Добавил:

posterp Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Днепропетровский национальный университет железнодорожного транспорта им. академика В. Лазаряна

Предмет:

Высшая математика

Файл:

M-040

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

26.04.2021

Размер:

1.23 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Для цього, послідовно обчислюючи значення a1, a2, a3, K, знайдемо той

перший член ряду an+1, який менший заданого числа δ > 0. Тоді S ≈ Sn з точністю δ.

Обчислені значення членів ряду запишемо у вигляді десяткового дробу з чотирма знаками після коми, щоб при обчисленні суми Sn до заданої припустимої похибки не додавалися похибки від заокруглення доданків:


a	=	1 = 0.5		,					a	=		1	=		1			= 0.0625 ,
a	=	1 = 0.5		,					a	=	22	22	=	16				= 0.0625 ,
1		2							2		22	22		16
a	=		1	=		1	≈ 0.0139 ,		a	=		1	=				1		≈ 0.0039		,
a	=	32	23	=	72		≈ 0.0139 ,		a	=	42 24		=	256					≈ 0.0039		,
3		32	23		72				4		42 24			256
a	=		1	=		1		≈ 0.0013 ,	a	=		1	=			1				≈ 0.0004 < 0.001 .
a	=			=				≈ 0.0013 ,	a	=			=							≈ 0.0004 < 0.001 .
5		52	25		800				6		62	26		2304
		52	25		800						62	26		2304

Отже, з точністю δ = 0.001 сума ряду рівна

S ≈ S5 = −0.5 + 0.0625 − 0.0139 + 0.0039 − 0.0013 = −0.4488 ≈ −0.449 . g

Запитання для самоперевірки.

1.Дати означення числового ряду, його часткових сум та залишкового члена.

2.Сформулювати означення збіжності та розбіжності ряду, його суми.

3.Сформулювати основні властивості збіжних числових рядів.

4.Довести необхідну ознаку збіжності та достатню ознаку розбіжності ряду.

5.Довести ознаку Даламбера збіжності рядів.

6.Довести радикальну ознаку Коші збіжності рядів.

7.Довести інтегральну ознаку Коші збіжності рядів.

8.Довести ознаку порівняння рядів.

9.Сформулювати означення знакозмінного ряду. Дати означення абсолютної та умовної збіжності рядів.

10.Довести достатню ознаку збіжності знакозмінного ряду.

11.Дати означення знакопочергового ряду. Довести ознаку Лейбніца збіжності знакопочергового ряду. Пояснити її застосування.

2. Функціональні та степеневі ряди

Розглянемо довільну нескінчену послідовність дійснозначних функцій аргументу x R

{un (x )} = u1(x ), u2 (x ), u3 (x ), K, un (x ),K

із загальним членом

un(x) R,

що

мають

спільну область визначення

D[un (x )] = a; b ,

n = 1,2,3,K

Означення 2.1. Вираз виду

∞

u1(x ) + u2 (x ) + u3 (x ) + K + un (x ) + K = ∑un (x ) ,

(2.1)

n =1

в якому un(x) R,

D[un (x )] =

a; b , n = 1,2,3,K, називається функціональ-

ним рядом.

Наприклад, функціональним є ряд

∞

cos nx

cos x

cos2x

cos3x

∑

2x 2 +

3x2 + K

n =1 n

9 e

Часткова сума ряду (2.1), тобто сума n перших його членів

Sn (x ) = ∑uk (x ) = u1(x ) + u2 (x ) + u3 (x ) + K + un (x )

(2.2)

k =1

є функцією змінної x.

Ряд

∞

rn (x ) = ∑un (x ) − Sn (x ) =

∑ uk (x ) = un +1 (x ) + un +2 (x ) + K

(2.3)

n =1

k =n +1

називається залишком ряду (2.1) після n-того члена.

Якщо в ряді (2.1) надати x довільного конкретного значення x0 D[un ] , то отримаємо певний числовий ряд

∞
u1(x0 ) + u2 (x0 ) + K + un (x0 ) + K = ∑un (x0 ) ,	(2.4)

n =1

який може збігатися або розбігатися (його досліджують за допомогою ознак збіжності чи розбіжності для числових рядів).

Точку x = x0 D[un ] , в якій числовий ряд (2.4) збігається, називають

точкою збіжності функціонального ряду (2.1), в протилежному випадку – точкою розбіжності. Для одних точок x D[un ] ряд (2.1) може збігатися,

для інших – розбігатися.

Означення 2.2. Множина G = c; d всіх тих значень x D[un ] , при

яких числові ряди (2.4) збігаються, називається областю збіжності функціонального ряду (2.1).

Зрозуміло, що завжди G D[un ] .

