Розрахунок валу на витривалість
.pdf
Вплив абсолютних розмірів деталей на втомну міцність характеризується масштабним коефіцієнтом
K |
d |
= |
σRd , |
(5) |
|
|
σ |
|
|
|
|
|
R |
|
де σRd – границя витривалості деталей заданого діаметра, σR – границя витривалості зразка діаметром 7 … 10 мм.
Рис. 5
Масштабний ефект суттєво проявляється при згині та крученні і значно менше при розтягу в умовах лінійного однорідного напруженого стану. Зменшення границі витривалості із збільшенням діаметра має затухаючий характер, як видно із графіків на рис.6. Криві 1 і 2 характеризують зниження границь витривалості вуглецевих і легованих сталей, криві 4 і 6 – границь витривалості тих же сталей, але для деталей з концентраторами напружень. Криві 3 і 5 характеризують зменшення границь витривалості чавуну і кольорових металів для деталей без концентраторів і з концентраторами напружень.
Розрахунок на міцність при періодично змінному навантаженні ґрунтується на умові міцності
n ≤ [n], |
(6) |
де n – забезпечуваний коефіцієнт запасу втомної міцності; [n] – нормативне значення коефіцієнта запасу.
11
Рис. 6
При сумісній дії згину та кручення
|
|
|
|
|
|
n = |
|
nσnτ |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nσ |
2 |
+ nτ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
nσ = |
|
|
|
σ−1 |
|
|
|
, |
|
nτ = |
|
|
|
|
|
τ−1 |
|
|
|
. |
(8) |
|||
|
σ |
a |
K |
σ |
+ψ |
|
σ |
|
|
|
τ |
a |
K |
τ |
|
+ψ |
|
τ |
|
||||||
|
|
|
|
σ |
m |
|
|
|
|
|
|
|
τ |
m |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
KF Kd |
|
|
|
|
|
|
KF Kd |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Значення ψσ і ψτ в залежності від границь міцності матеріалу наведені в табл. 4. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц я 4 |
Матеріал |
|
|
|
Границя міцності |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ψσ |
ψτ |
|||||||||
|
|
|
|
σмц, МПа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,05 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
370 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,03 |
||||||
Сталь вуглецева |
|
|
|
|
|
450 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,07 |
0,03 |
|||||
|
|
|
|
550 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,08 |
0,04 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
650 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,10 |
0,04 |
|||||
|
|
|
|
|
|
750 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,12 |
0,05 |
|||||
|
|
|
|
|
|
830 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,15 |
0,06 |
|||||
Сталь легована |
|
|
|
|
|
980 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,17 |
0,07 |
|||||
|
|
|
|
1150 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,22 |
0,10 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
1200 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,24 |
0,12 |
|||||
Формула (7) може застосовуватись як при симетричних так і при асиметричних циклах зміни напружень.
12
3. Приклад розв’язання задачі.
Нехай задані такі геометричні та фізичні параметри вала: х1=0; х2=115 см;
х3=45 см;хА=20 см; хВ=30 см; l=115 см; α=60º; D1=12 см; D2=15 см; D3=18 см; N=10 квт; n=750 об/хв.; k=0,8.
Відомо також, що матеріал вала – сталь 45 (σмц=750 МПа; σm=400 МПа;
σ-1=340 МПа; τ-1=200 МПа).
Розрахункова схема вала, яка відповідає заданим параметрам, показана на рис. 7а.
Розв’язання
1. Визначаємо величини сил, прикладених до вала.
Крутний момент, який передається на вал тяговим зусиллям F0,
M 0 = F0 D21 =1000 30πnN =1000 π3075010 =127,32 H·м=12,73 кН·см.
Звідки
F0 = 2 12,7312 = 2,12 кН.
З рівняння рівноваги ∑M x = 0 матимемо
F0 D21 = Ft D22 + Pt D23 .
Враховуючи задані в умові задачі співвідношення сил, одержимо: Pt=0,848 кН;
Ft=0,678 кН; Рr=0,305 кН; Fr=0,244 кН.
