СТАЦИОНАРНЫЕ
ПРОЦЕССЫ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
(продолжение)
1
Дифференциальное уравнение теплопроводности
Dt |
div gradt qv |
|
|
cp d |
a cp |
||
|
Dt |
2 |
qv |
|
d |
a t cp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
grad t |
||
|
W |
||||||
|
|
|
|||||
|
d |
|
|
|
|
||
изменение |
изменение темп. поля, |
||||||
температуры |
вызванное движением |
||||||
во времени |
|
|
среды |
||||
2 |
|
qv |
||
a t |
|
|
|
|
cp |
||||
изменение темп. |
интенсивность |
|||
поля |
||||
внутренних |
||||
в пространстве |
||||
источников тепла |
||||
|
||||
2
Распределение температуры в пластине
Найти:
стационарное распределение температуры в пластине без внутреннего тепловыделения при Г.У. 1 рода
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|||
|
t |
|
|
2 |
qv |
|||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
W grad t a t |
|
|
||
|
d |
cp |
||||||
стационарная |
|
|
неподвижная |
нет внутреннего |
||||
задача |
|
|
|
среда |
тепловыделения |
|||
3
Распределение температуры в пластине
2t 0 |
|
d 2t |
0 |
* |
|
|
dx |
2 |
|||
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
Условия однозначности
1. |
геометрические - |
|
|
2. |
физические |
- |
|
3. |
начальные |
- |
|
4. |
граничные |
I рода |
|
|
x=0 t=t1 |
|
|
x= t=t
2
4
Распределение температуры в пластине
дважды интегрируем уравнение * :
t x C1x C2
С1 и С2 из граничных условий
t x t1 |
t1 t2 |
x |
|
|
|
тепловой поток
q dxdt (t1 t2 )
5
Распределение температуры в пластине с внутренним тепловыделением
Бесконечная плоская пластина толщиной |
с внутренними |
||||||||||||
источниками тепла qv Вт/м3, равномерно распределенными по |
|||||||||||||
сечению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Dt |
|
2 |
|
|
qv |
|
|||||||
|
дифференциальное |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
a t |
|
|
|
|
|
||
|
|
уравнение |
d |
|
cp |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
теплопроводности |
|
|
|
|
|
|||||||
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
qv |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
W grad t |
a t |
|
|
|
|||||||
|
d |
cp |
|||||||||||
2t 2t 2t 2tx2 y2 z2
температура меняется в одном
направлении
6
Распределение температуры в пластине с внутренним тепловыделением
|
|
|
|
qv const |
|
d 2t |
q |
||
|
const |
|||
|
|
|
v |
|
|
dx2 |
|
|
|
Условия однозначности
1. |
геометрические - |
|
|
2. |
физические |
- |
|
3. |
начальные |
- |
|
4. |
граничные |
I рода |
|
t( 2) t1
t( |
2 |
) t |
2 |
t |
|
|
7 |
||||||
|
|
1 |
Распределение температуры в пластине с внутренним тепловыделением
Последовательное интегрирование уравнения
дает: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
t x |
|
q x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
v |
C x C |
2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Константы из граничных |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
условий: |
t |
|
t |
|
t |
|
t |
|
q 2 |
|||
|
|
|
|
2 |
|
||||||||
|
C1 |
|
C2 |
|
|
1 |
|
v |
|||||
|
|
|
2 |
1 |
|
|
2 |
|
8 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
t x |
q |
|
2 |
x2 |
|
t |
|
t |
t t |
|
|
|||
v |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
1 x |
1 |
2 |
||||
|
|
|||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Распределение температуры в пластине с внутренним тепловыделением
Координата максимальной температуры xmax
|
dt |
qv x t2 t1 |
0 |
|||||
|
dx |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xmax |
|
xmax |
|
(t2 t1) |
|
|
||
|
|
|
||||||
|
|
|
qv |
|
|
tmax |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9
Частный случай
tmax
t
q |
q |
t1 t2 tw |
C1 0 |
t(x 0) tw qv 2 tmax
8
Перепад температур в пластине
t t(x 0) tw qv 2
8
Тепловой поток на поверхности:
q dt qv dx 2
10