Для будь-якого x G існує скінчена границя

lim Sn (x ) = S(x ) ,	(2.5)
n →∞

яка є функцією від x і називається сумою функціонального ряду (2.1), тобто

	∞
	∑un (x ) = S(x ) , коли	x G .
	n =1
Якщо ряд (2.1) збіжний, то має місце рівність
lim rn (x ) = lim [S(x ) − Sn (x )]		= 0,	x G .	(2.6)
n →∞	n →∞
Зауваження.	До функціональних рядів належать також			вираз виду

∞

∑ un (x ) , де n0 може приймати довільні невід’ємні цілі значення.

n =n0

Приклад 2.1. Знайти область збіжності функціонального ряду

∞

∑

n =0 (x

− 1)

h Спільною областю визначення функцій

= 0,1,2,K,

є мно-

(x − 1)2n

жина

D[u

] = D

= (−∞;1) U (1; ∞)

(x − 1)

При кожному значенні x D[un ]

даний ряд можна розглядати як геоме-

тричну прогресію з першим членом a1 = 1 та знаменником q =

−

1)2

Відповідні числові ряди будуть збігатися, коли

< 1

→

(x − 1)2

> 1

→

x − 1

> 1, тобто

(x −

→

{x − 1 > 1

та

x − 1 < −1}

або

{x > 2

та

x < 0} .

Таким чином, область G збіжності даного функціонального ряду складається з двох напівбезмежних інтервалів:

G = (−∞;0) U (2; ∞) , причому G D[un ] .

Для будь-якого x G суму S(x) даного ряду можна знайти за формулою

суми нескінченно спадної геометричної прогресії S =							a1	, тобто
суми нескінченно спадної геометричної прогресії S =								, тобто
							1 − q
S(x ) =		1		=	(x − 1)2	.
S(x ) =				=		.
	1	−	1		x (x − 2)
	1	−	(x −1)2		x (x − 2)

Легко довести також, що для довільного значення x G (наприклад,

x = 3) lim rn (x ) = 0 :
n →∞
lim	rn (x ) = lim				1							1					1
								+								+				+ K		=
					2(n +1)			+			2(n +2)					+		2(n +3)		+ K		=
n →∞		n →∞		2					2								2
	=	lim			1		1 +				1		+		1		+ K		=	lim		1		1		=
	=	lim	2				1 +		2				+	2			+ K		=	lim	2		1	−	2	=
			2						2					2							2		1	−	2
		n →∞		2(n +1)					2							4				n →∞		2(n +1)			1
		n →∞		2(n +1)					2							4				n →∞		2(n +1)			2
																									2
	=	1			1	=		4		1			=	4		0 = 0 .										g
	=	1 − 41			2∞	=		4					=	4		0 = 0 .										g
		1 − 41			2∞			3			∞			3

Означення 2.3. Збіжний на множині G функціональний ряд (2.2) називається рівномірно збіжним на цій множині, якщо для довільного числа ε > 0 існує такий номер N(ε), що для всіх n > N(ε) та всіх x G виконується нерівність

	Sn (x ) − S(x )		=		rn (x )		< ε .	(2.7)

Означення 2.4. Функціональний ряд (2.1) називається мажорованим (правильно збіжним) на множині G, якщо існує такий збіжний числовий ряд

∞
∑αn , αn > 0 ,	(2.8)

n =1

що для всіх x G виконується нерівність

	un (x )		≤ αn ,	n = 1,2,3,K	(2.9)

При цьому ряд (2.8) називають мажорантою (мажорантним рядом) для ряду (2.1), сам ряд (2.1) – мажорованим рядом.

Зрозуміло, що мажорований ряд збігається:

∞

∑un (x ) = S(x ), x G .

n =1

Основні властивості рівномірно та правильно збіжних функціональних рядів.

1.Будь-який правильно збіжний на відрізку [c; d] ряд (2.1) є абсолютно збі-

∞

жним на [c; d], тобто ряд ∑ un (x ) має суму S%(x ) :

n =1

∞

∑ un (x ) = S%(x ), x [c, d]

n=1

2.Будь-який правильно збіжний на [c; d] ряд (2.1) є рівномірно збіжним на [c; d] (ознака Вейєрштрасса рівномірної збіжності функціонального ряду). Обернене твердження не завжди правильне. Не будь-який рівномірно збіжний ряд є правильно збіжним.

3.Сума ряду неперервних функцій, що рівномірно збігається на відрізку [c; d], є неперервною функцією на [c; d].

4.Нехай на [c; d] ряд (2.1) рівномірно збіжний до функції S(x), і члени його

єнеперервними функціями на [c; d]. Тоді такий ряд можна почленно інте-

грувати на довільному відрізку [α; x] [c; d], причому

∞	x	x
∑	∫un (t) dt = ∫S(t) dt .
n =1 α		α

Крім того, ряд, здобутий почленним інтегруванням даного ряду, буде рівномірно збіжним на відрізку [α; x].

5.Нехай ряд (2.1) збіжний до функції S(x) на відрізку [c; d], а його члени

	∞
un(x) мають неперервні похідні u′n (x )	на [c; d]. Якщо ряд ∑u′n (x ) є рів-
	n =1
номірно збіжним на [c; d], то справедлива рівність
∞
∑u′n (x ) = S′(x ),	x [c, d] ,

n =1

тобто такий ряд можна почленно диференціювати, і його сума S(x) є диференційованою функцією.

∞
Приклад 2.2. Довести, що ряд ∑ cos nx		рівномірно збіжний для всіх
n =1	n !
n =1

x R і його можна почленно інтегрувати та диференціювати.

hДля всіх x R виконується нерівність

	cos nx	≤	1	,	n = 1,2,3,K
			1
			n !
	n !		n !
					∞	1
Згідно ознаки Даламбера числовий ряд ∑						1	є збіжним:
Згідно ознаки Даламбера числовий ряд ∑						n !	є збіжним:
					n =1	n !
					n =1

lim

an +1

lim

n !

