Добавил:

posterp Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Днепропетровский национальный университет железнодорожного транспорта им. академика В. Лазаряна

Предмет:

Высшая математика

Файл:

M-040

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

26.04.2021

Размер:

1.23 Mб

Скачать

☆

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Міністерство транспорту та зв’язку України

Дніпропетровський національний університет залізничного транспорту імені академіка В.Лазаряна факультет Львівської філії

Кафедра фундаментальних дисциплін

Числові та функціональні ряди

Методичні вказівки та завдання до типових розрахунків

для студентів технічних спеціальностей

Львів 2011

Укладачі:

доцент Баб’як М.О., доцент Грилицький М.Д., доцент Лаушник І.П.

Числові та функціональні ряди. Методичні вказівки та завдання до типових розрахунків для студентів технічних спеціальностей/ Дніпропетровський національний університет залізничного транспорту імені академіка В.Лазаряна, факультет Львівської філії/ Укл. Баб’як М.О, Грилицький М.Д., Лаушник І.П. –

Львів, 2011

– 68 с.

Методичні вказівки призначені для самостійної роботи студентів технічних спеціальностей по вивченню теми «Числові та функціональні ряди» з курсу вищої математики. Вони вміщують основні теоретичні відомості, приклади розв’язків типових задач та варіанти завдань контрольної роботи.

Рецензенти: доцент кафедри вищої математики Національного лісотехнічного університету України, канд. фіз.-мат. наук Онишкевич В.М.

доцент кафедри транспортних технологій Львівської філії ДНУЗТу ім. акад. В.Лазаряна, канд. фіз.-мат. наук Гнатів Ю.М.

Затверджено на засіданні кафедри фундаментальних дисциплін факультету Львівської філії ДНУЗТу.

Протокол № _____ від ____ _____________ 2011 р.

	Література		ЗМІСТ
1.	Овчинников П. П та ін. Вища математика. Підручник. Ч. 2. – К.: Техніка,	1.	Числові ряди ........................................	5
	2000 – 792 с.	2.	Функціональні та степеневі ряди	22
2.	Дубовик В.П., Юрик І.І Вища математика . Навчальний посібник. – К.:	2.	Функціональні та степеневі ряди	22
2.		3.	Ряди Тейлора та Маклорена	32
	Видавництво А.С.К., 2003 – 648 с.	3.	Ряди Тейлора та Маклорена	32
3.	Вища математика . Збірник задач. Ч.2. Навчальний посібник за ред. Ов-	4.	Наближені обчислення за допомогою рядів ...................	41
	чинникова П.П. – К.: Техніка, 2003 – 376 с.	5.	Ряди Фур’є ..........................................	47
4.	Вища математика . Збірник задач. Ч.2. Навчальний посібник за ред. Дубо-	6.	Завдання для контрольної роботи ..........................	51
	вик В.П., Юрик І.І.. – К.: Видавництво А.С.К., 2004 – 480 с.

5.Дюженкова Л.І, Дюженкова О.Ю, Михалін Г.О. Вища математика. При-

клади і задачі. Посібник. – К.: Академія, 2002 – 624 с.

1. Числові ряди

Нехай задана довільна нескінченна послідовність дійсних чисел

{an } = a1, a2, a3,K, an ,K

із загальним членом an.= f(n)

Означення 1.1. Вираз (безмежна сума)

∞
a1 + a2 + a3 + K + an + K = ∑an	(1.1)

n =1

називається числовим рядом, числа a1, a2, a3, … – членами ряду, а число an – загальним членом ряду.

Означення 1.2. Сума перших n членів ряду називається n-тою частковою сумою ряду:

	n
Sn	= ∑ak	= a1 + a2 + a3 + K + an .		(1.2)
	k =1
Зокрема,
S1 = a1,	S2 = a1 + a2,		S3 = a1 + a2 + a3 і т.д.
Означення 1.3. Вираз (ряд)
∞		∞
rn = ∑an	− Sn =	∑ ak	= an +1 + an +2 + an +3 + K	(1.3)
n =1	k =n +1
називається залишком ряду (1.1) після n-тового члена.
Якщо послідовність часткових сум {Sn} має скінченну границю
		lim Sn = S ,		(1.4)
		n →∞

то ряд (1.1) називається збіжним, а число S – його сумою, тобто для збіжного ряду

∞

∑an = S .

n =1

Коли така границя рівна +∞ чи −∞ або взагалі не існує, то ряд є розбіжним і суми немає.

