Поле температур в полубесконечном массиве

t

2t

Пусть тело имеет температуру

t x,0 to

a

При

x t , to const

x

2

.

В начальный момент времени tпов меняется

скачком и далее остается неизменной

.

t 0, tпов const

tпов t x,

x

erf

tпов t0

2

a

решение уравнения

11

q x 0,

dt

tпов to

x

erf

dx

x

x 0

tпов to

2

a

x 0

или

q x 0,

b tпов

to

a

теплопроницаемость

b

cр

a

(теплоусвояемость)

дерево

бетон

сталь

b

400

6000

8000

1

2

К

q ~ b cp

Вт с

2

м

Решение уравнения как произведение двух функций:

(x, ) ( ) (x)

Предполагаемое решение

После разделения переменных:

подставляем в

1

1

k2

a

х

const

Решения:

a

x

2

( ) C exp k

C0 cos kx C0 sin kx

2

) k

'

"

C0 exp( ak

C0 sin(k

0) C0 cos(k 0) 0

x x 0

C'' 0

2 Г.У.

0

x

С0 C0' A

х

k A exp( ak 2 ) sin(k ) A exp( ak 2 ) cos(k )

ctg(k )

k

k

Характеристическое уравнение

Bi

ctg( )

Bi

- половина толщины пластины

1 2

3 ... n

Частные решения

A cos(

x

) exp( 2

a

)

n

n

n

n

2

Общее решение

1

2

x

a

An cos( n

) exp( n2

)

2

n 1

a

2

Общее уравнение для пластины,

n

цилиндра и шара

r

2

r

r

t tf

r R

(граничный размер)

r