стационарного состояния n в стационарное (возбужденное или основное) состояние т с меньшей энергией сопровождается испусканием кванта с частотой

Эта формула совпадает с обобщенной формулой Бальмера и описывает все известные спектральные линии атома водорода (рис. 3.2, сплошные стрелки, направленныевниз, соответствуютизлучению, штриховые– поглощению).

В основном состоянии (n = 1) электрон имеет наименьшее значение

полной энергии Е1 = –hR = –13,6 эВ и наименьшее значение радиуса орбиты a0 = 0,528·10–10 м.

К серьезным недостаткам теории Бора следует отнести невозможность объяснить интенсивность спектральных линий и описать спектры других атомов кроме атома водорода, в том числе и атома гелия (Z = 2) – атома, следующего в Периодической системе элементов Менделеева за атомом водорода и имеющего два электрона в электронной оболочке ядра.

69