Зауваження. До рядів відносяться також вирази виду

∞
∑ an ,	an R ,
n =n0

де n0 може приймати довільні значення з множини натуральних чисел, а також бути рівним нулеві. Наприклад,

∞

= −1 + 2

+ 8

− 16

∑

−

− K;

10n −

193

n =0

∞

sin (n

π)

1 + 0 −

∑

0 +

0 −

+ K;

(n + 1)n

n =1

7776

2097152

∞

n − 2

∑

+ K.

ln(n − 2)

ln 2

ln 3

ln 4

ln 5

n =4

Основні властивості збіжних числових рядів

На збіжність ряду не впливає відкидання довільної кількості його перших

∞

членів, тобто, якщо збігається ряд

∑an , то збігається і будь-який його за-

n =1

∞

лишок rn =

∑ ak , і навпаки.

k =n +1

∞

Для збіжного ряду ∑an

= S має місце рівність

n =1

lim rn = lim (S − Sn ) = 0

(1.5)

n →∞

∞

Якщо збігається ряд ∑an

і його сумою є число S,

то збігається і ряд

n =1

∞

∑(c an ) , ( c R – довільна стала), і його сумою є число c S .

n =1

∞

Якщо збіжними є обидва ряди ∑an та

∑bn , і числа S1 та S2 є відповід-

n =1

∞

но їх сумами,

то ряди

∑(an ± bn )

теж

будуть збіжними із сумами

n =1

( S1 ± S2 ) відповідно.

Одними із основних задач, які необхідно навчитися розв’язувати при вивченні теми «Числові ряди» є такі:

1)за формулою загального члена ряду записати будь-який його конкретний член або будь-яку часткову суму;

2)при заданні достатньої кількості перших членів ряду знайти формулу його загального члена;

3)встановити збіжність чи розбіжність даного ряду;

4)у випадку збіжності ряду знайти точне значення його суми (якщо це можливо), або знайти її наближене значення із заданою точністю чи зробити хоча б оцінку цієї суми.

∞	1
Приклад 1.1. Задано ряд ∑		.
	(2n − 1)(2n + 1)
n =0

Записати перші чотири члени цього ряду та часткову суму S4.

hПокладаючи у формулі загального члена ряду

	an	=						1
	an	=		(2n − 1)(2n + 1)
послідовно значення n = 0, 1, 2, 3, отримаємо
a =	1						= −1 ,				a =				1			=	1 ,
a =	(2 0 − 1)(2	0 +			1)		= −1 ,				a =	(2	1 − 1)(2				1 + 1)	=	1 ,
0	(2 0 − 1)(2	0 +			1)						1	(2	1 − 1)(2				1 + 1)		3
a =	1					=			1	,	a =				1			=		1	,
a =	(2 2 − 1)(2	2 +			1)	=				,	a =	(2	3 − 1)(2 3 + 1)					=	35		,
2	(2 2 − 1)(2	2 +			1)			15			3	(2	3 − 1)(2 3 + 1)						35
	3											1		1		1	= − 4 .
S4 = ∑an = a0		+ a1 + a2 + a3									= −1 +		+	1	+	1
S4 = ∑an = a0		+ a1 + a2 + a3									= −1 +		+		+
	n =0											3	15		35		7
	n =0
Отже, маємо ряд
∞			1				1
∑an = −1 + 1 +			1		+		1		+ K.												g
∑an = −1 + 1 +		15			+	35			+ K.												g
n =0	3	15				35
n =0

Приклад 1.2. Задано ряд 21 + 34 + 58 + 167 + K. Записати формулу його загального члена.

Покладемо an

f1(n)

n = 1,2,3,K; f1(n) та f2(n) можна записати так:

f2 (n)

f2(n) = 2n.

f1(n) = 2n − 1,

∞

2n n− 1 .

