Задача 4. Решение общих задач линейного программирования - задачи симплексного типа.

Постановка задачи. Определить оптимальное сочетание отраслей сельскохозяйственного производства, обеспечивающего максимум стоимости товарной продукции. Ресурсы хозяйства, а также нормативные показатели отраслей приведены в таблице.

Таблица - Исходные данные к задаче

№	Показатели	Ед. изм.	Нормативные показатели отраслей				Общий ресурс населённого пункта
			Зерновые		Кормовые	Поголовье коров
			Продовольственные	Фуражные
			га	га	га	гол
			Х1	Х2	Х3	Х4
1	Площадь пашни	га	1	1	1			3350
2	Площадь сенокосов и пастбищ	га						450
3	Затраты труда	чл. час.	92	85	130	170		250050
4	Уражайность	Ц к.е.	30	30	88
5	Нормы корм.	Ц к.е.				54
6	Стоимость товарной продукции	Тыс. Руб.	4,2			30

Порядок выполнения задачи

1. Описание основных переменных:

х1 – площадь зерновых продовольственных, га

х2 – площадь зерновых фуражных, га

х3 – площадь кормовых культур, га

х4 – поголовье коров, гол.

2. Целевая функция:

Максимум стоимости товарной продукции, тыс. руб. При формировании целевой функции необходимо учесть урожайность зерновых продовольственных культур, продуктивность коров и цены на продукцию:

4,2х1 + 30х4 → max

3. Система ограничений:

3.1. Ограничение по использованию площади пашни, га: х1 + х2 + х3 ≤ 3350;

3.2. Ограничение по использованию трудовых ресурсов, чел. час.:

52х1 + 85х2 + 130х3 + 170х4 ≤ 250050;

3.2. Ограничению по производству и потреблению кормов, ц к.е.

Составим ограничение по балансу кормов, исходя из того, что

потребление корма ≤ производство корма

При составлении ограничения учитываются нормы кормления и поголовье животных, урожайность и площади посева кормовых культур, а также питательность различных видов кормов:

потребление корма = 54*х4

производство корма=30х2 +88х3 +10*450

54*х4 ≤ 30х2 +88х3 +10*450

При построении ограничений необходимо помнить, что в окончательной записи ограничения преобразуются к стандартной форме: все неизвестные с коэффициентами должны находиться в левой части ограничения и располагаться по возрастанию индексов переменных, а в правой части ограничения стоит значение константы (ресурса), а при его отсутствии - ноль.

54х4 ≤ 30х2 +88х3 + 4500

-30х2 - 88х3 + 54х4 ≤ 4500

4. Составим экономико-математическую модель задачи (табл. 10).

Таблица - Экономико-математическая модель задачи

№	Показатели	Коэффициенты при основных переменных					Тип огр.		Общий ресурс населённого пункта
		Зерн товар, га Х1	Фураж, га Х2	Кормовые, га Х3	Поголовье коров, гол Х4
1	Площадь пашни	1	1	1		≤		3350
2	Трудовые затраты	92	85	130	170	≤		250050
3	Баланс кормов		-30	-88	54	≤		4500
Z	Стоимость товарной продукции	4,2	0	0	30	→		Max

Расчет по программе SIMP_DEL

5. Каноническая форма записи задачи:

1. х1 + х2 + х3 + х5 = 3350

2. 92х1 + 85х2 + 130х3 + 170х4 +х6 = 250050

3. - 30х2 - 88х3 + 54х4 + х7 = 4500

4,2х1 + 0*х2 + 0*х3 + 30х4+0*х5+0*х6 + 0*х7 → max

6. Описание дополнительных переменных:

х5 (в огр. 1) - недоиспользованная площадь пашни, га

х6 (в огр. 2) – недоиспользованный труд, чел. Час

х7 (в огр. 3) – недоиспользованные корма, ц к.е.

7. Запись математической формулировки задачи в структурном виде

Введем следующие обозначения:

Хj(j∈Q1) – площади посевов сельскохозяйственных культур;

Q1 – множество площадей посевов сельскохозяйственных культур;

хj(j∈Q2) – поголовье видов и групп скота;

Q2 – множество видов и групп скота.

1). По использованию площади пашни, га:

≤ Р₁, где i∈M₁, M₁ – множество видов пашни;

2). По использованию трудовых ресурсов, чел. час.:

, где i∈M₂, M₂ – множество видов труда;

t_ij – норма затрат i-го вида труда на единицу j-ой отрасли (на 1га посева сельскохозяйственной культуры или на 1 голову скота);

Т _i – общий объем трудовых ресурсов в хозяйстве, чел.час.

