Теоретические основы электротехники
Теория электромагнитного поля
ВШВЭ, проф. Л. И. Сахно 2021
1
Метод зеркальных изображений
Используется для расчета поля заряженных проводников , расположенных вблизи плоских поверхностей, ограничивающих проводящую среду
jy
+q |
+q |
|
jy 
h |
|
h |
|
|
x |
|
x |
|
|||
|
U = const |
|
U = const |
Сопоставляя левую и правую картины полей , можем |
h |
|
|
утверждать, что из-за одинаковой геометрии и граничных |
|
|
|
условий картины поля в верхней полуплоскости идентичны, |
|
|
|
а, следовательно, все характеристики поля полностью |
|
|
|
совпадают. |
|
|
–q |
|
|
|
|
Применение метода зеркальных изображений возможно и в случае, когда заряды находятся внутри диэлектрика между гранями двугранного угла « », образованного проводящими поверхностями, если
- 2 
+ 1
|
|
+ 21 |
- |
|
|
|
|
Отразим заряд + |
|
|
1 |
1 |
от вертикальной стенки, вследствие чего появится второй заряд противоположного |
||
|
|
1 |
|
знака – 2 , и оба эти заряда оказались расположенными над горизонтальной проводящей плоскостью. Отразим эти заряды в горизонтальной плоскости и получим еще два заряда ( 21 и – 11). Полная система из
четырех зарядов образует картину поля в диэлектрике, часть которой в первом квадранте совпадает с исходной картиной поля.
Метод конформных отображений
Расчет поля методом конформных отображений основан на том, что существует
возможность отобразить с помощью некоторого математического преобразования заданную область в комплексной плоскости « z » (x + jy) на так называемую каноническую область в комплексной плоскости « ω » ( ξ+j ).
jy
Z |
1 |
Z |
|
ω |
j |
|
|
|
|||
|
|
|
|
||
|
|
2 |
1 |
2 |
ω |
|
|
ωk |
|
|
|
|
ZK |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
ξ |
Преобразование называется конформным, так как при переходе от одной области к другой либо обратно сохраняются углы в точках пересечения между любыми линиями в обеих областях z = ω
Существует общий подход к преобразованию произвольной многоугольной области, ограниченной ломаной линией на верхнюю полуплоскость и обратно с помощью интеграла Кристоффеля-Шварца
1. Двугранный угол ( ) – поле между двумя проводящими плоскостями, сходящимися под углом
jy |
z |
|
|
U = 0 |
|
|
|
B C
A |
U = 0 |
X
j
C
B |
A |
ξ |
( z)
Положение точки на первой грани (точка A) :
zA |
rA e j0 - в исходной области Z |
A |
rA |
|
|
|
|
|
|||
|
- в области ω |
|
|||||||||
|
Положение точки на второй грани (точка B) : |
|
|||||||||
zB |
rB e j - в исходной области Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
r |
|
e j r |
|
- в области |
ω |
||||
B |
|
|
|||||||||
|
|
|
B |
|
|
|
B |
|
|
||
Положение любой точки на биссектрисе угла (точка C):
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
zС rС e |
2 - в исходной области Z |
|
r |
e j 2 |
jr |
- в области ω |
||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
С |
С |
|
|
|
С |
|
|
|
2. Бесконечно глубокий проводящий паз шириной d
|
|
jy |
j |
|
|
|
|
A |
F |
D Z |
|
|
|
F |
E |
|
d |
E |
|
|
|
|
B O C
X
A B O C D
sin dz
Положение угловых точек B и C
|
|
|
d |
|
|
|
zC ,B d |
C ,B sin |
2 |
sin |
1 |
||
d |
|
2 |
||||
2 |
|
|
|
|
||
|
Положение точек A и D |
|
|
|
|
|
zD ,A d2 jy
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D,A sin |
( 2 |
jy ) |
sin( |
|
j |
y |
) 1 ch |
y |
j0 sh |
y |
ch |
y |
d |
|
|
d |
d |
d |
d |
||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||
Положение точки E
zE jy |
E sin j |
y |
j sh |
y |
|
d |
d |
||||
|
|
|