2 курс летняя сессия / Бодунов Физика учебник

висимо друг от друга. Начальные фазы световых волн, испускаемых атомами, произвольны и хаотически меняются от атома к атому. Таким образом, два обычных источника света (например, две электрические лампочки) испускают некогерентные волны. У колебаний таких волн при наложении их друг на друга быстро и беспорядочно меняется разность фаз, что воспринимается глазом как равномерная освещенность (при усреднении по времени среднее значение cos равно нулю, следовательно, I = I1 + I2). Только в лазере, в котором используется вынужденное излучение, все возбужденные атомы излучают электромагнитные волны согласованно.

Для создания интерференционной картины необходимо иметь когерентные световые пучки, для получения которых применяют разные методы. До появления лазеров для наблюдения интерференции когерентные пучки получали разделением и последующим сведением световых лучей, исходящих из одного и того же источника. Практически это можно осуществить с помощью экранов и щелей, зеркал и преломляющих тел. Например, когерентные световые волны можно получить, разделив волну, излучаемую одним источником, на две.

Наиболее простым примером использования этого метода является опыт Юнга с двумя щелями, в котором впервые была измерена длина световой волны.

Опыт Юнга. Источником света в этом опыте служит ярко освещенная щель S (рис. 1.14). Световая волна, исходящая из источника S, падает на две узкие равноудаленные щели S1 и S2, параллельные S. Щели S1 и S2 играют роль когерентных источников.

Э

P

S1

S

S2

Рис. 1.14

Интерференционная картина наблюдается на экране Э, расположенном на некотором расстоянии параллельно щелям S1 и S2. Расположение максимумов и минимумов интерференции на экране определяется оптической разностью хода = L2 – L1 ( рис. 1.15).

20

Пусть плоская монохроматическая волна падает под углом iп на плоскопараллельную прозрачную пленку с показателем преломления п и толщиной d (рис. 1.16).

O

Рис. 1.16

На поверхности пленки в точке А луч разделяется на два: отраженный от верхней поверхности пленки и преломленный. Преломленный луч, дойдя до точки О, частично преломляется в воздух (п0 = 1), а частично отражается в направлении точки С. В ней он снова частично отражается (все следующие после отражения в точке С лучи имеют малую интенсивность по сравнению с лучами 2ʹ и 1ʹ, и их в дальнейшем не рассматриваем) и частично преломляется, выходя в воздух под углом iп. В точке С на поверхность пленки падает луч 2. Вышедший из пленки луч 1' и отраженный от ее поверхности луч 2' накладываются друг на друга. В результате возникает интерференционная картина, которая определяется оптической разностью хода = L1 – L2 между интерферирующими лучами.

Оптическая длина пути лучей 1 и 2 от волновой поверхности падающей плоской волны АВ равна

22

Добавка к оптическому пути L2, равная 0/2, обусловлена потерей полуволны при отражении света в точке С от оптически более плотной среды (среды с большим показателем преломления, n > 1) в среду, менее плотную (показатель преломления окружающей пленку среды принимается равным единице). При таком отражении световая волна меняет фазу колебания на противоположную, т. е. на π. Такое изменение фазы соответствует «пробегу» волной дополнительного расстояния λ0/2 (как говорят, свет при отражении «теряет половину длины волны»). Таким образом, добавляя (или вычитая) половину длины волны (в вакууме) к разности хода лучей 1 и 2, учитываем изменение фазы колебания луча 2ʹпри отражении в точке С.

Отсюда оптическая разность хода

Если на пластинку постоянной толщины d свет падает под разными углами iп, то результат интерференции отраженных лучей будет зависеть только от угла падения iп (поскольку в этом случае разность хода зависит только от iп). Рассматривая пластинку, можно увидеть систему светлых и темных полос. Каждая интерференционная полоса соответствует лучам света, падающим под одинаковыми углами, и поэтому картина интерференции в этом случае называется полосами равного наклона.