= 0

n !

∞

n →∞

n →∞ (n + 1)!

n →∞ n !(n + 1)

Тому даний функціональний ряд є мажорованим, і, за ознакою Вейерштрасса, рівномірно збіжним для всіх x R.

Оскільки члени ряду	cos nx	є неперервними функціями на всій дійсній
	n !

осі, то його сума теж є неперервною функцією. Крім того, такий ряд можна почленно інтегрувати на довільному відрізку [α; x ] .

Обчислимо похідні

cos nx

= −n sin nx =

− sin nx .

n !

(n − 1)!

Функції −sin nx є неперервними для x R.

(n − 1)!

Для всіх x R виконується нерівність

− sin nx

≤

n = 1,2,3,K;

0! = 1 .

(n − 1)!

∞

Згідно ознаки Даламбера ряд

∑

є збіжним. Таким чином, ряд

(n −

1)!

n =1

∞

∑ (−(nsin− 1)!nx ) є мажорованим, а, отже, і рівномірно збіжним на всій дійс-

n =1

ній осі. Тому даний ряд можна також почленно диференціювати.

Важливим різновидом функціонального ряду є степеневий ряд. Означення 2.5. Степеневим рядом називається ряд

	∞
a0 + a1(x − x0 ) + a2 (x − x0 )2	+K+ an (x − x0 )n +K = ∑an (x − x0 )n , (2.10)
	n =1

де x0 – фіксоване значення аргументу x; a0, a1, a2, … – постійні дійсні числа, що називаються коефіцієнтами степеневого ряду.

При x0 = 0 отримаємо степеневий ряд виду

∞
∑an x n .	(2.11)

n =1

Степеневий ряд (2.10) завжди збіжний в точці x = x0, оскільки в цьому ви-

падку його сума S(x) = a0.

Теорема Абеля. Якщо степеневий ряд (2.10) збіжний для x = x1 ≠ x0 , то він абсолютно збіжний на множині, що визначається нерівністю x < x1 .

Якщо для x = x2 ≠ x0 степеневий ряд (2.10) розбіжний, то він розбіжний для

всіх x, для який x > x2 .

Із теореми Абеля випливає таке твердження: якщо степеневий ряд (2.10) збіжний для деякого x ≠ x0 , то завжди знайдеться таке дійсне число

R (0 ≤ R < ∞) , що для всіх x (x0 − R; x0 + R)				він буде абсолютно збіж-
ним, тобто
∞
∑	an (x − x0 )n	= S(x ),	x − x0	< R .	(2.12)

n =0
Інтервал (x0 − R; x0 + R)		називається інтервалом збіжності,			точка x0 –

його центром, число R – радіусом збіжності. При x − x0 > R ряд розбіжний.

Питання про збіжність ряду в кінцевих точках x = x0 − R та x = x0 + R інтервалу збіжності розв’язується для кожного конкретного ряду

окремо.

Одним із способів знаходження інтервалу збіжності степеневого ряду (2.10) є застосування ознаки Даламбера чи радикальної ознаки Коші до ряду

∞
∑ an x − x0 n	(2.13)

n=0

взалежності від структури коефіцієнтів an. Наприклад, застосуємо ознаку Даламбера:

lim

n +1

x − x

n +1

x − x

lim

n +1

n →∞

x − x0

n →∞

Згідно ознаки Даламбера ряд (2.13) буде збігатися, тобто ряд (2.10) буде

абсолютно збіжним, якщо

x − x

lim

an +1

< 1

→

x − x

→

x − x

lim

an +1

n →∞

→∞

За радіус збіжності береться число

R = lim

(2.14)

an +1

n →∞

а інтервалом збіжності буде множина

x0 − R < x < x0 + R .

Якщо застосувати радикальну ознаку Коші, то отримаємо:

lim n

x − x0

lim n

n →∞

Згідно цієї ознаки, ряд (2.10) буде збігатися абсолютно, коли

x − x0

lim n

< 1 →

x − x0

lim n

n →∞

За радіус збіжності береться число

R =	1		.	(2.15)
	lim n	an
	lim n	an
	n →∞
	n →∞

Зауважимо, що застосовувати ознаку Даламбера та радикальну ознаку Коші для визначення радіусу збіжності степеневого ряду (а, значить, і для встановлення інтервалу збіжності) можна тільки для тих рядів, коли, починаючи з деякого n = N, всі an ≠ 0 , та границі в (2.14), (2.15) існують (зокрема, рі-

вні нулю) або рівні +∞.

Приклад 2.3. Знайти область збіжності степеневого ряду

∑∞ (−1)n 2(nx −n2)+n1 .

n =0

∞

n (x − 2)n

∞

x − 2

h Розглянемо ряд

∑

(−1)

= ∑

n +

n =0

2 n

Радіус збіжності даного ряду знайдемо за формулою

R = lim

Оскільки

n →∞

an +1

n +1

n + 1

то

2n +1

n + 2

n 1 +

R = lim

2 lim

= 2 .

n +

n 1 +

n →∞

Отже, даний ряд збігається на інтервалі (x0 = 2)

x0 − 2 < x0 + 2,

тобто

0 < x < 4 .