Отже, маємо ряд ∑an

= ∑

n =1

∞

Приклад 1.3. Задано ряд ∑

n =1 49n

+ 7n − 12

Показати, що ряд збіжний та знайти його суму.

hЗагальний член ряду є правильний раціональний дріб, тому його можна подати як суму простих раціональних дробів:

		7	=	7	= 7(	A	+	B	) .
49n	2	+ 7n − 12		(7n − 3)(7n + 4)		7n − 3		7n + 4

Методом невизначених коефіцієнтів знаходимо

7 = 7 A (7n + 4) + 7 B (7n − 3),

1 = A (7n + 4) + B (7n − 3) ;

n :

7A + 7B = 0;

A = −B ;

n0 :

4A − 3B = 1;

7A = 1; A =

1 ; B

= −

1 .

Отже,

∞

(

) .

∑

7∑

−

∑

−

+ 7n −

−

7n −

7n + 4

n =1 49n

n =1

7n + 4

n =1

Запишемо n-ту часткову суму ряду

= 1

Sn = ∑ak

= ∑

−

∑

+ K

7k −

7k + 4

k =1

4 11

− (

+ K +

) =

7n − 10

7n − 3

7n + 4

+ (

+ K +

) −

7n − 10

7n − 3

) −

− (

+ K +

−

7n − 3

7n + 4

Оскільки

lim S

lim

1 −

= 1

−

= 1

7n + 4)

7 ∞ + 4

∞

n →∞

то даний ряд є збіжним, і його сума

S = lim

1 .

n →∞

∞

Приклад 1.4. Дослідити на збіжність ряд

∑a qn −1,

a ≠ 0 .

n =1

hДаний ряд є сумою геометричної прогресії з першим членом a та знаменником q. Він має назву ряду геометричної прогресії або геометричного ряду. Візьмемо n-тову часткову суму

	n	n
	Sn = ∑a qk −1 = a ∑qk		−1
	k =1	k =1
та розглянемо випадки:
	n	n
1) q = 1.	Sn = a ∑	1k −1 = a ∑1 = a n ;
	k =1	k =1
lim Sn	= lim (a n) = a lim n = a ∞ = ∞ .
n →∞	n →∞	n →∞

Отже, ряд розбіжний;

−1 = a {1 + (−1) + 1 + (−1) + K +

q = −1.

Sn = a ∑(−1)k

k =1

a 0 = 0,

коли n − парне,

+ (−1)n −3 + (−1)n −2 + (−1)n −1}

1 = 1,

коли n − непарне.

Таким чином,

lim Sn не існує, тобто ряд розбіжний.

n →∞

{

}

Нехай

> 1.

= a

∑

qk −1

= a

1 + q + q2 + K + qn −1

k =1

= a

1 − qn

(відомий результат).

− q

lim S

lim (1 − qn ) =

1 − lim qn

)

1 − q

n →∞

− q n →∞

(

n →∞

Якщо q > 1,

то

lim

(

)

= −∞ .

− q

1 − ∞

n →∞

Коли q < −1,

то

lim Sn

= ±∞ в залежності від непарності чи па-

рності n.

n →∞

Отже, при

> 1

lim Sn

не існує, тобто ряд є розбіжним.

→∞

Нехай

< 1. Тоді даний ряд є сумою нескінченно спадної геомет-

ричної прогресії.

Обчислимо

lim

1 − q

lim (1 − qn ) =

1 − q

n →∞

1 − q n →∞

− nlim→∞ q

) =

(1 − 0) =

1 − q

Ряд збіжний, і його сума S =

− q

Таким чином,

геометричний ряд збігається тільки для

< 1, і його

сума при цьому рівна S =

− q

В багатьох випадках важливо встановити лише сам факт збіжності чи розбіжності ряду. Для цього користуються відповідними ознаками.

Необхідна ознака збіжності ряду.

Теорема 1.1. Якщо числовий ряд (1.1) збігається, то
lim an = 0 .	(1.6)
n →∞

Обернене твердження не завжди правильне. Умова (1.6) може виконуватися, але ряд при цьому буде розбіжним. Як буде показано далі, гармонійний ряд

1 + 1 +

∞

+ K +

+ K = ∑

(1.7)

n =1

є розбіжним, хоча для нього

lim a

lim

= 0 .

∞

n →∞

n →∞ n

Достатня ознака розбіжності ряду.

Теорема 1.2. Якщо для ряду (1.1)

lim an

= a,

a ≠ 0 ,

(1.6)

n →∞

то такий ряд є розбіжним.

∞

Приклад 1.5. Дослідити на збіжність ряд

∑

3n + 1

n =1

hЗагальний член даного ряду є an = 3nn+ 1 .

