НЕСТАЦИОНАРНЫЕ
ПРОЦЕССЫ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
1
Нестационарный : температура конструктивных элементов процесс меняется во времени (пуск, остановка,
аварийные ситуации).
Две группы нестационарных процессов теплопроводности:
1. Тело стремится к тепловому равновесию с окружающей средой при нагревании (охлаждении) тела;
2
2. Температура тела претерпевает регулярные периодические изменения (температурные волны).
3
Уравнение нестационарной теплопроводности
Dt a 2t qv
d cp
|
t |
|
|
2 |
|
qv |
||||
|
|
|||||||||
|
|
W grad t a t |
|
|
||||||
|
|
cp |
||||||||
Одномерное |
|
|
|
2t |
||||||
дифференциальное |
t |
|||||||||
уравнение |
|
|
|
|
|
|||||
a x2 |
||||||||||
нестационарной |
||||||||||
теплопроводности
4
Уравнение нестационарной теплопроводности
Ищем t x,
Новая переменная: t f |
t x, |
нагрев тела |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
t x, t f |
|
|
|
охлаждение тела |
||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
t f – температура окружающей среды |
||||||||||||||||||||
|
|
a x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
безразмерная |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
переменная |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Решение в общем виде: |
|
|
2 |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x, Fun |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x, |
|
|
|
|
erf |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 a |
5 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение нестационарной теплопроводности
|
2 |
|
z |
2 |
- интеграл ошибок |
|
|
|
|
|
|
|
|
erf z |
|
|
0 |
|
d Гаусса (табулированная |
|
|
|
|
||||
|
|
|
exp |
|
||
|
|
|
|
|
|
функция ошибок) |
erf 0 0
erf 1
6
Теплопроводность тела с бесконечно малым термическим сопротивлением
Малое внутреннее термическое сопротивление
температура тела изменяется во времени, но одинакова во всех точках тела
Дано:
Произвольное тело объемом V и поверхностью F c начальной температурой tо , охлаждается в среде с
температурой tf
Баланс энергии для твердого тела:
c V ddt t t f F
уменьшение |
количество тепла, |
|
внутренней энергии тела |
|
|
отводимое от поверхности конвекцией |
||
|
|
7 |
Теплопроводность тела с бесконечно малым термическим сопротивлением
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
Решение уравнения |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||
|
о tо t f |
|
|
|
o e |
c V |
||
|
|
|
|
|
L V |
|||
|
|
α F τ λw |
|
|
|
|
||
α F τ |
|
L a |
Bi Fo |
|
F |
|||
c ρ V |
c ρ V λ |
|
|
L2 |
|
|
||
|
w |
|
|
|
|
|||
|
|
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
Число Био |
|
|
Число Фурье |
|||
|
|
(Biot) |
|
|
|
(Fourier) |
|
|
o e Bi Fo
8
Теплопроводность тела с бесконечно малым термическим сопротивлением
Мгновенная плотность теплового потока от тела:
|
|
|
|
|
|
|
t |
f |
q |
|
t |
|
|
Суммарное количество тепла, отданное телом за время
|
|
Q q d tо tf F e Bi Fod |
|
0 |
0 |
Если Bi < 0,1, то ошибка не превышает 5%.
9
Поле температур в полубесконечном массиве
дерево
бетон
металл
Температуры одинаковы: пола - 20оС ноги - 36оС
Ощущения разные
10