Розглядаючи схеми сил окремо для вертикальної та горизонтальної площин (рис. 7б, рис. 7г), з відповідних рівнянь статики визначаємо реакції на опорах.
∑M A = 0 :
F0 cos30D 20 +YB 65 − Pr 25 − Ft 95 = 0 ; − F0 cos 60D 20 − Pt 25 − Z B 65 + Fr 95 = 0 ,
звідки YB=0,543 кН, ZB=-0,296 кН
∑M B = 0 :
F |
cos 30D 85 |
−Y |
A |
65 + P 40 − F 30 = 0 ; |
|||||
0 |
|
|
|
|
|
r |
t |
|
|
− F |
|
cos 60D 85 + Z |
A |
65 |
+ P 40 |
+ F 30 = |
0 , |
||
0 |
|
|
|
|
t |
r |
|
||
звідки YA=2,275 кН, ZA=0,752 кН.
Перевіряємо правильність визначених реакцій.
∑Fy = 0 : -2,12·0,866+2,275-0,305+0,543-0,678=0;
∑Fz = 0 : 2,12·0,5-0,752-0,848+0,296+0,244=0.
13
Рис. 7
14
2. Будуємо епюри згинальних моментів Mz, My, M та крутних моментів T.
Зважаючи на те, що всі епюри є лінійними функціями від x, визначаємо величини згинальних моментів тільки на краях ділянок.
У вертикальній площині:
х=20 см: Мz=-F0·cos30º·20=-36,72 кН·см; х=45 см: Мz=-Ft·70+YB·40=-25,74 кН·см; х=85 см: Мz=-Ft·30=-20,34 кН·см.
У горизонтальній площині
х=20 см: Мy=F0·cos60º·20=21,2 кН·см;
х=45 см: Мy=F0·cos60º·45-ZA·25=28,9 кН·см; х=85 см: Мy=Fr·30=7,32 кН·см.
Побудовані на розтягнутих волокнах епюри згинальних моментів Mz та My мають вигляд, показаний на рис. 7в і рис. 7д.
Щоб побудувати сумарну епюру згинальних моментів, використаємо залежність
M 2 = M z 2 + M y 2 .
Звідки:
при x=20 см згинальний момент М=42,4 кН·см;
при x=45 см М=38,7 кН·см; при x=85 см М=21,62 кН·см;
Епюра моментів М показана на рис. 7е.
Величини крутних моментів визначимо, скориставшись розрахунковою схемою, представленою на рис.6ж.
При 0<х<45 см T = F0 D21 =12,73 кН·см;
при 45<х<115 см T = F0 D21 + Pt D23 = 5,085 кН·см.
Епюра крутних моментів показана на рис.7з.
3. Виконуємо проектний розрахунок вала, вважаючи навантаження статичним.
Згідно з епюрою згинальних моментів M вал доцільно розбити на три ділянки:
1)0<х<45 см, де найбільший згинальний момент M=42,4 кН·см; T=12,73 кН·см;
2)45<x<85 см, де найбільший згинальний момент M=38,7 кН·см; T=5,085 кН·см;
2)85<x<115 см, де найбільший згинальний момент M=21,62 кН·см; T=5,085 кН·см. Величина допустимого напруження для матеріалу вала
[σ]= |
σ |
|
400 |
|
m |
= |
|
=160 МПа. |
|
[n] |
2,5 |
|||
|
T |
|
|
|
Скориставшись умовою міцності вала при одночасній дії згину та кручення
σекв = 32 M 2 +T 2 ≤ [σ],
πd 3
визначимо потрібні діаметри вала на кожній з ділянок. На першій ділянці
15
32 |
M 2 + M k |
2 |
32 42,42 +12,732 |
|
d ≥ 3 |
π[σ] |
= 3 |
π 16 |
= 3,04 см. |
Приймаємо діаметр даної ділянки вала 32 мм. На другій ділянці
d ≥ 3 |
32 38,72 |
+5,085 |
2 |
π |
16 |
= 2,92 см. |
|
|
|
Приймаємо d=30 мм. На третій ділянці
d ≥ 3 |
32 |
21,622 +5,085 |
2 |
|
π 16 |
= 2,42 см. |
|
|
|
|
Приймаємо d=25 см.