Обчислимо

lim

= lim

lim

= 1

≠ 0 .

n →∞

n →∞ 3n + 1

n →∞ 3 n (1 +

)

3(1

)

3(1

+ 0)

3 ∞

Отже ряд є розбіжним.

∞

Приклад 1.6. Дослідити на збіжність ряд ∑cos(2n + 1) .

n =0

hЗагальний член ряду має вигляд an = cos(2n + 1) . Обчислимо

lim an	= lim cos(2n + 1) = cos(2 ∞ + 1) = cos ∞ – не існує.
n →∞	n →∞
Отже ряд розбіжний.		g

Ряди з додатними членами. Достатні ознаки збіжності.

Теорема 1.3. (ознака Даламбера)

Нехай для ряду (1.1), починаючи з деякого номера n = N (тобто при n = N, N + 1, N + 2, N + 3, …), члени ряду an > 0 та існує скінчена границя

lim	an +1	= c .	(1.9)

n →∞	an

Тоді

1)при 0 ≤ c < 1 ряд збіжний;

2)при c > 1 ряд розбіжний;

3)при c = 1 дана ознака не дає точної відповіді на питання про збіжність чи розбіжність ряду. Потрібно використати іншу достатню ознаку. Однозначну відповідь ознака Даламбера дає для таких, наприклад, рядів

		P (n)				n
an	=	m			,	де Pm (n) = ∑Ak nk	– многочлен;
an	=		n		,	де Pm (n) = ∑Ak nk	– многочлен;
		b				k =1
an	=	n !	.							(1.10)
an	=		.							(1.10)
		bn
Нагадаємо, що
				n ! = 1 2 3 K (n − 2)(n − 1)n						(1.11)
(читається: «ен» факторіал), зокрема 0! = 1! = 1.
						∞		(n3 − 5n) 33n +1
Приклад 1.7. Дослідити на збіжність ряд ∑								(n3 − 5n) 33n +1	.
Приклад 1.7. Дослідити на збіжність ряд ∑									.
						n =	0	(2n − 3)!
						n =	0

hДля даного ряду маємо

(n3 − 5n) 33n +1

(2n − 3)!

[(n + 1)3 − 5(n + 1)] 33(n +1)+1

(n3 + 3n2 − 2n − 4) 33n +4

[2(n + 1) − 3] !

(2n − 1)!

Врахувавши, що

)

);

− 5n = n

(1 −

; n

+ 3n

2n − 4 = n

(1 +

−

33n +4

= 33n +1 33;

(2n − 1)! = 1 2 3 K (2n − 3)(2n − 2)(2n − 1) =

= (2n − 3)! (2n − 2)(2n − 1) ,

обчислимо границю

an +1

n3 (1 +

−

) 33n +1 33 (2n − 3)!

lim

n →∞ an

n →∞ (2n − 3)! (2n − 2)(2n − 1) n3 (1 −

) 33n +1

(1 +

−

) 27

= lim

(1 −

) 2n (1 −

) (1

)

n →∞ 2n

−

27 (1 +

−

)

27 1

∞

∞2

∞3

= 0 .

4∞2 (1 −

) (1 −

)

(1 −

)

4 ∞ 1 1 1

∞

2 ∞

∞2

Отже, ряд збіжний.

Теорема 1.4. (радикальна ознака Коші).

Нехай для ряду (1.1), починаючи з деякого номера n = N, члени ряду an > 0 та існує скінчена границя

lim n an = c .	(1.12)
n →∞

Тоді

1)при 0 ≤ c < 1 ряд збіжний;

2)при c > 1 ряд розбіжний;

3)при c = 1 дана ознака не дає точної відповіді на питання про збіжність чи розбіжність ряду.

Потрібно використати іншу достатню ознаку.

Радикальну ознаку доцільно використовувати для рядів із загальним членом, наприклад,

= [ϕ(n)]n .

(1.13)

∞

2n + 3

Приклад 1.8. Дослідити на збіжність ряд ∑(2n − 1)

n =0

h Скористаємося радикальною ознакою Коші

lim n a

lim n

2n + 3

n2 =

lim

2n + 3

n →∞

(2n − 1)

n →∞

(

2n − 1)

2n (1 +

) n

lim

(1 +

lim

n →∞

2n (1 −

)

lim

(1 −

n →∞

= {використаємо відому границю

} =

nlim→∞ (1 +

)

= e

3 1

= e > 1.