При постоянных угле падения iп и показателе преломления разность хода (и, следовательно, результат интерференции) зависит только от толщины пластинки d. Поэтому на пластинке переменной толщины (например, клин) возникает система интерференционных полос, соответствующих определенным значениям ее толщины d. Наблюдаемая в этом случае картина интерференции называется полосами равной толщины.

Кольца Ньютона. Положим на плоскую отшлифованную стеклянную пластинку С плосковыпуклую линзу L (рис. 1.17). Между ними образуется очень тонкая воздушная прослойка (на рисунке заштрихована), толщина которой возрастает от точки соприкосновения линзы с плоскостью (точка А) по направлению к ее краям.

23

L

C A

Рис. 1.17

При освещении линзы сверху пучком параллельных лучей с длиной волны λ0 интерферируют лучи, отразившиеся от верхней и нижней границ воздушной прослойки (например, лучи 1 и 2). При отражении от других поверхностей интерференционные полосы не возникают вследствие большой толщины пластинки и линзы.

В точке А толщина воздушной прослойки мала даже по сравнению с длиной световой волны. Для лучей, отразившихся вблизи данной точки, разность хода обусловливается только потерей полуволны λ0/2 лучом, отраженным на нижней границе прослойки от поверхности стекла как от среды, оптически более плотной. Поэтому лучи, отразившиеся в точке А, гасят друг друга, и при взгляде сверху в этой точке наблюдается темное пятно. По мере удаления к краям линзы (с увеличением толщины воздушного слоя) возрастет разность хода интерферирующих лучей, причем области пространства, соответствующие одинаковой толщине слоя, располагаются на одинаковом расстоянии от ее центра. Поэтому в отраженном свете наблюдаются чередующиеся концентрические светлые и темные кольца, окружающие центральное темное пятно. Каждому кольцу соответствует определенная толщина воздушного слоя. Таким образом, получаем интерференционную картину с полосами равной толщины, называемую кольцами Ньютона.

Радиус r колец Ньютона определяется расчетным путем. На рис. 1.18 изображена сфера, частью которой является плосковыпуклая линза L. Радиус кривизны линзы R = |OA|.

Ввиду малой кривизны поверхности линзы можно считать, что угол преломления луча на границе линзы и воздушного зазора равен нулю, т. е. воздушный зазор можно уподобить плоскопараллельной пластинке. Поэтому воспользуемся приведенной ранее формулой

2d n2 sin2 iп 20 .

24

1.4. Дифракция света

Принцип Гюйгенса–Френеля. Дифракцией света называется совокуп-

ность явлений, обусловленных волновой природой света и наблюдаемых при прохождении его через оптические среды с четко выраженными неоднородностями, – отверстиями, препятствиями, размеры которых соизмеримы с длиной световой волны. К явлению дифракции относится огибание препятствий световыми волнами.

Для объяснения дифракции иопределения интенсивности световой волны, распространяющейся в среде с препятствиями, применяются методы, основанные на принципе Гюйгенса–Френеля, в соответствии с которым:

а) каждая точка фронта световой волны является источником вторичных сферических волн, новый фронт волны представляет собой поверхность, огибающую эти фронты;

б) источники вторичных волн, которые расположены на поверхности фронта волны, являются когерентными, и указанные волны интерферируют между собой.

С помощью этого принципа можно объяснить закон прямолинейности распространения света и равенство углов падения и отражения при его отражении.

Пусть S – поверхность волнового фронта (рис. 1.19). Каждый элемент такой поверхности служит источником вторичной сферической волны, амплитуда которой пропорциональна площади dS элемента.

Для сферической волны амплитуда убывает с увеличением расстояния r от источника как 1/r.

n

dS

r

P

S

Рис. 1.19

Таким образом, от каждого элемента dS волновой поверхности в точку Р приходят колебания

26

dE K ( ) Ar cos( t kr)dS,

где AdS – пропорциональная площади dS амплитуда колебаний вектора напряженности электрического поля (светового вектора) в точке волновой поверхности, в которой расположен элемент dS; K( ) – коэффициент, который

уменьшается с увеличением угла φ между нормалью n к площадке dS и направлением от dS к точке наблюдения Р. Результирующее колебание в точке Р можно найти, вычислив интеграл (интеграл Френеля) по всей волновойповерхности S:

E K( ) A cos( t kr)dS.

