Преобразуем выражение для корня характеристического уравнения:
где
Тогда решение для напряженности магнитного поля можно представить в виде:
При z, стремящемся к бесконечности, множитель ekz и напряженность магнитного поля также стремятся к бесконечности, что невозможно из физических соображений, поэтому: A2 = 0
Окончательное выражение для напряженности магнитного поля примет вид:
Постоянную A1 определим из граничных условий на поверхности раздела проводника и диэлектрика при z = 0.
Hme Hm0
z
Так как волна распространяется по направлению, перпендикулярному к поверхности проводящей среды, то вектор напряженности магнитного поля в диэлектрике Hme расположен: параллельно границе и равен вектору напряженности
магнитного поля внутри проводящей среды вблизи ее поверхности Hm0 (ввиду равенства на границе касательных составляющих). Поэтому, зная параметры волны у поверхности проводящей среды в диэлектрике, определяем постоянную A1 из граничного условия:
при z = 0
Окончательно можем записать:
Полученное в комплексном виде решение представим в виде мгновенного значения:
Запишем решение для комплексной амплитуды напряженности электрического поля
Отношение комплексных амплитуд электрической и магнитной напряженности определяет волновое комплексное сопротивление ( Z ) проводящей среды для синусоидальной электромагнитной волны:
Это сопротивление имеет вещественную и мнимую часть, что свидетельствует о наличии тепловых потерь в проводнике и сдвиге по фазе ( = + /4), между волнами электрической и магнитной напряженности во временной области.
Волновое сопротивление можно представить и в алгебраической форме:
Окончательное выражение для комплексной амплитуды напряженности запишем в показательной форме:
Мгновенное значение напряженности электрического поля имеет вид:
Плотность тока проводимости определяется из соотношения Jпр = E и
равна:
В рассматриваемом случае плоской электромагнитной волны векторы
напряженности электрического и магнитного поля взаимно перпендикулярны в пространстве. Построим кривые,
изображающие качественное распределение напряженности электрического
имагнитного поля вдоль оси z для некоторого момента времени (t
=0),
принимая, что начальная фаза
x 
H
y
z
0
v
Ex
y
Волна напряженности магнитного поля отстает по фазе от волны напряженности электрического поля на 45 градусов. Амплитуды обеих волн по мере продвижения вдоль оси z вглубь проводника затухают со скоростью, определяемой множителем e-kz.
Длина волны и затухание
При изменении координаты на величину длины волны (z = ) ее аргумент изменяется на 2 , поэтому длину волны определим из соотношения k = 2 .
С ростом проводимости и магнитной проницаемости среды, а также частоты синусоидального сигнала длина волны уменьшается. На расстоянии равном длине волны (z = ) амплитуды напряженности электрического и магнитного поля изменяется в e-k раз:
то есть составляет лишь около 0,2% от значения амплитуды волны на поверхности проводящей среды.
При толщине проводника большем чем длина волны прямая волна затухает и наше предположение об отсутствии отраженной волны (равенство нулю константы А2 ) при
нахождении решения дифференциального уравнения совершенно справедливо.
Длина волны в различных
f |
|
Cu |
материалах. |
Морская |
Почва |
|
|
|
Fe |
||||
|
|
(медь) |
(железо) |
вода |
|
|
50 |
Гц |
59 мм |
4,5 мм |
450 м |
4500 м |
|
500 |
кГц |
0,59 мм |
0,045 мм |
4,5 м |
45 м |
|
Первые два столбца таблицы позволяют оценить толщину медного или ферромагнитного экрана, обеспечивающую полное экранирование помех различных частот. Два других столбца позволяют понять, почему невозможна связь с помощью электромагнитных волн под водой и с подземными объектами.
Скорость электромагнитной волны в проводящей среде.
Скорость распространения электромагнитной волны в проводящей среде пропорциональна корню из частоты
1.Чем выше частота, тем больше скорость распространения волны, однако, уменьшается длина волны, т. е. волна затухает быстрее
2.При уменьшении частоты скорость распространения волны стремится к нулю.