−

Отже, ряд розбіжний.

Теорема 1.5. (інтегральна ознака Коші)

Нехай ряд (1.1), починаючи з деякого номера n = N, задовольняє умовам

1) an > 0 та an +1 ≤ an ;

2) для всіх n ≥ N існує така неперервна монотонна незростаюча функція

f (x ) > 0 , яка зв’язана з членами ряду (1.1) співвідношенням
an = f (n), n ≥ N.	(1.14)

За таких умов ряд (1.1) буде збігатися або розбігатися, якщо збігається чи

∞

розбігається невластивий інтеграл першого ряду ∫ f (x ) dx .

Нагадаємо, що вказаний інтеграл є збіжним, якщо його значення рівне довільному скінченому дійсному числу. Якщо значення такого інтегралу рівне +∞ чи −∞ , або взагалі не існує, то він є розбіжним.

Зауважимо, що інтегральна ознака Коші завжди дає однозначну відповідь щодо збіжності чи розбіжності ряду.

∞	1
Приклад 1.9. Дослідити на збіжність ряд Діріхлє ∑		,	p > 0 .
	p
n =1 n

hЧлени даного ряду задовольняють всім умовам інтегральної ознаки Коші, починаючи з номера n = 1:

> 0 та

;

(n + 1)p

2) існує така функція f (x ) =

> 0,

x > 0 , для якої f (n) =

x p

∞

dxp .

Обчислимо інтеграл ∫

Розглянемо випадки:

∞

dxp

∞

p ≠ 1.

I = ∫

∫x −p dx = lim

∫x −p dx =

B→∞

x −p +1

(

1−p

)

lim

− 1 .

B→∞ −p + 1

− p B→∞

Якщо

p > 1,

то (1 − p) < 0

→

(p − 1) > 0 .

Тоді

I =

Blim→∞ (

− 1)

(

− 1) =

1 − p

Bp −1

1 − p

∞p −1

(

− 1) =

(0 − 1) =

1 − p

∞

1 − p

Інтеграл збіжний, отже, і ряд збіжний.

Коли p < 1, то (1 − p) > 0 . Тоді

I =

lim (B1−p − 1) =

(∞1−p

− 1)

(∞ − 1) = ∞ .

− p

1 − p

− p

B→∞

В цьому випадку інтеграл розбіжний, і ряд теж розбіжний.

			∞	1
2) p = 1.		Ряд ∑		1	– це гармонічний ряд.
2) p = 1.		Ряд ∑		n	– це гармонічний ряд.
			n =1	n
			n =1
Обчислимо інтеграл
I	=	∞ dx	= lim		B dx	= lim ln x	B =
I	=	∞ dx	= lim		B dx	= lim ln x	B =
		∫ x	B→∞ ∫ x			B→∞	1
		1			1

= lim (ln B − ln 1) = ln ∞ − ln 1 = ∞ − 0 = ∞ .

B→∞

Інтеграл розбіжний, і ряд теж розбіжний.

Отже, ряд Діріхлє є збіжним для p > 1 та розбіжним при p ≤ 1.				g
∞	1
Приклад 1.10. Дослідити на збіжність ряд ∑				.
	(n − 1) ln	2	(n − 1)
n =3

hДаний ряд задовольняє всім вимогам інтегральної ознаки Коші для всіх

p ≥ 3 (перевірити самостійно!). Обчислимо

∞

I = ∫

= lim

∫

(x − 1) ln

(x − 1)

(x −

1) ln

(x − 1)

B→∞

d(x − 1)

= lim −

= lim ∫

= − lim

−

B→∞ 3 ln (x − 1)

B→∞

ln(x −

B→∞

ln(B − 1)

ln 2

= −

−

= −

= 0 +

= const .

∞

ln 2

ln(∞ − 1)

ln 2

Значення інтегралу є скінченим дійсним числом, отже, такий інтеграл

збіжний, і ряд теж збіжний.				g
Теорема 1.6. (ознака порівняння рядів)
Нехай для двох рядів
	∞
	∑an ,	an	> 0 ,	(1.15)
	n =1
	∞
та	∑bn ,	bn	> 0 ,	(1.16)
	n =1
починаючи з деякого номера n = N, виконується нерівність
		0 < an ≤ bn .		(1.17)

Тоді із збіжності ряду (1.16) випливає збіжність ряду (1.15), а із розбіжності ряду (1.15) – розбіжність ряду (1.16).

