
- •1. Прямоугольная система координат в пространстве.
- •2. Понятие вектора. Линейные операции над векторами. Коллинеарность векторов.
- •3. Теоремы о проекциях векторов.
- •14. Матрицы и действия с ними
- •15.Определители 2-го и 3-го порядка и их свойства.
- •16. Теорема разложения (Лапласа)
- •17. Обратная матрица. Теорема существования и единственности обратной матрицы. Вычисление обратной матрицы.
- •20. Ранг матрицы
- •22. Теорема Кронекера-Капелли.
- •23. Метод Гаусса-Жордана
- •29. Предел последовательности Основные теоремы
- •36. Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва. Основные свойства непрерывных функций.
- •37. Понятие сложной и обратной функций.
- •44. Теорема Ферма и её геометрический смысл
- •45. Теорема Ролля и её геометрический смысл
- •46. Теорема Лагранжа и её геометрический смысл
14. Матрицы и действия с ними
Матрица – это прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n
Виды матриц:
1. Ортогональная – результат умножения A на АТ , А*АТ =Е(сохраняет длину вектора, скалярное произведение и углы) 2. Единичная матрица – это та, у которой в главной диагонали единицы, а все остальные элементы нулевые 3. Квадратная – если m=n 4. Диагональная – элементы стоят на диагонали 5. Матрица – строка – состоит из одной строки 6. Матрица – столбец – состоит из одного столбца
Действия над матрицами:
Сумма матриц: - суммой матриц А и В с одинаковым размером является матрица С, элементы которой будут равны сумме соответствующих элементов матриц А и В.
Разность матриц:
- разность матриц А и В с одинаковыми размерами называется матрица M, элементы которой равны разности соответствующих элементов матриц А и В
Умножение матрицы на число: каждый элемент матрицы умножается на число. Эти 2 действия подчиняются определенным законам или обладают свойствами Ассоциативностью – сочитательность (А+В)+С=А+(В+С) Дистрибутивностью – распределительность а*(В+С)=а*В + а*С Коммуникативностью – перестановка А+В=В+А
Вычитание: А-В=А+(-В) Умножение матриц(чтобы матрицы были перемножаемы, они должны быть согласованы, i=j) - произведением матрицы А (размерами m*n) на матрицу В (размерами n*v) называется матрица С (размерами m*v), каждый элемент которой вычисляется по формуле: Аm*n Bc*b = Cm*b
а – эл сроки, в – элемент
столбца
Берем
НО!
A*B
B*A
Чтобы матрицы были перемножаемы они должны быть согласованы (т.е. количество строк одной = количеству столбцов другой), тогда они называются согласованными В этом случае матрицы не обладают свойством коммуникативности А*В В*А Транспонированные матрицы – это такая матрица, в которой столбцы и строки меняются местами
15.Определители 2-го и 3-го порядка и их свойства.
Порядком определителя называют кол-во строк или столбцов.
Определителем 2 порядка, порождённого матрицей 2 порядка, называют число, определяемое формулой:
Для
определителя 3 порядка:
Свойства определителей:
При транспонировании величина определителя не меняется
Если все элементы одной строки/столбца равны 0, то определитель равен 0
Общий множитель всех элементов строки/столбца можно вынести за знак определителя
Если в определителе поменять местами строку/столбец, то он изменит знак
Если определитель имеет две равные строки/столбца, то он равен 0
Если элементы двух строк/столбцов определителя пропорциональны, от определитель равен 0
Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то он может быть разложен на сумму определителей
Если к одному ряду прибавить другие элементы, определитель не изменится
16. Теорема разложения (Лапласа)
Определитель n-ого порядка равен сумме произведений элементов любой строки/столбца на алгебраические дополнения этих элементов.
Методы вычисления определителей n–го порядка
1. Метод понижения порядка. Разложение определителя по элементам строки или столбца
2. Метод сведения к треугольному виду.