Vakarchuk_I_O_Kvantova_mehanika_Pidruchnik_B

N

X

1

nk

=

Z

dr e−ikr

n(r) = j=1 Z

e−ikr δ(r − rj ) −

dr

V

(r1

. . . rN )

÷èìî,

ρk

X

áóä

ρk

çìiííi,

N δ

= √N ρ

,

k = 0,

i î÷åâ äíî,=

e−ikrj

−

j=1

nk = 0

k = 0

çìiííäi,

ρkочiкувати,

ρk

. Áà

що величини

величричними щодо цих перестановок. Це

штовху¹ насамогоакдумку¹симетвзяти

-

залежШрединзалежнiстьмутьмиункцiйерахвильовiвiдне.змiннихКрiмпотребувапочаткуункцi¨того,

симетричних

даткдитиже,заенерово¨розв'яз¨хiяоперацi¨ма¹навiдклаквадратичнуякихсiиметризацi¨вняння

постстеми,цiальнамутьмознахдосукупностi

i можна

щоосциляторiв,

ρk

льтоЗаписаавлено¨iан

задаоператор.

ρk

кiнетично¨-п едстщоенеравленнiзначноi¨ гамiльтомидиспроститьбудемоеренцiюванняiаматирозв'язокамi-

i

ˆ

через

H

обто перейти

. Справза-

заимистандартною схемою перехо-предимоставлення,вiд несклад

(r1, . . . , rN ) до ди еренцiювання за ρk

ìà¹ìî

X

∂

X

ike−ikrj

∂

j = ( j ρk)

=

−

√

,

∂ρk

∂ρk

k6=0

N

k6=0

X

X

∂

X

ik2e−ikrj

∂

ike−ikrj

∂

j = j

( j ρk)

= −

√

−

√

j

k6=0

k6=0

k6=0

712 =

X

k2e−ikrj

∂

X X

(kk′)

e−i(k+k′)rj

∂2

,

− k=0

√N

∂ρk

− k=0 k′=0 √N

∂ρk∂ρk′

6

6

6

чення âеличини

X

àìiëü

H i беручи до уваги озна-

j

− k=0 √N

∂ρk

N k=0

∂ρk∂ρ−k

6

6

X X

(kk′)

e−

(k+k′)rj

∂2

Пiдста ляючи цей вираз

ó ã

òîíiàí

.

−

k=0 k′=0

N

6

6

k+k′=0

6

ˆ

X

ρk, ìà¹ìî:

X X

~2k2

∂

∂2

~2(kk )

∂2

ρk

+k=0 k′=0

Hˆ

= k=0

−

2m√

′

ρk+k′

2m

∂ρk

∂ρk∂ρ−k

∂ρk∂ρk′

N

6

6

6

k+k′=0

çíà¹ìî,простору),

6

X

k (ÿêèé

N (N

1)

N

k k −k −

2V

0

2V k6=0

натдужкахпредставленнi.Цей не¹неермiтовимдивно,оскiлькипершийперехiддоданоквiддекартовупершèõòîìó

ρk

лихди

ç

(r1

. . rN )

äî çìiííèõ

ρk

нихдорiвню¹.Цеочевидно хоча б

того, що кiлькiсть декартовихомпонентзмiн¹ у iтарним

ìiðíiñòü

êiëüêiñòü

DN (D âåë

ÿê ìè

жнбезмеж

ρk

-вектораí

безмеж ою,

ùî,

à

÷ íè

кратнихумеру¹

è-

D

ρk) перебiга¹

ó êiëüêiñòü çí ÷åíü,

2π/L

L

= V

. Отже, серед змiн

ç

èõ

ρk

як видно

ïèтанняНасамперед,8.

означення,¹ зайвiзмiннi.Вивчимо д клаäíiøå öå

величинами:

ρk ¹

омплексними

N

N

c

s

c

1

X

s

1

X

ρk = ρk − iρk,

ρk

=

√

Зубар¹взмiннихcos(kró

j ),

ρk

=

√

sin(krj ),

Шредин8УпершеерацейМ.Боголюбовметодзàéâèi Ä.õ

застосували1955роцi (ЖдоÝÒ

розв'язку1955,Ф, 28рiвняння,с.129)713.

N j=1

N j=0

ïðè÷îìó ¨õíi äiéñíi

à óÿâíi

з iнюються в межах вiд

ñó

ρk

= −ρ−k, òî

iáíî

певним значенням iндек

= ρ−k, ρk

(

N )

ρ = ρ

−

−

c

c

s

s

k

ä êñk збiгаютьсяозна

пiвпросòþ äî çíàê

çi

якi мають

ö

(−k). Öå

÷à¹, ùî

врахову ати лише величи

ρk

k

перехiдру ¨хдоможливих зна

. Àëå

é

змiннихдекбагмиатоз. Т

iдбуватись

çìiííèõ

зайвих

ρk

í

iз деякою

ïîâ

личин

вагов ю

ðiâíÿ

ункцi¹ю-представле

å

J , що залежить

iä

ρk

е ективно

äî ïîòði í ãî

ðîëü

ρk

á'¹ìè

цiйного простору

, зокрема зробить рiвнимипростору: кон iгура-

r

dr

N

òà ρ

-

R d

1

. . . R

√

N

= V

√

k

N

N

Y

cдiйснимидобуткуйявними части а

è

величинiнте рува ня тут вiдбува¹ться′

N

= k=0

Z

Z

s

V

çàdρk

dρk J,

6

−

√

−

√

N

N

ùî é ïîçρk

k

óíêöi¨ачено,причомуштрихомдоувагинад беремосимволомлише пiвпростiрза значе ь

,

ãîâî èòè ïðî óíêöiþ

k. Можемо

J як про як бiан перех

нормуîñòi

äåêàðтових

оординат

вiд сукуп

óíêöi¨,

ëüîâi

(r1

. . . , rN )

до сукупностi

ρk

-çìiííèõ. Õâè

нашо¨ системи

ються з вагою:

ψ

ρk-представленнi також

-

Y

√

N

√

N

¹моУведемо.вжŸ2)(див без тепервагово¨шредин′ c ерiвськiтобтоs хвильовiсправжнi ункцi¨,хвильовiякi нормуункцi¨-

Z

Z

2

k=0

dρk

dρk J|ψ| = 1.

6

−

N

−

N

¯

√

ψ = ψ

√

√

Y

N

N

рiвняння Шредин¯

åðà,

Для цих нових ункцiй′

Z

c

Z

s

2

k=0

dρk

dρk |ψ|

= 1.

6

−

√

−

N

N

714

HJˆ −1/2ψ¯ = EJ −1/2ψ,¯