Перша ознака порівняння застосовується для рядів із різними типами загальних членів. Особливо її доцільно використовувати, коли загальний член ряду містить показникову, логарифмічну чи тригонометричні функції. Для порівняння беруть, наприклад, геометричний ряд чи ряд Діріхлє.

∞	sin2 (nα)		,	α R .
Приклад 1.11. Дослідити на збіжність ряд ∑	3	n −1
n =1

hЗагальний член даного ряду задовольняє нерівність

an = sin2 (nα) ≤	1	для всіх n ≥ 1 та α R .
an = sin2 (nα) ≤	3n −1	для всіх n ≥ 1 та α R .
3n −1	3n −1	∞	∞
		∞	∞		1
Для порівняння зручно взяти геометричний ряд ∑bn			= ∑		1	, який є
Для порівняння зручно взяти геометричний ряд ∑bn			= ∑	3	n −1	, який є
		n =1	n =1	3
збіжним, оскільки q =		1 < 1 .
		3
Згідно ознаки порівняння досліджуваний ряд теж є збіжним.						g

∞

Приклад 1.12. Дослідити на збіжність ряд ∑ lnnn .

n =1

hОскільки 1 < ln n для n ≥ 3 , то загальний член даного ряду задовольняє нерівність

b =	ln n	>	1	, n ≥ 3 .

n	n	∞	n		∞
						1
Для порівняння зручно взяти ряд		∑an			= ∑		,	який є розбіжним. Згід-

		n =1			n =1	n

но ознаки порівняння, даний ряд теж є розбіжним.								g

Теорема 1.7. (гранична форма ознаки порівняння рядів).

Нехай для двох рядів (1.15) та (1.16), починаючи з деякого номера n = N , справедливі нерівності

		an	> 0,	bn > 0 ,	(1.18)
та існує скінчена границя
lim	an	= c,	0 < c < ∞ - скінченне число.		(1.19)

n →∞ bn

Тоді такі ряди збігаються або розбігаються одночасно.

Граничну форму ознаки порівняння доцільно використовувати в тих випадках, коли, наприклад, загальний член ряду містить раціональний та ірраціональний вираз, тригонометричну або обернену тригонометричну функції. Для порівняння теж беруть геометричний ряд чи ряд Діріхлє.

∞	3n5 2 − 53 n
Приклад 1.13. Дослідити на збіжність ряд ∑	n	3	+	4	n
n =1

hЗагальний член ряду подамо у вигляді

3n5 2 − 53 n

3n5 2 − 5n1 3

5 2

−136

3 (1 −

1 − 3 n

3n13 6 )

an =

+ 4

n3 + n1 4

n3 (1 + n

−

(1 + n111 4 )

4 )

n 2

Для

порівняння

зручно

використати

розбіжний

ряд

Діріхлє

∞

∑bn

∑

. Загальні члени обох рядів задовольняють нерівностям

1 2

n =1

n =1 n

3n5 2 − 53 n

> 0,

> 0

для всіх

n ≥ 2

n1 2

n3 + 4 n

Отже, можна скористатися граничною формою ознаки порівняння:

lim

= lim

3 (1 − 3n513 6 )

= lim

3 (1 − 3n513 6 )

3 1

= 3 .

(1 + n111 4 )

n →∞ b

n →∞

→∞

n 2

(1 + n11 4 )

Ряд є розбіжним.

∞

5n2 .

Приклад 1.14. Дослідити на збіжність ряд ∑ ar ct gπ

n =1 (t g

)

3 n

При n → ∞

ar ct g

та

(t g

)

є нескінченно малими величинами

3 n

та еквівалентними відповідно виразам

ar ct g

(t g

)

(

)

3 n

Тоді загальний член даного ряду при n → ∞ є еквівалентним величині

ar ct g

(t g

)

(

)

5π n 3

3 n

При дослідженні на збіжність даного ряду використаємо ознаку порівняння в граничній формі, взявши для порівняння розбіжний ряд Діріхлє

∞

∑bn

= ∑

. При обчисленні границі

lim

замінимо an еквівале-

1 3

n =1

n =1 n

n →∞ bn

нтним йому виразом:

lim

= lim

n1 3

5π

n →∞ bn

n →∞ 5π n1 3

Досліджуваний ряд є розбіжним.