4. Накреслимо конструкцію вала.
Для цього, з набору стандартних розмірів внутрішніх діаметрів підшипників 12, 15, 17, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90 мм, вибираємо найближчі до потрібних з умови міцності більші значення. Зокрема, для опори А беремо підшипник з діаметром 35 мм, для опори В – з діаметром 30 мм. Щоб забезпечити фіксацію підшипників на валу діаметри ділянок біля опорних торців беремо більшими на 2 мм, відповідно 37 і 32 мм. З технологічних міркувань діаметр вала в місці закріплення середньої шестерні збільшуємо до 38 мм.
Розроблена конструкція вала зображена на рис.8.
Рис. 8
Технологічні канавки в місцях виходу шліфувального круга беремо згідно з умовою задачі з радіусом закруглення і глибиною 1,5 мм, а галтельні переходи – з радіусами закруглення 2 мм. Для закріплення шестерень і зірочки ланцюгової передачі на валу, у відповідних місцях, передбачені стандартні шпонкові канавки. Для фіксації шестерень, розміщених на краях вала, їх посадочні діаметри взяті меншими від розрахункових. Це не порушить умови міцності внаслідок того, що згинальні моменти біля країв вала є малими.
5. В небезпечних перерізах вала визначаємо максимальні величини нормальних та дотичних напружень.
16
Для заданого вала небезпечними є перерізи біля опори А і біля середньої шестерні, де виникають великі згинальні моменти і одночасно знаходяться концентратори напружень. Згідно з епюрами, на опорі А в перерізі, ослабленому технологічною канавкою, M=42,4 кН·см, Мk=12,73 кН·см. Біля середньої шестерні, в перерізі з галтеллю,
М=38,7 кН·см, Мk=12,73 кН·см.
В обох небезпечних перерізах d=3,2 см, тому осьовий та полярний моменти опору теж будуть однаковими:
Wz |
= |
πd 3 |
= |
π 3,23 |
= 3,217 см3; |
|
|
32 |
|
32 |
|
Wp |
= |
πd 3 |
= |
π 3,23 |
= 6,434 см3; |
|
|
16 |
|
16 |
|
Максимальні величини нормальних та дотичних напружень біля опори А:
σmax = |
M |
= |
42,4 |
=13,180 кH/см2; |
|
3,217 |
|||
|
Wz |
|
||
τmax = M k = 12,73 =1,978 кH/см2. Wz 6,434
Біля середньої шестерні |
|
|
|
|
σmax = |
M |
= |
38,7 |
=12,030 кH/см2. |
|
3,217 |
|||
|
Wz |
|
||
Величина τmax буде такою ж, як біля опори А.
Згідно з умовою задачі графіки зміни напружень в часі мають вигляд, показаний на рис. 9а, б.
У відповідності з графіками основні характеристики циклів їх зміни мають такі величини:
Біля опори А:
σmax=13,18 кH/см2; σa=σmax; σm=0;
τmax=1,978 кH/см2; τa=τm=τmax/2=0,989 кH/см2.
Біля середньої шестерні:
σmax=12,03 кH/см2; σa=σmax; σm=0;
τmax=1,978 кH/см2; τa=τm=τmax/2=0,989 кH/см2.
6. Перевіримо міцність вала в умовах періодично змінного навантаження при визначених напруженнях.
Коефіцієнти запасу втомної міцності знайдемо за такими формулами. При згині вала за симетричним циклом зміни напружень
17
|
Рис. 9 |
||
nσ = |
|
σ−1 Kd KF |
; |
|
|
||
|
|
σa Kσ |
|
При крученні вала в умовах віднульового циклу зміни напружень
nτ = |
|
|
|
|
τ−1 |
|
. |
|
τ |
m |
ψ |
τ |
+ |
τa Kτ |
|
||
|
|
|
||||||
Kd KF |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
За графіками KF=f(Rz, σмц) визначаємо величину коефіцієнта КF при заданих величинах Rz і σмц. В даному разі в обох небезпечних перерізах КF=0,86.