Дослідимо на збіжність даний ряд на кінцях отриманого інтервалу.

При x = 0 отримаємо числовий ряд

∞

n (0 − 2)n

∞

∑(−1)

∑

(−1)

= ∑

n + 1

n =0

n +

n =0

n + 1

n =0

n n +

Застосуємо ознаку порівняння в граничній формі, порівнявши отриманий

∑

1 2

{

}

ряд із розбіжним рядом Діріхлє

∞

p =

n =0 n

lim

= lim

= 1 ≠ 0 .

n →∞ bn

n →∞

n n +

→∞

n +

Отже, отриманий числовий ряд є так само розбіжним.

При x = 4 отримаємо числовий знакопочерговий ряд

∞

(−1)n

∑(−1)n

∑

n =0

n +

n =0 n +

Застосуємо ознаку Лейбніца :

lim a

lim

= 0 ;

n + 1

∞

n →∞

an =

an +1 =

для всіх n ≥ 0 .

n + 1

n +

Всі умови ознаки Лейбніца виконуються, отже, отриманий числовий ряд є збіжним.

Таким чином, областю збіжності даного степеневого ряду є його інтервал збіжності з долученням до нього точки x = 4:

0 < x ≤ 4 .

Приклад 2.4. Знайти область збіжності степеневого ряду

∞

(

)n (x

∑

+ 1)n .

3n + 1

n =1

(

∞

h Розглянемо ряд ∑

x + 1

n .

3n + 1

n =1

Радіус збіжності даного ряду зручно шукати за формулою

R =	1		.
	lim n	an
	lim n	an
	n →∞

Оскільки an = (3nn+ 1)n то

R =

lim

n (

lim

n +1

(1+

)

n →∞

n +1

n →∞

n →∞ 3 n

Отже, даний ряд збігається на інтервалі (x0 = −1)

= 11 = 3 .

x0 − 3 < x < x0 + 3 → − 1 − 3 < x < −1 + 3 → − 4 < x < 2 .

Дослідимо ряд на кінцях отриманого інтервалу.

При x = −4 отримаємо знакопочерговий числовий ряд

∞		n	)n (−3)n	∞	3n	)n .
∑	(			= ∑(−1)n (
		3n + 1			3n + 1
n =1				n =1

Цей ряд є розбіжним, оскільки задовольняє достатню ознаку розбіжності ряду:

(

)

lim

= lim

lim

≠ 0

3n + 1

(1 +

)

n →∞

Коли x = 2 , отримаємо числовий ряд

∞

∑(

3n =

∑

(

3n +

n =1

3n + 1

який теж є розбіжним, бо для нього також виконується достатня ознака розбіжності.

Таким чином, областю збіжності досліджуваного ряду є його інтервал збіжності. g

Степеневі ряди, крім п’яти приведених вище основних властивостей для рівномірно та правильно збіжних функціональних рядів, володіють ще такими:

1.Якщо для степеневого ряду радіус збіжності R ≠ 0 , то такий ряд є правильно збіжним на будь-якому відрізку [α,β] , що лежить всередині ін-

тервалу збіжності (x0 − R; x0 + R) . При цьому його сума S(x) є неперервною функцією на інтервалі збіжності.

2.Степеневі ряди можна почленно диференціювати та інтегрувати в їх інтервалах збіжності. Радіус збіжності отриманих рядів при цьому не змінюється.

∞	x 2n −1
Приклад 2.5. Знайти суму ряду ∑		.

n =1	2n − 1

hЗнайдемо інтервал збіжності за ознакою Даламбера:

an +1

x 2n +1

2n − 1

(1 −

)

lim

= x

lim

= x

1 = x

(1 +

)

n →∞

n →∞ 2n + 1

x 2n −1

n →∞ 2n

x 2 < 1 → − 1 < x < 1.

Отже, при

< 1 ряд збіжний ( R = 1 ), і його можна почленно диферен-

ціювати. Позначивши суму ряду через S(x), отримаємо

∞	(2n − 1) x 2n −2	∞
S′(x ) = ∑		= ∑x 2(n −1) .
	2n − 1
n =1		n =1

Знайдений ряд має той самий інтервал збіжності, що і заданий, згідно відповідної властивості для степеневих рядів.

Отриманий ряд є сумою нескінченно спадної геометричної прогресії з пе-

ршим членом 1 та знаменником q = x	2	і його сума S′(x ) =	1	.
			1 − x 2

Як видно, при x = 0 сума даного ряду S(x ) = 0 . Проінтегрувавши ряд із похідних на проміжку [0; x ] , знайдемо суму даного ряду для x < 1 :

= 1 ln

x + 1

S(x ) = ∫S′(t) dt = ∫

< 1.

1 − t

x − 1

Запитання для самоперевірки.

1.Сформулювати означення функціонального ряду, його часткових сум та залишкового члена.

2.Дати означення області збіжності функціонального ряду, його суми.

3.Сформулювати означення рівномірної та правильної збіжності функціонального ряду.

4.Перелічити властивості рівномірно та правильно збіжних функціональних рядів.

5.Дати означення степеневого ряду. Довести теорему Абеля.