3). Баланс кормов:

−∑yij x j +∑nij xj ≤Ai ; i ∈M3 , М3 – множество видов кормов; j∈Q1 j∈Q2

Ai – страховой запас корма i-го вида, где

y_ij – выход i-го вида корма с 1га j-ой кормовой культуры; n_ij – норма кормления i-ым видом корма j-го вида скота;

Целевая функция:

Z = ∑^c j ^x j → max,

j∈Q₁Q₂

где c_j – стоимость товарной продукции, получаемой с единицы отрасли.

Алгоритм симплекс-метода Опорное решение задачи определяется следующим образом: все основные и избыточные переменные приравниваются нулю, а остаточные и искусственные приравниваются правым частям ограничений.

Таким образом, мы сразу получаем первое опорное решение. Дальнейший процесс решения задачи проводят в симплексных таблицах.

Первая симплексная таблица соответствует первому опорному решению.

Построение первой симплексной таблицы

Первая – третья строки таблицы содержат коэффициенты замещения это соответствующие коэффициенты при неизвестных канонического представления ограничений модели и целевой функции.

Таблица – симплексная таблица

№ п/ п	Баз. переменные	№ огр	Оценка цел. Функций Ci	Сj		4,2		0		0			30			0			0			0			∑			Контроль
					Значение баз. пер. Аio		Коэффициенты замещения																										Частное деление
							х1		х2			х3			х4			х5 (1)			х6 (2)			х7 (3)
1.	х5	(1)	0	3350		1		1			1						1									3354			3354
2.	х6	(2)	0	250050		92		85			130			170						1						250527			250 527			2032,5
3.	х7	(3)	0	4500				-30			-88			54									1			4436			4436			74,63 мин
4.	Zj-Cj			0		-4,2		0			0			-30			0			0			0			-34,2			-34,2			-
1.	Х5	(1)	0	3350		1		1			1			0			1			0			0			3354			3354			3354
2.	Х6	(2)	0	240870,556		92		156,333			226,389			0			0			1			-2,278			241344			241344			1365,3 мин
3.	Х4	(3)	0	74,63		0		-0,559			-0,759			1			0			0			0,019			74,334			74,334			-
4.	Zj-Cj	0		2288,889		-4,2		-12,035			-15,0			0			0			0			0,556			2208,21			2208,21			-
1.	х5	(1)	0	2770,490		0,774		0,559			0			0			0			-0,002			0,008			2771,829			2771,829			4878,9
2.	Х3	-	0	579,513		0,226		0,441			0			0			0			0,002			-0,008			580,174			580,174			2264,8
3.	Х4	-	0	1027,730		0,368		0,163			0			0			0			0,004			0,006			1028,271			1028,271
4.	Zj-Cj	0		30831,756		6,850		4,886			0			0			0			0,120			0,177			30843,789			30843,789

Элементы индексной строки вычисляются по формуле:

Индексная строка (строка целевой функции) - содержит коэффициенты при неизвестных канонического представления целевой функции. Коэффициенты индексной строки вычисляются по формуле:

Z j −C j =∑Ci Aij −C j , где

C_j, j=0, 1,2,…7 – коэффициенты при соответствующих переменных целевой функции в каноническом виде.

C_i - оценка целевой функции;

A_ij - коэффициенты ограничений;

Если среди дополнительных переменных есть только

остаточные, то Z_j−C_j=₋C_j, т. к. C_i=0

т. е. каждый j-ый элемент индексной строки равен взятому

с обратным знаком коэффициенту при соответствующей переменной в целевой функции.

Значение целевой функции при этом равно 0, Z₀ −C₀ = 0.

В столбце сумма находится сумма значений всех коэффициентов, начиная со столбца свободных членов.

первый столбец – нумерация ограничений;

второй столбец содержит набор базисных переменных;

третий столбец – номер ограничения для дополнительной переменной;

четвёртый столбец – оценка целевой функции: оценка целевой функции равна соответствующим коэффициентам при базисных переменных целевой функции в каноническом представлении;

пятый столбец – значения базисных переменных (A_io). Столбец свободных членов формируется из правых частей исходной системы ограничений (значения базисных переменных A_io).

Шестой – двенадцатый столбцы таблицы содержат коэффициенты при неизвестных канонического представления ограничений модели и канонического представления целевой функции.

Тринадцатый столбец – представляет собой сумму коэффициентов с 5 по 12 столбец.