Знакозмінні ряди.

Означення 1.4. Знакозмінним рядом називається ряд (1.1), членами якого є числа довільного знаку.

Наприклад, знакозмінним є ряд

∞

∑an

= ∑

cos (

= 1 − 1 −

− 1

+ 1 +

+ K

(1.20)

n =1

∞

Означення 1.5. Знакозмінний ряд

∑an

називається абсолютно збіж-

n =1

ним, якщо збіжним є ряд, складений із абсолютних величин його членів:

∞

∑

+ K +

+ K

(1.21)

n =1

∞

Означення 1.6. Знакозмінний ряд

∑an

називається умовно (неабсолю-

n =1

∞

тно) збіжним, якщо він збігається і при цьому відповідний йому ряд ∑ an є

n =1

розбіжним.

Теорема 1.8. (достатня ознака збіжності знакозмінного ряду).

∞

Якщо знакозмінний ряд ∑an збігається абсолютно, тобто збігається ряд

n =1

∞

∑ an , то і заданий знакозмінний ряд теж є збіжним.

n =1

∞

При дослідженні на абсолютну збіжність ряду ∑an можна використати

n =1

для ряду (1.21) відомі достатні ознаки збіжності рядів з додатними членами, оскільки an ≥ 0 .

∞	sin (	π	n)
		4
Приклад 1.15. Дослідити на збіжність ряд ∑				.
	n	2
n =1

hЗапишемо декілька перших членів ряду

sin (	π	)		sin		(	π	)			sin (			3π )			sin π					sin (5π )
sin (		)		sin		(		)			sin (			3π )			sin π					sin (5π )
4			+			2			+					4		+				+				4	+
			+						+			9				+	16			+			25		+
1				4								9					16						25
			+	sin		(32π)				+		sin (74π)				+		sin 2π			+ K =
			+	36						+		49				+	64				+ K =
				36								49					64
			=		2	+		1		+			2	+	0 −			2	−		1		−	2	+ 0 + K
			=	2		+		1		+		18		+	0 −		50		−	36			−	98	+ 0 + K
				2				4				18					50			36				98

Даний ряд є знакозмінним рядом. Утворимо ряд з абсолютних величин

∞

sin (

)

sin (

)

sin (

∑

+ K +

+ K

n =1

Для дослідження його на збіжність скористаємося, наприклад, ознакою порівняння для рядів з додатними членами. Для порівняння візьмемо збіжний ряд Діріхлє

∞

∑

= {p = 2}

1 + 1

+ 1 + K +

+ K

n =1 n

Оскільки

sin (

≤

для всіх

n ≥ 1 ,

то ряд з абсолютних величин теж є збіжним, а за теоремою 1.8 збігається і

заданий знакозмінний ряд.

Означення 1.7. Знакопочерговим рядом називається знакозмінний ряд із

строгою почерговою зміною знаків його членів.

Знакопочерговий ряд можна подати, наприклад, в такому вигляді

∞

∑(−1)n +1an = a1 − a2 + a3 − a4 + K,

> 0

(1.22)

n =1

або

∞

∑(−1)n an = −a1 + a2 − a3 + a4 − K,

> 0

(1.23)

n =1

Теорема 1.10. (достатня ознака Лейбніца збіжності знакопочергових рядів)

Нехай для знакопочергових рядів (1.22) та (1.23) справедливі умови

1)	lim an = 0,	an ≥ 0 ;	(1.24)
	n →∞
2) починаючи з деякого номера n = N
an +1 ≤ an ,	n = N,	N + 1, N + 2, N + 3, K	(1.25)

Тоді 1) знакопочергові ряди збігаються принаймні умовно (для перевірки їх на

∞

абсолютну збіжність потрібно додатково дослідити на збіжність ряд ∑an );

n =1

2) суми S цих рядів мають знак своїх перших членів та не перевищують їх за абсолютною величиною, тобто має місце така оцінка

S	≤ a1 .	(1.26)

