- •1. Прямоугольная система координат в пространстве.
- •2. Понятие вектора. Линейные операции над векторами. Коллинеарность векторов.
- •3. Теоремы о проекциях векторов.
- •14. Матрицы и действия с ними
- •15.Определители 2-го и 3-го порядка и их свойства.
- •16. Теорема разложения (Лапласа)
- •17. Обратная матрица. Теорема существования и единственности обратной матрицы. Вычисление обратной матрицы.
- •20. Ранг матрицы
- •22. Теорема Кронекера-Капелли.
- •23. Метод Гаусса-Жордана
- •29. Предел последовательности Основные теоремы
- •36. Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва. Основные свойства непрерывных функций.
- •37. Понятие сложной и обратной функций.
- •44. Теорема Ферма и её геометрический смысл
- •45. Теорема Ролля и её геометрический смысл
- •46. Теорема Лагранжа и её геометрический смысл
29. Предел последовательности Основные теоремы
- если для любого E>0, существует такой N(номер последовательности), что любое n>N, выполняется |xn-a|<E
.
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, при этом все арифметические действия производятся только со сходящимися последовательностями
- Сходящиеся последовательности имеют единственный предел
- Сходящаяся последовательность ограничена.
- Чтобы последовательность была сходящаяся надо, чтобы её можно было представить в виде , где a , а { } – бесконечно малая последовательность
Остальные свойства на фотке:
Геометрический смысл:
А – предел числовой последовательности , если для любого положительного эпсилон найдётся номер n, начиная с которого при n> N все члены последовательности будут заключены в эпсилон окрестности точки А какой бы узкой она не была
Вне этой окрестности может быть конечное число членов.
36. Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва. Основные свойства непрерывных функций.
Функция у = f(x) называется непрерывной в точке , если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т. е. .
Н епрерывность функции через приращение:
Функция у=f(x) называется непрерывной в точке , если она определена в точке хо и ее окрестности и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е. .
Точками разрыва функции называются точки, в которых функция не обладает свойством непрерывности.
Классификация точек разрыва:
1. Точки разрыва первого рода (скачок) – точка если фукнция имеет конечные но не равные односторонние пределы: – причём не все три числа равны между собой
Пример: неравные односторонние пределы (разрыв первого рода).
2. Точки разрыва второго рода (бесконечный разрыв) - точка если хотя бы один из односторонних пределов бесконечен или несуществует.
Пример:
Теоремы о непрерывных функциях
Теорема Вейерштрасса:
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она достигает на этом отрезке своего наименьшего наибольшего значения. На этом отрезке она ограничена.
Теорема Больцано-Коши:
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и принимает на его концах неравные значения f(a)=A, f(b)=B, то на этом отрезке она принимает все значения между А и В
Следствие из теоремы Больцано-Коши:
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и принимает на концах значения разных знаков, то существует точка такая, что
Теорема:
Сумма, произведение и частное непрерывных функций есть непрерывная функция (для частного за исключением тех значений аргумента, где знаменатель равен нулю)
Теорема:
Пусть функция u=g(x) непрерывна в точке , а функция y=f(u) непрерывна в точке .Тогда сложная функция y=f(g(x)) непрерывна в точке .
37. Понятие сложной и обратной функций.
Определение:
Пусть функция z=g(x) определена на множестве X, а функция y=f(x) определена на множестве Z причём область значения функции g содержится в области определения функции f. Функция y=f(g(x)) называется сложной функцией, или функцией от функции, или суперпозицией функций z=g(x) и y=f(x).
Определение:
Пусть задана функция y=f(x). Если принять зависимую переменную y за аргумент, а независимую переменную x за функцию, то получится функция x=f(y), называемая обратной по отношению к функции y=f(x).
Свойства прямой и обратной функций:
1. Область определения функции y=f(x). Х является областью значений функции Х =
2. Область значения функции y=f(x). У является областью определения функции Х =
3. Если функция y=f(x) возрастает(убывает) на множестве Х, то функция Х = возрастает(убывает)на множестве У, где У-область значений функции y=f(x).
4. Графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой y=x