6.Дати означення радіусу та інтервалу збіжності степеневого ряду, вказати способи їх визначення.

7.Перелічити основні властивості степеневих рядів.

3. Ряди Тейлора та Маклорена

Розглянемо функцію y = f (x ) , яка є нескінченно диференційованою в

деякому околі (x0 − σ;

x0 + σ)

точки x0.

Поставимо формально у відповідність даній функції f(x) такий степеневий

ряд:

f ′(x0 )

f ′′(x0 )

f (x )

f (x0 ) +

(x − x0 ) +

(x − x0 ) + K

(3.1)

(n)

(x0 )

∞

(n)

(x0 )

− x0 )n + K = ∑

(x − x0 )n ,

x (x0 − σ; x0 + σ) .

n !

n =

Ряд (3.1) називається рядом Тейлора для функції f(x) .

В окремому випадку, коли x0 = 0, ряд (3.1) набуває вигляду

f (x ) f (0) +

f ′(0)

f ′′(0)

x 2

+ K +

f (n) (0)

x n

+ K =

n !

∞

(n) (0)

= ∑

x n

x (−σ; σ) .

(3.2)

n =0

n !

і носить назву ряду Маклорена для функції f(x).

Якщо позначити через

(k )

(x0 )

Sn (x ) = ∑

(x − x

0 )k ,

(3.3)

k =0

k !

(k )

(0)

Sn (x ) = ∑

x k

(3.4)

k =0

k !

n-ту часткову суму ряду Тейлора (3.3) чи Маклорена (3.4), то різниця

∞

(n)

(x0 )

∞

(k )

(x0 )

Rn (x ) = ∑

(x − x0 )n −

Sn (x ) = ∑

(x − x

0 )k

, (3.5)

n =0

n !

k =n +1

k !

∞

(n)

(0)

∞

(k )

(0)

Rn (x ) = ∑

x n

− Sn (x ) =

∑

x k

(3.6)

n =0

n !

k =n +1

k !

називається залишком ряду Тейлора (3.5) або Маклорена (3.6) після n-того члена.

В загальному, знак рівності між функцією f(x) та її рядом Тейлора чи Маклорена у виразах (3.1) чи (3.2) ставити не можна, оскільки такі ряди можуть

розбігатися на всій множині	(x0 − σ; x0 + σ) , або збігатися на множині
x0 − σ1; x0 + σ1 (x0 − σ;	x0 + σ) до функції ϕ(x ) ≠ f (x ) .

Умови на функцію f(x), при якій її ряд Тейлора збігається саме до функції f(x), визначаються такою теоремою.

Теорема 3.1. Нехай функція f(x) визначена та нескінченно диференційо-

вана в деякому околі					(x0 − σ; x0 + σ)			точки x0, та існує такий проміжок
x0 − R;	x0 + R	≤ (x0 − σ; x0 + σ) , на якому залишковий член ряду Тейло-
ра rn(x) задовольняє умові
						lim Rn (x ) = 0 .				(3.7)
						n →∞
Тоді для всіх			x x0 − R; x0 + R					сума ряду Тейлора для функції f(x)
співпадає із самою функцією f(x), тобто
	∞		f	(n)	(x0 )
	f (x ) = ∑		f		(x0 )	(x − x0 )n ,		x (x0 − R; x0 + R) .		(3.8)
	f (x ) = ∑			n !		(x − x0 )n ,		x (x0 − R; x0 + R) .		(3.8)
	n =0			n !
	n =0
Якщо справедлива формула (3.8), то кажуть, що має місце подання (роз-
винення,	зображення,				розклад) функції f(x)				рядом Тейлора	в околі
x0 − R;	x0 + R	точки x = x0 . Зокрема, при x0 = 0 говорять про розвинення
функції в ряд Маклорена в околі −R; R точки x0 = 0:
					∞	f (n) (0)
	f (x ) = ∑					f (n) (0)	x n ,	x (−R;	R) .	(3.9
	f (x ) = ∑						x n ,	x (−R;	R) .	(3.9
					n =0	n !
					n =0

Теорема 3.1 визначає необхідні та достатності умови розкладу функції в ряд Тейлора чи Маклорена в околі довільної точки x0 або при x0 = 0.

Існують декілька формул подання залишку ряду Тейлора rn(x) у явному скінченому вигляді через f(x). Приведемо тут формулу подання rn(x) у формі Лагранжа

(x ) =

f (n +1) (ξ)

− x

)

n +1

ξ = x

+ θ(x − x

), 0 < θ < 1

. (3.10)

(n + 1)!

В окремому випадку ряду Маклорена (x0 = 0) залишковий член має вигляд

R	n	(x ) =	f (n +1) (ξ)	x	n +1	,	ξ = θx, 0 < θ < 1.	(3.11)
			(n + 1)!

Наведені вирази (3.10) та (3.11) дозволяють в багатьох випадках достатньо легко дослідити поведінку Rn(x) при n → ∞.

Врахувавши розклади (3.8) та (3.9), а також співвідношення (3.10), (3.11), отримаємо формули

n	f (k ) (x		)			f	(n +1)	ξ
f (x ) = ∑		0		(x − x0 )k	+	f		( )	(x	− x0 )n +1 ,	(3.12)
f (x ) = ∑	k !			(x − x0 )k	+	(n + 1)!			(x	− x0 )n +1 ,	(3.12)
k =0	k !					(n + 1)!
k =0

n		(k )	(0)			f	(n +1)	(ξ)
f (x ) = ∑	f			x k	+				x n +1	,	(3.13)

k =0		k !				(n + 1)!