Будь-який залишок rn знакопочергового ряду теж є знакопочерговоговим рядом. Для рядів виду (1.22) та (1.23) їх залишки після n-того члена мають, відповідно, такий вигляд

rn	= (−1)n +2 an +1 + (−1)n +3 an +2 + (−1)n +4 an +3 + K;	(1.27)
rn	= (−1)n +1an +1 + (−1)n +2 an +2 + (−1)n +3 an +3 + K.	(1.28)

З теореми 1.10 випливає такий

Наслідок. Якщо знакопочерговогові ряди виду (1.22) чи (1.23) задовольняють умовам (1.24) та (1.25) ознаки Лейбніца (тобто вони є збіжними), то їх залишки rn мають знак своїх перших членів та не перевищують їх за абсолютною величиною, тобто завжди має місце умова

	rn		≤ an +1 .	(1.29)

Нерівність (1.29) дозволяє знайти наближене значення суми S збіжного знакопочергового ряду з довільною степінню точності δ.

∞	2n + 1
Приклад 1.16. Дослідити на збіжність ряд ∑(−1)n +1		.

n =1	n(n + 1)

hДаний ряд є знакопочерговим рядом. Для встановлення його збіжності (умовної) застосуємо ознаку Лейбніца:

2n + 1

2n (1

)

2 1

lim a

= lim

lim

= 0

;

n →∞

n →∞ n(n + 1)

n →∞ n 2 (1

)

∞ 1

n +1

2(n + 1) + 1

2n + 3

(n + 1)(n + 2)

Обчислимо різницю

n +1

− a

2n + 3

−

2n + 1

(2n + 3)n − (2n + 1)(n + 2) =

(n + 1)(n + 2)

n(n + 1)

n(n + 1)(n + 2)

2n2

+ 3n − 2n2 − 5n − 2

−2(n + 1)

< 0 для всіх

≥ 1 .

n(n + 1)(n + 2)

Отже, an +1 < an для всіх n ≥ 1 .

Таким чином, всі умови ознаки Лейбніца виконуються, тобто ряд є принаймні умовно збіжним.

Для перевірки його на абсолютну збіжність розглянемо ряд з абсолютних

∞

2n + 1

величин ∑

. Для дослідження його на збіжність використаємо,

n =1

n(n +

оскільки an +1 < an при

наприклад,

інтегральну

ознаку

Коші,

n = 1,2,3,K,

та

для

всіх

x ≥ 1

існує

неперервна функція

f (x ) =

2x + 1

> 0 , яка рівна

2n + 1

при x = n.

x (x + 1)

n(n + 1)

Обчислимо інтеграл

∞

+ 1

(

)dx =

I = ∫

dx = lim

∫

x (x

+ 1)

x +

B→∞

= lim [ln

+ ln

x + 1

]

B = lim ln

x (x + 1)

B =

→∞

= lim [ln

B(B + 1)

− ln 2] = ln ∞ − ln 2 = ∞ − ln 2 = ∞ .

→∞

Інтеграл розбіжний, отже, і ряд з абсолютних величин теж розбіжний. Таким чином, заданий знакопочерговий ряд не є абсолютно збіжним, а

лише умовно.						g
Приклад	1.17.					Обчислити суму збіжного знакопочергового ряду
∞			1
∑(−1)n			1			з точністю δ = 0.001.
∑(−1)n	n	2		2	n	з точністю δ = 0.001.
n =1	n			2

hБудь-яка n-та часткова сума Sn збіжного знакопочергового ряду є наближенням до точного значення його суми S (S ≈ Sn) з точністю, яка рівна абсолютній величині залишку після n-того члена rn цього ряду. Згідно наслідку з ознаки Лейбніца такий залишок за модулем не перевищує свого

першого члена an+1. Отже, з’ясуємо, при якій кількості n членів часткової суми Sn виконується нерівність

S − Sn = rn ≤ an +1 < δ.

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
03.05.20211.05 Mб15455.pdf
#
03.05.2021947.78 Кб4456.pdf
#
03.05.2021776.15 Кб3490.pdf
#
03.05.20211.59 Mб5683.pdf
#
26.04.20211.64 Mб3M-008.pdf
#
26.04.20211.23 Mб3M-040.pdf
#
26.04.2021439.24 Кб5M-051.pdf
#
26.04.2021967.56 Кб12Частина 1.pdf
#
26.04.2021882.81 Кб2Частина 2.pdf
#
26.04.20211.01 Mб2Частина 3.pdf
#
26.04.2021669.46 Кб6Частина 4.pdf