Дифференциальные уравнения конвективного теплообмена (законы сохранения)
|
Dt |
2 |
|
|
|
|
(1) энергии |
d |
a t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2,3,4) количества движения |
DW |
|
1 |
|
||
d |
g |
|
gradP 2 W |
|||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
(5) массы div( W ) 0 |
(неразрывности) |
|||||
(6) состояния F( P,V ,t ) 0 |
для газов |
PV RT |
||||
Система из шести уравнений - шесть неизвестных
Wx ,Wy ,Wz , P,V ,t
11
Дифференциальные уравнения конвективного теплообмена
Субстанциональная производная
D |
|
Wx |
|
Wy |
|
Wz |
|
|
(W grad ) |
|
|
|
x |
|
y |
|
z |
|
|
условия однозначности :
геометрические (форма, размер);
физические (свойства);
временные (условия протекания процесса во времени);
граничные (скорости, температуры на границах и т.д.); I, II, III рода
Все уравнения должны решаться совместно
12
Осреднение скорости по сечению канала
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Через кольцо радиуса r, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
шириной dr протекает |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
количество жидкости |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W( r ) 2 r dr |
||
Массовый расход |
|
|
|
|
|
|
R2 |
R |
||||
G |
|
W (r) 2 r dr |
||||||||||
W |
||||||||||||
жидкости в трубе |
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|||
Если const |
|
|
|
|
2 |
0 |
|
|
||||
|
|
|
|
W( r ) r dr |
||||||||
W |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
Вводим безразмерные координаты, |
|
u d 12 |
|
|||||||||
r R |
u W( r ) |
W |
|
|
|
0 |
|
|||||
служит для проверки правильности измерений распределения скорости.
13
Осреднение температуры по сечению канала
Количество тепла в потоке жидкости:
R
Q cp W t R2 cp t( r ) W( r ) 2 r dr
0
Если , cp const
средняя по теплосодержанию температура жидкости
|
|
R |
W( r ) |
|
r |
|
r |
1 |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
t t( r ) |
|
|
|
2 |
|
d |
|
|
2 t( ) u( ) d |
||||
|
|
|
|
|
|||||||||
W |
R |
||||||||||||
0 |
|
|
|
R |
0 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
.
14
Изменение температуры вдоль обогреваемого канала
q const Уравнение баланса тепла для элемента канала dx
q P dx G cp dt
периметр канала – P; расход - G
dt qP const dx Gcp
Средняя по сечению температура жидкости меняется линейно вдоль канала
Начальный участок, |
15 |
(участок тепловой стабилизации) |
Изменение температуры вдоль обогреваемого канала
tw const , т.е. тепловой поток меняется по длине канала
Уравнение теплового баланса: |
q(x) P dx G cp d |
|
|||||||||||||||
t |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
q(x) (x) tw |
|
|
|
|
|
|||||
Здесь |
tf |
(x) |
|
|
|||||||||||||
пусть температура стенки tw=0 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
d |
|
|
|
(x) |
P |
dx |
|
|
|
|
|
|
|||
t |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Gcp |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
После интегрирования |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
(x) |
P |
|
|
|
|
||
|
|
t(x) |
tвх exp |
|
|
dx |
|
|
|
||||||||
|
|
Gcp |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
tвх – темп. жидкости на входе в канал |
Начальный участок |
|
|
16 |
|||
|
|
Подобие и моделирование тепловых процессов
Данные, полученные при изучении одного явления, можно распространить на другие явления, подобные данному
Условия подобия физических процессов (теорема Кирпичева-Гухмана):
1.Подобные процессы должны иметь одинаковую физическую природу или описываться одинаковыми по форме дифференциальными уравнениями.
Теплопроводность - электропроводность
2.Условия однозначности должны быть одинаковыми. Они могут различаться лишь числовыми значениями.
Г.У.одного рода
3.Определяющие числа подобия (т.е. критерии подобия, составленные из параметров, входящих в условия однозначности) должны иметь одинаковые числовые значения.
Reнат = Reмод
17
Подобие и моделирование тепловых процессов
Уравнение |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
DW |
|
|
||||||
движения: |
d |
g |
gradP W |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Субст. производная в направлении х: |
сумма сил на единицу массы |
|||||||
|
|
|
||||||
|
DWx Wx |
W |
Wx |
W |
Wx W Wx |
|||
|
|
|
x |
|
x |
|
y y |
z z |
Уравнение движения по оси х: |
|
|
|
|
|
|||
Wx W |
Wx W |
Wx W |
|
Wx gx 1 P |
2Wx |
|||
|
x x |
y y |
z |
z |
|
x |
|
|
18
Подобие и моделирование тепловых процессов
Число Рейнольдса - характеристика отношения (но не само
отношение) инерционных сил к силам трения. |
Fин |
|
Fвяз |
|
одномерное уравнение движения: |
Wx |
Wx |
|
2Wx |
Введем безразмерные координаты: |
|
x |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
x l |
|
u W |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
1 d 2u |
|
||||||||
|
W |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
W u |
d |
|
|
d 2 |
|
|||||
|
отношение сил инерции к |
|
|
|
|
|
|
l |
|
||||||||||||||||
|
силам вязкости |
|
du |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
|
|
du |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
dWx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Wx |
|
|
W u |
|
|
|
|
u |
|
|
u |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
dx |
|
|
W l |
|
d |
d |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Re |
d 2u |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 d 2u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
d 2Wx |
|
|
|
|
d 2u |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
dx2 |
|
|
l d 2 |
|
|
|
|
d 2 |
|
|
d 2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19 |
|
||||||||||
Подобие и моделирование тепловых процессов
Толкование числа Рейнольдса, данное Карманом
Согласно кинетической теории кинематическая вязкость
с точностью до постоянного множителя равна сL, где с - средняя скорость молекул; L - средняя длина свободного пробега.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
Т.е. с точностью до постоянного множителя : |
W |
|||||||||||||||
|
|
|
|
Re c |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
L |
||||||||||||
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
В обычных задачах гидродинамики |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
W |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
W |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
c не мало, как обычно, то нужен учет сжимаемости газа |
|||||||||||||||
l
Если L мало, то газ нельзя рассматривать как сплошную среду
20