які носять назви формул Тейлора (3.12) чи Маклорена (3.13) із залишковими членами у формі Лагранжа.

Сформулюємо ще достатню умову розкладу функції в ряд Тейлора.

Теорема 3.2. Якщо в деякому околі			x0 − R; x0 + R точки x0 всі похідні
функції f(x) обмежені одним і тим самим числом M, тобто
	f (n) (x )	≤ M,	n = 0,1,2,3,K

то в цьому околі функція f(x) та її ряд Тейлора збігаються.

Стандартний спосіб побудови розвинень довільної функції f(x) в ряд Тейлора чи Маклорена в околі деякої точки x = x0 ≠ 0 чи x = 0 полягає в знаходженні значень самої функції та декілька її перших похідних f(k)(x) в точці x = x0 ≠ 0 чи x = 0. Після встановлення закономірностей утворення цих чисел шуканий розклад визначається формулою (3.8) чи (3.9). Інколи при побудові таких розвинень зручніше користуватися почленним диференціюванням чи інтегруванням вже відомих розкладів. Знаходження радіусу збіжності інтервалу та області збіжності проводиться для кожного конкретного випадку окремо з допомогою формули (2.14) та ознаки Даламбера чи Лейбніца.

Нижче наведені приклади знаходження розкладів основних функцій в ряд Маклорена (тобто в околі точки x = 0). Вони мають таке ж важливе значення, як і похідні та інтеграли від основних функцій.

Розвинення основних функцій в ряд Маклорена.

1.Розклад у степеневий ряд f (x ) = ax , a > 0, a ≠ 1 .

Оскільки при x = 0 f (0) = 1 ,

f ′(0) = ax

ln a

x =0

= ln a, f ′′(0) = ax (ln a)2

x =0

= (ln a)2,

f (n ) (0) = ax

(ln a)n

x =0

= (ln a)n ,

то ряд Маклорена має вигляд

= 1

+ ln a x

+ (ln a)2

x 2 + K +

(ln a)n

x n

∞

(ln a)n

x n .

+ K = ∑

(3.14)

n !

n =0

n !

Скориставшись формулою (2.14), знайдемо

R =

lim

(ln a)n (n + 1)!

lim (n + 1)

(∞ + 1) = ∞ .

an +1

n ! (ln a)n +1

ln a

n →∞

ln a n →∞

Таким чином, інтервалом та областю збіжності отриманого ряду є вся дійсна вісь: −∞ < x < ∞ .

В частковому випадку a = e,			ln a = ln e = 1 маємо розклад
x	∞	x n
	= ∑		,	x	< ∞ .	(3.15)
e		n !
	n =0

2.Розклад у степеневий ряд f (x ) = sin x .

Послідовно знаходимо

f ′(x ) = (sin x )′ = cos x = sin (x + 2π),

f ′′(x ) = (cos x )′ = −sin x = sin (x + 2

2 ) = sin(x + π),

f (n ) (x ) = sin (x + n 2π);

f ′′(0)

f (0) = sin 0 = 0,

f ′(0) = sin (2 ) = 1,

= sin π = 0, K,

f (n ) (0) = sin (n

π)

коли

n = 0

або n − парне,

, коли

n − непарне.

(−1)

Отже,

= x − x 3

+ x 5

x 2n +1

∞

x 2n +1

sin x

+ K + (−1)n

+ K =

∑

(−1)n

, (3.16)

(2n + 1)!

n =0

де

(2n + 1)! = 1 2 3 K (2n − 1) 2n (2n + 1) .

(3.17)

R = lim

lim

(2n

+ 3)!

= lim (2n + 2)(2n + 3) = ∞ .

an +1

(2n

+ 1)!

n →∞

→∞

Таким чином, ряд збіжний на всій числовій осі:

< ∞ .

3.Розклад у степеневий ряд f (x ) = cos x .

Диференціюючи розклад для sin x (3.16), отримаємо

cos x = 1 − x 2 + x 4 + K + (−1)n

x 2n

∞

x 2n

+ K =

∑(−1)n

(3.18)

(2n)!

n =0

де (2n)! = 1 2 3 K (2n − 2) (2n − 1) 2n .

(3.19)

Область збіжності:

< ∞ .

4. Розклад у степеневий ряд f (x ) = (1 + x )α, α R .

Послідовно знаходимо

f (0) = 1,

f ′(0) = α (1 + x )α−1

x =0

= α,

f ′′(0) = α

(α − 1) (1 + x )α−2

x =0

= α (α − 1),

f (n ) (0) = α (α − 1) (α − 2) K [α − (n − 1)] (1 + x )α−n

x =0

= α (α − 1) (α − 2) K [α − (n − 1)] .

Отже,

(1 + x )α = 1 +

x + α (α − 1) x 2 + α (α − 1) (α − 2) x 3

+ K +

α (α − 1) (α − 2) K [α − (n − 1)] x n + K =

n !

∞

= 1 + ∑ α (α − 1) (α − 2) K [α − (n − 1)] x n .

