M-040

4. Наближені обчислення за допомогою рядів

Розвинення функцій в ряди Тейлора та Маклорена широко застосовуються у наближених обчисленнях.

4.1. Обчислення значень функцій

Якщо функцію f(x) можна розкласти в ряд Тейлора в околі (x0 − R; x0 + R) точки x0, то наближене значення f(x) в точці x0 дорівнює ча-

стковій сумі цього ряду Sn(x0). Кількість членів n в сумі Sn(x0) береться такою, щоб

rn(x0), вибирається залежно від конкретного випадку. Обмежимося тут двома методами оцінки, а саме на основі ознаки Лейбніца для знакопочергових рядів та за допомогою оцінки залишкового члена rn(x0) ряду Тейлора для рядів з додатними членами, беручи його у формі Лагранжа.

Проілюструємо ці методи на прикладах.

Приклад 4.1. Обчислити 5 36 з точністю δ = 10−3.

hПеретворимо задане число, скориставшись формулою

1

5 36 = 5 32 + 4 = 5 25 + 4 = 2 k 1 + 324 = 2 (1 + 81)5 .

Використаємо біномний ряд (3.20), поклавши в ньому x = 81 , α = 51 :

Отримали збіжний знакопочерговий ряд. Згідно ознаки Лейбніца, залишок ряду не перевищує за абсолютною величиною свого першого члена. Знайдемо перший член ряду, що за модулем менший 0,001:

Приклад 4.2. Обчислити cos110° з точністю δ = 10−6.

hСкористаємося тим, що

cos110° = cos(90° + 20°) = −sin 20° = −sin π9

Підставивши в ряд Маклорена (3.16) для sin x значення x = π9 , одержи-

Згідно ознаки Лейбніца, знайдемо перший член отриманого збіжного знакопочергового ряду, який за абсолютною величиною буде меншим, ніж 0.000001. При обчисленнях візьмемо π ≈ 3.1415926 :

hСкористаємося розкладом (3.15) функції ex, поклавши в ньому x = 21 :

Обчислимо похибку наближення за допомогою залишкового члена ряду Маклорена (3.11)

Оскільки

Таким чином, з точністю δ = 10−3

e = 1 + 21 + 4 12! + 8 13! + 161 4! + K =

=1 + 21 + 81 + 481 + 3641 + K ≈ 1.6484375 ≈ 1.648 .

4.2.Обчислення інтегралів

Обчисленням означених інтегралів за допомогою степеневих рядів зручно користуватися тоді, коли підінтегральна функція не має первісної серед елементарних функцій. При цьому підінтегральна функція повинна розкладатися в

функцій (безпосереднє інтегрування неможливе!). Скориставшись формулою (3.15), отримаємо

Отриманий ряд збігається на всій дійсній осі, отже його можна почленно інтегрувати на проміжку [a; b] = [0;1]

Отриманий ряд є збіжним знакопочерговим рядом. Згідно ознаки Лейбні-

ца, знайдемо перший член ряду, що не перевищує за модулем точності

δ = 10−1:

n = 1 : a1 = 122 = 1 > δ, n = 2 : a2 = 2224 = 21 > δ,

n = 3 : a3 = 3!236 = 368 = 0.(2) > δ,

n = 4 : a4 = 4!248 = 19216 = 0.08(3) < δ,

Отже,

4.3. Наближене розв’язування диференціальних рівнянь

У випадках, коли точно проінтегрувати диференціальне рівняння з допомогою елементарних функцій не вдається, його розв’язок зручно шукати у вигляді ряду Тейлора чи Маклорена.

Нехай потрібно знайти розв’язок рівняння

Припустимо, що розв’язок y = f (x ) можна зобразити рядом Тейлора:

розв’язаною. Ці коефіцієнти можна знайти з рівняння (4.2) та умови (4.3). Справді, з умови (4.3) випливає, що f (x0 ) = y(x0 ) = y0 , з рівняння (4.2) отри-

маємо f ′(x0 ) = y′(x0 ) = F(x0 , y0 ) . Диференціюючи обидві частини вихідного рівняння (4.2) по x, отримаємо послідовно:

розв’язки. Такий принцип побудови розв’язків можна застосувати і до рівнянь більш високого порядку.

Приклад 4.5. Знайти п’ять перших ненульових членів розкладу в ряд Тейлора розв’язку диференціального рівняння

y′ = x 2 + y2 , якщо y(1) = 1 .

hЗ даного рівняння знаходимо, що y′(1) = 12 + (y(1))2 = 1 + 1 = 2 . Диференціювати задане рівняння, знайдемо

y(4) = 2 (y′′ y′ + y′ y′′ + y′ y′′ + y y′′′) = 2 (3 y′ y′′ + y y′′′) , y(4) (1) = 2 (3 2 6 + 1 22) = 116 .

Таким чином, шуканий розклад розв’язку даного рівняння має вигляд

Приклад 4.6. Знайти перших три ненульових члени подання в ряд Макло-

рена розв’язку диференціального рівняння y′′ = (1 + x 2 )y при початкових умовах y(0) = −2, y′(0) = 0 .

hПідставивши у задане рівняння початкові умови та значення x = 0 , одержимо:

y′′(0) = (1 + 0)(−2) = −2 .

Диференціюючи вихідне рівняння, послідовно знайдемо

Запитання для самоперевірки

1.Записати ряди Тейлора та Маклорена для довільної функції f(x).

2.Записати формули Тейлора та Маклорена для довільної функції f(x).

3.Сформулювати умови розкладу функції f(x) в ряд Тейлора.

4.Навести приклади розвинення основних функцій в ряди Маклорена.

5.Викласти метод розкладу в ряд Тейлора довільної функції з використанням основних розкладів в ряд Маклорена.

6.Викласти способи наближеного обчислення значень функцій за допомогою степеневих рядів.

7.Сформулювати умови використання зображень функцій в ряди Тейлора при обчисленні означених інтегралів.

8.Викласти метод наближеного інтегрування диференціальних рівнянь за допомогою степеневих рядів.

2.10.а)

2.11.а)

2.12.а)

2.13.а)

2.14.а)

2.15.а)

2.16.а)

2.17.а)

2.18.а)

2.19.а)

2.20.а)

2.21.а)

2.22.а)