S r

Это соотношение – аналитическое выражение принципа Гюйгенса– Френеля.

Расчет интерференции вторичных волн в общем случае довольно сложен. Однако для ряда задач нахождение амплитуды результирующего колебания оказывается возможным с помощью алгебраического или геометрического суммирования.

Метод зон Френеля. Для определения результирующей амплитуды всех волн в точке наблюдения Френель предложил метод разбиения волновой поверхности на кольцевые зоны, называемые зонами Френеля.

Рассмотрим применение этого метода в случае плоской волны. Пусть плоский фронт волны F в некоторый момент времени находится на расстоянии |OP| = b от точки наблюдения Р (рис. 1.20). Все точки фронта волны согласно принципу Гюйгенса–Френеля испускают вторичные сферические волны, которые распространяются по всем направлениям и через некоторое время достигают точки наблюдения Р. Результирующая амплитуда колебаний в этой точке определяется векторной суммой амплитуд всех вторичных волн.

Поскольку волновой фронт F плоский, колебания всех его точек имеют одинаковое направление и происходят в одной фазе. Вместе с тем все точки фронта F находятся на разном расстоянии от точки Р. Выбирая точку Р в качестве центра, строим ряд концентрических сфер, радиусы которых начинаются с b и увеличиваются последовательно на половину длины волны λ/2. При пересечении с фронтом волны F эти сферы образуют на нем концентрические окружности, и на данном фронте появляются кольцевые зоны (зоны Френеля) с радиусами ρ1, ρ2, ρ3, … На рис. 1.20 изображение зон Френеля развернуто на 90° так, как они выглядят из точки Р.

Так как |OA| = ρ1, |OA|2 = |AP|2 – |OP|2, b , радиусы зон Френеля равны

27

…………………………….

Таким образом, радиус k-й зоны Френеля

F

Рис. 1.20

Амплитуды колебаний от зон Френеля пропорциональны их площадям. Площадь первой зоны (круг)

S1 12 b ,

площадь второй зоны (кольцо)

S2 22 12 b ,

площадь третьей зоны (кольцо)

S3 32 22 b ,

……………………..

28

Следовательно, площади зон Френеля примерно одинаковы и равны

Sk b .

Согласно принципу Гюйгенса–Френеля каждая зона Френеля служит источником вторичных волн. Их амплитуды примерно одинаковы, так как площади зон равны. При этом колебания, возбуждаемые в точке Р двумя соседними зонами, противоположны по фазе, поскольку разность хода соответствующих волн от этих зон до точки наблюдения Р равна λ/2. Поэтому при сложении в точке Р колебания от соседних зон должны ослаблять друг друга. В связи с этим амплитуда А результирующего колебания в точке Р может быть записана в виде знакопеременного ряда

A A1 A2 A3 A4 ,

где Аk – амплитуда колебания в точке P, возбуждаемого действием k-й зоны Френеля. В этом выражении все амплитуды от нечетных зон входят со знаком «плюс», а от четных – со знаком «минус».

Расстояние от k-й зоны до точки P медленно возрастает с увеличением номера зоны k. Следовательно, амплитуды Аk монотонно убывают с увеличением k и образуют монотонно убывающую последовательность

A1 A2 A3 Ak 1 Ak Ak 1

Вследствие монотонного и медленного убывания Ak можно с высокой степенью точности положить, что амплитуда колебаний от зоны с номером k равна среднему арифметическому амплитуд колебаний от двух соседних зон Френеля:

Представляя нечетные амплитуды в виде полусуммы: Аk = Аk/2 + Аk/2, записываем выражение амплитуды результирующего колебания в виде

Согласно предыдущей формуле все выражения в круглых скобках равны нулю, так что

A A21 ,

т. е. результирующая амплитуда, создаваемая в точке наблюдения Р всей поверхностью волнового фронта F, равна половине амплитуды, создаваемой

29