Основная задача электростатики
Общей задачей расчета электрического поля является определение напряженности во всех его точках по заданным зарядам или потенциалам тел.
Распределение потенциала в пространстве позволяет определить напряженность электрического поля , вектор смещения и поляризации в любой точке пространства
Определение потенциала обычно является более простой задачей, чем расчет напряженности, поскольку:
1.Он является скалярной, а не векторной величиной
2.Граничные условия проще;
3.Потенциал может быть определен как решение одного дифференциального уравнения, в то время, как напряженность определяется решением системы трех уравнений;
4.Потенциал – функция непрерывная, напряженность электрического поля на границах раздела сред с разными диэлектрическими проницаемостями может изменяться скачком.
Поэтому определение пространственного распределения потенциала часто называют
основной задачей электростатики
Определение потенциала по заданному распределению заряда
Для уединенного точечного заряда: |
|
q |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
U 4 r |
|
1 |
n |
qk |
||||
|
|
|||||||
Для совокупности точечных зарядов, распределенных в |
U |
|
||||||
|
rk |
|||||||
ограниченной по размерам области пространства: |
|
4 k 1 |
||||||
Если задана система тел с зарядами, причем известно распределение зарядов в пространстве, то можно все распределенные заряды разбить на элементарные заряды dq , каждый из которых можно рассматривать как точечный. Составляющая потенциала от каждого элементарного точечного заряда равна:
dU dq
4 r
Потенциал от совокупности элементарных зарядов получаем интегрированием:
U dq |
|
1 |
dq |
|
4 |
||||
4 r |
|
r |
Определение потенциала по заданному распределению зарядов
Объемное распределение заряда: dq = dV.
1 dV U 4 r
Распределение зарядов на поверхности проводников dq = ds
|
1 ds |
|
U |
|
r |
4 |
||
Линейное распределение зарядов вдоль тонких проводников dq = dl
1 dl U 4 r
Определение потенциала по заданному распределению зарядов
V |
S |
|
dS |
||
dV |
|
|
l |
|
|
dl |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 dV |
|
1 ds |
|
1 dl |
|||
U |
|
r |
|
|
r |
|
|
r |
4 |
4 |
4 |
||||||
Способы задания граничных условий в электростатических задачах
Граничные условия первого рода или условия Дирихле: заданы значения
потенциала
Для определения неизвестных потенциалов тел следует использовать дополнительные условия, связывающие полные заряды с рассчитываемыми характеристиками поля – напряженностью и смещением
|
|
|
|
|
|
U |
ds |
qi i ds Di ds |
Ei ds |
|
|||||
Si |
Si |
|
Si |
|
Si |
n |
|
При решении задачи расчета поля в кусочно-однородных диэлектриках получаем общее решение уравнения Пуассона в каждой области и сопрягаем их на границах областей с различными диэлектрическими проницаемостями, используя известные соотношения:
E ( k ) E ( k 1) D |
n( k 1) |
D |
n( k ) |
|
|
|
U = |
|
K- номер среды |
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
U k |
Uk+1. |
U k 1 |
|
|
k 1E n( k 1) k En( k ) |
|
|
или |
|
k |
|
k 1 |
|
||
|
n |
n |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||