За графіками Kd=f(d) визначаємо масштабний коефіцієнт Кd=0,88, який теж однаковий для обох перерізів.
При σмц=520 … 750 МПа коефіцієнт ψτ=0.
Ефективний коефіцієнт концентрації напружень Kσ в перерізі технологічної канавки знайдемо з графіків на рис.3.
При r/d=0,046 Kσ=1,8. Значення Kτ визначаємо за формулою
Kτ =1 +0,6(Kσ −1)=1 +0,6(1,8 −1)=1,48 .
В перерізі галтелі
Kσ =1 +ζσ (Kσ D =2 d −1); Kτ =1 +ζτ (Kτ D =2 d −1).
18
На підставі графіків на рис.1 при D=2d і r/d=2/32=0,0625 Kσ=1,9; Kτ=1,5. Поправочні коефіцієнти ξσ, ξτ знайдемо за графіками на рис.2.
При D/d=38/32=1,187, ξσ=0,88, ξτ=0,75.
Визначені величини дозволяють знайти коефіцієнти
Kσ=1+0,88(1,9-1)=1,79;
Kτ=1+0,75(1,5-1)=1,37;
Знаходимо коефіцієнти запасу втомної міцності в кожному з небезпечних перерізів. Біля опори А:
nσ |
= |
34 0,86 0,88 |
=1,08 ; |
nτ |
= |
20 0,86 0,88 |
=10,3 . |
|
13,18 1,8 |
0,989 1,48 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
В перерізі галтелі:
nσ |
= |
34 0,86 0,88 |
=1,19 ; |
nτ |
= |
20 0,86 0,88 |
=11,17 . |
|
12,03 1,79 |
0,989 1,37 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
Руйнування є ймовірнішим в перерізі виточки біля опори А, де коефіцієнти запасу міцності є меншими.
В цьому перерізі
n = nσ nτ |
|
= 1,08 10,3 =1,074 . |
|
nσ |
2 + nτ |
2 |
1,082 +10,32 |
Одержаний коефіцієнт запасу менший від потрібного, тому умова втомної міцності не задовольняється.
19
Література
1. Гурняк Л. І., Гуцуляк Ю. В., Юзьків Т. Б. Опір матеріалів: Посібник для вивчення курсу при кредитно-модульній системі навчання. – Львів: Новий світ – 2000, 2005. – 364 с.
2. Опір матеріалів: Підручник для машинобудівних спеціальностей вузів /
Г. С. Писаренко, О. Л. Квітка, Е. С. Уманський; За ред. Г. С. Писаренка. – К.: Вища школа, 1993. – 655 с.
3.Феодосьев В. Н. Сопротивление материалов: Учебник для втузов. – М.: Наука, 1986. –
512с.
4.Опір матеріалів з основами теорії пружності й пластичності: У 2 ч., 5 кн. – Ч. І, кн. 2.
Опір бруса: Підручник / В. Г. Піскунов, Ю. М. Федоренко, В. Д. Шевченко та ін.; За ред.
В. Г. Піскунова. – К.: Либідь, 1994. – 355 с.
5.Опір матеріалів з основами теорії пружності й пластичності: У 2 ч., 5 кн. – Ч. ІІ, кн. 4.
Приклади і задачі: Навч. посібник / В. Г. Піскунов, В. Д. Шевченко, М. М. Рубан та ін.; За ред. В. Г. Піскунова. – К.: Вища школа, 1995. – 300 с.
6.Посацький С. Л. Опір матеріалів. – Львів: Вид-во Львівського університету, 1973. –
404с.
7.Справочник по сопротивлению материалов / Писаренко Г. С., Яковлев А. П.,
Матвеев В. В.; Отв. ред. Писаренко Г. С. – К.: Наукова думка, 1988. – 736 с.
8.Пособие к решению задач по сопротивлению материалов: Учеб. пособие для техн. вузов
/ Миролюбов И. Н., Енгалычев С. А., Сергиевский Н. Д. и др. – М.: Высшая школа, 1985. –
399с.
20