Четырнадцатый столбец будет вычисляться для контроля, начиная со второй итерации по общему правилу вычисления всех элементов таблицы.

Решение оптимально, когда все элементы индексной строки положительны в задачах на максимум; (отрицательны в задачах на минимум).

В каждой итерации одна переменная вводится в базис – у которой в индексной строке наибольший по абсолютной величине отрицательный элемент (в задачах на минимум – наибольший положительный элемент). Соответствующий столбец называется ключевым (главным, разрешающим).

Увеличивая соответствующую небазисную переменную, вводя ее в базис, мы увеличиваем значение Z. Для определения выводимой из базиса переменной поочередно разделим значения элементов столбца свободных членов A_io на соответствующие положительные элементы ключевого столбца Aio/Aiкл..

Контроль вычислений

По результатам проделанной работы необходимо произвести контроль вычислений.

Для контроля вычислений необходимо следить за тем, чтобы:

- сходились пять значащих цифр в значениях соответствующих элементов в столбце

сумма и в столбце контроль;

- значение целевой функции при переходе от итерации к итерации должно

увеличиваться при решении на максимум.

Данные требования были выполнены.

Вывод

После проделанной работе необходимо заключить, что оптимальный план симплекс-таблиц выглядит следующим образом:

X₁=0, x2=0, x3=579,513, x4=1027,730

Z=4,2*0+30*1027,730=30831,9

Анализ оптимального плана

Из расчетов следует, что при реализации плана имеется недоиспользованная площадь пашни в количестве 2770,490.

Значение 6,850>0 в столбце х1 означает, что использование х1 – не выгодно.

Значение 4.886 в столбце х2 означает, что задействована не вся площадь зерновых фуражных культур х2.

Значение 0 в столбце х3 означает, что задействована вся площадь кормовых культур.

Значение 0 в столбце х4 означает, что использование поголовья коров- выгодно.

Задача 5. Оптимизация строительства жилых и нежилых помещений в поселении. Разработка модели общей задачи линейного программирования. Построение матрицы экономико-математической модели задачи для решения на ПЭВМ по программе «SIMPL».

Постановка задачи. Населённый пункт предполагает осуществить значительные капитальные вложения в новые застройки с целью получения максимального дохода от сдачи помещений и сооружений различного вида в аренду. При этом надо учесть, что площадь под жилыми коттеджами не должна превышать 30% от площади под жилыми многоэтажными зданиями. Площадь под магазинами и складскими помещениями должна быть в пределах 4-8% от площади под жилыми многоэтажными зданиями. Площадь под складскими помещениями должна быть не менее 80% от площади под магазинами. Допускается постройка не более двух заправочных станций.

Таблица – Исходные данные к задаче для разработки модели

Показатели	Ед. изм.	Нормативы для построек разных типов						Затраты		Общий ресурс населённого пункта
		(ед. затрат / одна постройка)
		Жилые многоэтажные здания	Жилые коттеджи	Магазины	Складские помещения	Заправочные станции
Площадь выделяемых земель на одну постройку	м2	650	100	200	250	1000			50000
Денежные затраты на 1м2	тыс. руб.	25	60	30	70	70			150000
Трудовые затраты на 1 м2	чел. дн.	5	15	10	8	12			12000***
Чистый доход, получаемый от использования 1 м2	тыс. руб.	9	14	44	35*	69**

Была проведена индивидуальная корректировка задания:

*) +N где N = 8

**) - N;

***) -100* N.

Таблица – Скорректированные данные к задаче для разработки модели

Показатели	Ед. изм.	Нормативы для построек разных типов						Затраты		Общий ресурс населённого пункта
		(ед. затрат / одна постройка)
		Жилые многоэтажные здания	Жилые коттеджи	Магазины	Складские помещения	Заправочные станции
Площадь выделяемых земель на одну постройку	м2	650	100	200	250	1000			50000
Денежные затраты на 1м2	тыс. руб.	25	60	30	70	70			150000
Трудовые затраты на 1 м2	чел. дн.	5	15	10	8	12			11200***
Чистый доход, получаемый от использования 1 м2	тыс. руб.	9	14	44	43*	61**

1. Описание основных переменных:

Х1 – Жилые многоэтажные здания, шт.

Х2 – Жилые коттеджи, шт.

Х3 – Магазины, шт.

Х4 – Складские помещения, шт.

Х5 – Заправочные станции, шт.

Х6 – Затраты нас. пункта, тыс. руб.;