14. Матрицы и действия с ними

Матрица – это прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n

Виды матриц:

1. Ортогональная – результат умножения A на А^Т , А*А^Т =Е(сохраняет длину вектора, скалярное произведение и углы) 2. Единичная матрица – это та, у которой в главной диагонали единицы, а все остальные элементы нулевые 3. Квадратная – если m=n 4. Диагональная – элементы стоят на диагонали 5. Матрица – строка – состоит из одной строки 6. Матрица – столбец – состоит из одного столбца

Действия над матрицами:

Сумма матриц: - суммой матриц А и В с одинаковым размером является матрица С, элементы которой будут равны сумме соответствующих элементов матриц А и В.

Разность матриц:

- разность матриц А и В с одинаковыми размерами называется матрица M, элементы которой равны разности соответствующих элементов матриц А и В

Умножение матрицы на число: каждый элемент матрицы умножается на число. Эти 2 действия подчиняются определенным законам или обладают свойствами Ассоциативностью – сочитательность (А+В)+С=А+(В+С) Дистрибутивностью – распределительность а*(В+С)=а*В + а*С Коммуникативностью – перестановка А+В=В+А

Вычитание: А-В=А+(-В) Умножение матриц(чтобы матрицы были перемножаемы, они должны быть согласованы, i=j) - произведением матрицы А (размерами m*n) на матрицу В (размерами n*v) называется матрица С (размерами m*v), каждый элемент которой вычисляется по формуле: Аm*n Bc*b = Cm*b

а – эл сроки, в – элемент столбца

Берем

НО! A*B B*A

Чтобы матрицы были перемножаемы они должны быть согласованы (т.е. количество строк одной = количеству столбцов другой), тогда они называются согласованными В этом случае матрицы не обладают свойством коммуникативности А*В В*А Транспонированные матрицы – это такая матрица, в которой столбцы и строки меняются местами

15.Определители 2-го и 3-го порядка и их свойства.

Порядком определителя называют кол-во строк или столбцов.

Определителем 2 порядка, порождённого матрицей 2 порядка, называют число, определяемое формулой:

Для определителя 3 порядка:

Свойства определителей:

1. При транспонировании величина определителя не меняется

2. Если все элементы одной строки/столбца равны 0, то определитель равен 0

3. Общий множитель всех элементов строки/столбца можно вынести за знак определителя

4. Если в определителе поменять местами строку/столбец, то он изменит знак

5. Если определитель имеет две равные строки/столбца, то он равен 0

6. Если элементы двух строк/столбцов определителя пропорциональны, от определитель равен 0

7. Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то он может быть разложен на сумму определителей

8. Если к одному ряду прибавить другие элементы, определитель не изменится

16. Теорема разложения (Лапласа)

Определитель n-ого порядка равен сумме произведений элементов любой строки/столбца на алгебраические дополнения этих элементов.

Методы вычисления определителей n–го порядка

1. Метод понижения порядка. Разложение определителя по элементам строки или столбца

2. Метод сведения к треугольному виду.