(3.20)

n =1

n !

Ряд (3.20) називається біноміальним рядом.

R = lim

α (α − 1) (α − 2) K [α − (n − 1)]

(n + 1)!

n !

α (α − 1) (α − 2) K [α − n]

n →∞

(n + 1)

n(1 +

)

= lim

lim

= 1 .

α − n

1 −

αn

n →∞

n →∞ n

Отже, інтервалом збіжності ряду (3.20) є інтервал −1 < x < 1 .

Для встановлення області збіжності потрібно дослідити на збіжність в точках x = −1 та x = 1 відповідно ряди

	∞	α(α − 1)(α − 2)K[α − (n − 1)]	(−1)n
	∑	α(α − 1)(α − 2)K[α − (n − 1)]	(−1)n
	n =1	n !
	n =1
	∞	α(α − 1)(α − 2)K[α − (n − 1)] .
та	∑	α(α − 1)(α − 2)K[α − (n − 1)] .
	n =1	n !
	n =1

Поведінка цих числових рядів, а, значить, і самого біноміального ряду, в точках x = ±1 суттєво залежить від значення показника α. Її можна подати такою таблицею (дослідження провести самостійно з допомогою ознаки Даламбера чи ознаки Лейбніца):

x = −1	α < 0	розбігаються
x = −1	α ≥ 0	збігаються абсолютно
	α ≥ 0	збігаються абсолютно
x = +1	α ≤ −1	розбігаються
x = +1	−1 < α < 0	збігаються умовно
	0 ≤ α	збігаються абсолютно

Приведемо декілька прикладів біноміальних рядів разом з областями їх збіжності при різних значеннях α:

1 2

∞

(−1)n −1(2n − 3)!!

(1 + x )

= 1 + ∑

n !

n =1

∞

(−1)n −1(2n − 3)!! x n ,

= 1 + ∑

≤ 1.

(3.21)

n =1

(2n)!!

де

(2n − 3)!! = 1 3 5 K (2n − 7) (2n − 5) (2n − 3) ;

(2n)!! = 2 4 6 K (2n − 4) (2n − 2) 2n ;

(3.22)

б)

(1 + x )

−1 2

= 1

∞

(−1)n (2n − 1)!!

+ ∑

n !

n =1

∞

(−1)n (2n − 1)!! x n ,

− 1 < x ≤ 1 .

= 1 + ∑

(3.23)

n =1

(2n)!!

де

(2n − 1)!! = 1 3 5 K (2n − 5) (2n − 3) (2n − 1) ;

(3.24)

∞

в)

(1 + x )−1

= ∑(−1)n x n ,

< 1 .

(3.25)

n=0

5.Розклад у степеневий ряд f (x ) = ln(1 + x ) .

Для отримання такого розвинення зручно замість стандартного способу використати тотожність

x	dt
ln(1 + x ) = ∫	dt	.	(3.26)
ln(1 + x ) = ∫	1 + t	.	(3.26)
0

Скориставшись для функції

розкладом (3.25), отримаємо:

+ t

∞

t n +1

ln(1 + x ) = ∫

∑(−1)

dt = ∑(−1)

n + 1

0 n =0

n =0

∞

x n +1

∞

x n

= ∑

(−1)n

= ∑(−1)n +1

(3.27)

n + 1

n =

n =1

Отриманий ряд має той самий інтервал збіжності (–1; 1), що і ряд (3.25). Дослідивши на збіжність в точках x = ±1 відповідно числові ряди

∞	1	∞	1
∑		та ∑(−1)n		,
	n		n
n =1		n =1

встановимо область збіжності ряду (3.27) (дослідження провести самостійно): −1 < x ≤ 1.

З формули (3.27) легко отримати такі зображення

∞

x n

ln(1 − x ) = ∑

< 1,

(3.28)

n =1

1 + x

= ln(1 + x ) − ln(1

− x )

= 2 ∞

x 2n −1

< 1.

(3.29)

(1 − x )

∑ 2n − 1

n =1

6. Розклад у степеневий ряд

f (x ) = ar ct g x

та

f (x ) = ar cct g x .

Скористаємося тотожністю

ar ct g x = ∫

(3.30)

+ t

Для розвинення функції

в ряд Маклорена покладемо в ряді (3.25)

1 + t2

замість x t2, а потім проінтегруємо:

∞

n t2n +1

∞

n x 2n +1

ar ct g x = ∫

∑

(−1)

= ∑(−1)

∑

(−1)

(3.31)

2n + 1

0 n =0

n =0

Отримане розвинення справедливе для всіх

≤ 1, і при цьому

− π

≤ ar ct g x ≤

π .

Скориставшись тотожністю

ar cct g x =

− ∫

(3.32)

+ t

отримаємо розклад

π −

∞

x 2n +1

ar cct g x =

∑(−1)n

2n + 1

n =

−1 < x < 1,

π < ar ct g x <

3π

(3.33)

7. Розклад у степеневий ряд f (x ) = ar csin x

та

f (x ) = ar ccos x .

