17. Обратная матрица. Теорема существования и единственности обратной матрицы. Вычисление обратной матрицы.

Если det A = 0 то A^(-1) не существует.

Обратная матрица есть только у квадратной матрицы, у неквадратных и вырожденных (det = 0) матриц не существует обратной матрицы.

Квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля, имеет обратную матрицу и притом только одну.

Свойства:

Нахождение обратной матрицы возможно с помощью метода алгебраических дополнений

http://www.mathprofi.ru/kak_naiti_obratnuyu_matricu.html

Либо методом Гаусса:

Для нахождения обратной матрицы методом Гаусса необходимо:

1) построить вспомогательную матрицу приписав к столбцам матрицы справа столбцы единичной матрицы того же порядка, что и матрица 

2) элементарными преобразованиями строк привести матрицу к матрице, в левой части которой стоит единичная матрица: 

3) матрица, стоящая в правой части полученной матрицы и будет обратной матрицей

20. Ранг матрицы

Ранг матрицы — это число равное наивысшему порядку миноров этой матрицы, отличной от 0. *Он всегда положительный

Ранг матрицы не меняется, если к нему применить любое из элементарных преобразований, хотя сама матрица изменится.

Элементарные преобразования:

1. Перестановка двух параллельных рядов

2. Умножение всех элементов любого ряда на число отличное от нуля

3. Транспонирование матрицы

4. Удаление из матрицы или приписывание к ней ряда, состоящего из нулей

5. Замена оного ряда матрицы его суммой с другим параллельным рядом, умноженным на некоторое число

Пример:

Ранг матрицы равен числу ненулевых строк

Для нахождения ранга существует метод элементарных преобразований – складывать строки, прибавлять к строке строку; умножать на число, переставлять строки и столбцы местами, превратив матрицу в трапецеидальную, а после посчитать количество ненулевых строк.

ЕСЛИ 2 СТРОКИ ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫ, ТО М=0, ЕСЛИ ВСЕ МИНОРЫ = 0, ТО РАНГ=1

ЕСЛИ ЕСТЬ НЕНУЛЕВЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ, ТО РАНГ НЕ МЕНЕЕ 1

22. Теорема Кронекера-Капелли.

Общий вид СЛАУ

Xj – неизвестные числа, которые при подстановке в уравнение превращают его в тождество

О бозначим

Для того, чтобы система линейных уравнений с n неизвестными была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрица (матрица А) был равен рангу расширенной (матрица В).

В случае совместности, если общий ранг этих матриц равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение, если меньше их числа, то множество решений.

Запишем следующим образом:

Если rang A = rang B, то система совместна.

Если rang A не = rang B, то система несовместна.

Если rang A = rang B = n, то система имеет единственное решение.

Если rang A = rang B < n, то система имеет бесконечное множество решений.

Таким образом, можно, не решая Систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), исследовать ее совместность.

23. Метод Гаусса-Жордана

СЛАУ

Xj – неизвестные числа, которые при подстановке в уравнение превращают его в тождество

Обозначим расширенную матрицу

Две СЛАУ называются эквивалентными, если все решения одной системы являются решениями другой системы и наоборот.

Метод Гаусса-Жордана основан на элементарных преобразованиях расширенной матрицы-системы:

1.перестановка 2-х строк

2.умножение i-строки на некоторое число неравное 0

3.прибавление одной строки, умноженной на некоторое число к другой строке

4.исключение нулевых строк: 0*X1 + 0*X2 + … + 0*Xn = 0

Элементарные преобразования СЛАУ переводят одну систему в эквивалентную ей, то есть не меняют решения.

Алгоритм метода Гаусса-Жордана состоит из отдельных шагов: на каждом шаге с помощью элементарных преобразований в одном из уравнений системы выделяется базисное неизвестное с коэффициентом равным 1, которое исключается из всех остальных уравнений.

Шаги повторяются до тех пор, пока в каждом уравнении будет выделена базисная неизвестная или встретится противоречивое уравнение.

Например,

Каждый шаг исключения состоит из 2-х преобразований:

1.деление выбранного уравнения на выбранный элемент

2.прибавление данного уравнения, умноженного на подобранное определенным образом число, ко всем уравнениям

Перепишем СЛАУ в виде расширенной матрицы.

СЛАУ

Расширенная матрица

Тогда применим метод Гаусса-Жордана на матрице.

-am1

В итоге получим

Выбираем следующее уравнение и повторяем шаги.

Процесс исключения продолжается до тех пор, пока в каждом уравнении не будет выделена базисная переменная.

Пример

Частным решением системы называется всякое решение, полученное из общего при определенных значениях свободных неизвестных. Придавая какие угодно значения свободным неизвестным, можно из общего решения получить сколько угодно много частных решений.

Частное решение, в котором все свободные неизвестные равны 0, называется базисным решением системы.

X4=1 X3=1 (3/5 ; - 19/5 ; 1 ; 1) ЧАСТНОЕ РЕШЕНИЕ

Проверка: подставляем в условие.