Скориставшись тотожністю

ar csin x = ∫

(3.34)

1 − t

та поклавши у формулі (3.23) замість x вираз (−t2), отримаємо

∞

(2n − 1)!!

ar csin x

= ∫

+ ∑

(2n)!!

n =1

	∞	(2n	− 1)!!
= x + ∑					x 2n +1,	x	≤ 1,	(3.35)

		(2n)!!(2n +		1)
	n =1	(2n)!!(2n +		1)
	n =1
причому − π	≤ ar csin x ≤		π .
2			2

Оскільки ar csin 1 = 2π , то розклад (3.25) дає можливість наближено об-

числити число π:


π = 2	1	+		1		+			1 3		+	1 3 5		+		1 3 5 7				+ K .	(3.36)
π = 2	1	+	2		3	+		2 4		5	+	2 4 6 7		+	2	4 6 8 9				+ K .	(3.36)
			2		3			2 4		5		2 4 6 7			2	4 6 8 9
Розвинення функції ar ccos x має вигляд
												∞	(2n − 1)!!				x	2n +1
																		2n +1
		ar ccos x = π − x										+ ∑							,
		ar ccos x = π − x										+ ∑							,
								2				n =1	(2n)!!				2n + 1
							x		< 1,			0 < ar ccos < π.									(3.37)
							x		< 1,			0 < ar ccos < π.									(3.37)

Користуючись наведеними вище розкладами основних функцій в ряди Маклорена, можна знайти розвинення в ряди Маклорена та Тейлора багатьох інших функцій, для яких стандартний спосіб привів би у ряді випадків до громіздких обчислень. Покажемо це на деяких прикладах.

Приклад 3.1. Розвинути функцію y = ln(2x + 7) в ряд Тейлора в точці x0 = −2 .

hЗробимо заміну x − x0 = t, x = t + x0 , тобто x + 2 = t, x = t − 2 . Тоді

ln(2x + 7) = ln[2(t − 2) + 3] = ln(2t + 3) = ln 3 (1 + 23 t) =

= ln 3 + ln (1 + 3 t ).

Для розвинення функції ln (1 + 23 t )

візьмемо ряд (3.27), поклавши в ньо-

му замість x

2 t :

∞

n −1

(2 t)

∞

n −1

ln (1 + 2 t) = ∑ (−1)

= ∑ (−1)

n =1

Повертаючись до аргументу x, остаточно отримаємо

∞

(−1)n

−1 2n (x + 2)n

ln(2x + 7) = ln 3 + ∑

n =1

= ln 3 + 3 (x + 2)

−

(x + 2) +

+ 2)

+ K.

9 2

27 3

Оскільки використаний ряд має місце для всіх −1 < x ≤ 1 ,

то одержане

розвинення виконується, якщо:

−1

2 t ≤ 1 → − 3

< t ≤

→

→ −

< x + 2 ≤ 3

→ −

7 < x ≤ −

1 .

Приклад 3.2. Розвинути функцію y =

в ряд Тейлора в точ-

3 8 + 2x − x 2

ці x0 = 1.

Зробивши у виразі ( 8 + 2x − x 2 )

заміну

x − x0

= t,

x = t + x0 ,

тобто

x − 1 = t,

= t + 1, одержимо

8 + 2x − x

= 8 + 2(t

+ 1) − (t

+ 2t

+ 1) = 9 − t

9 (1 − 9 ) .

−1 3

Для розвинення функції

(1 −

)

в ряд використа-

3 8 + 2x − x 2

3 9

ємо біномний ряд (3.20), поклавши в ньому x

= −

α = −1 :

)

(−

)

−1 3

∞

(−1 )(−

− 1)(

−

− 2)K(−1

− (n − 1))

−

1 + ∑

n !

n =1

∞

(−1)n 1 4 7 10 K (3n −

2) (−1)n

+ ∑

n !

n =1

∞

1 4 7 10 K (3n − 2)

+ ∑

n !

n =1

Повертаючись до аргументу x, отримаємо шуканий розклад заданої функції в ряд Тейлора:

	6		1				∞ 1	4	7 10 K (3n − 2)				n
		=				1	+ ∑		3n			(x − 1)		=
3	8 + 2x − x 2		3		9					n !
							n =1		3
		=		1		1	+ x − 1 +		1 4 (x − 1)2		+ 1 4 7 (x − 1)3				+ K .
									6
			3		9		27			2		9
									3			3 6

Знайдемо область збіжності отриманого ряду. Оскільки використаний ряд збіжний при −1 < x < 1 , то розвинення заданої функції має місце на такому інтервалі:

−1 < −	t2	< 1 → − 9 < t2 < 9 → 0 ≤ t2 < 9 →

9
→ − 3 < t < 3 → − 3 < x − 1 < 3 → − 2 < x < 4 .			g

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
03.05.20211.05 Mб15455.pdf
#
03.05.2021947.78 Кб4456.pdf
#
03.05.2021776.15 Кб3490.pdf
#
03.05.20211.59 Mб5683.pdf
#
26.04.20211.64 Mб3M-008.pdf
#
26.04.20211.23 Mб3M-040.pdf
#
26.04.2021439.24 Кб5M-051.pdf
#
26.04.2021967.56 Кб12Частина 1.pdf
#
26.04.2021882.81 Кб2Частина 2.pdf
#
26.04.20211.01 Mб2Частина 3.pdf
#
26.04.2021669.46 Кб6Частина 4.pdf