9. Практические приложения теории информации

В настоящее время все виды сигналов преобразуются в цифровую форму, что позволяет получать эффективные решения с использование возможностей вычислительной техники. В этой связи рассмотрим преобразование аналогового сигнала в цифровой (рис.18).

Рисунок 18 – Аналого-цифровое преобразование

Возможны различные варианты аналого-цифрового преобразования (АЦП). Например, можно применить временную дискретизацию с последующим определением значений сигнала в этих точках и построением некоторой аппроксимирующей функции. На рис.18 для примера выбрана ступенчатая аппроксимация. Исходный аналоговый сигнал (красный) аппроксимируется (отображается) в виде ступенчатой функции или ступенчатого сигнала (зеленый). Очевидно, что качество аппроксимации определяется шагом дискретизации и способом построения аппроксимирующей функции. Проведя дискретизацию во времени, можно построить аппроксимирующий сигнал, который дискретен во времени, но непрерывен по уровню (дискретно-непрерывный сигнал).

Можно осуществить дискретизацию по уровню, тогда аппроксимирующий сигнал (так же выбран ступенчатым) будет иметь вид (голубой) дискретный по уровню, но непрерывный во времени (непрерывно-дискретный).

Чтобы преобразовать сигнал в дискретный или цифровой, необходимо осуществить дискретизацию по уровню и во времени. (Часто, разделяя эти процессы, говорят о дискретизации во времени и квантованию по уровню).

На рис.18 показан пример, когда выделено 8 уровней квантования, от h₀ до h₈, и каждому уровню поставлена в соответствие определенная двоичная кодовая комбинация, соответственно, от b₀ до b₇.

Вначале осуществляется дискретизация во времени, итогом которой явится получение значений сигналов в эти моменты времени (на рис.18 показаны фиолетовым цветом). В результате такого преобразования, получаем отсчеты непрерывного сигнала в определенные моменты времени. Чтобы передать значение отсчета, происходит его кодирование двоичной кодовой комбинацией, соответствующей уровню квантования, в котором находится данный отсчет.

Первый слева-направо отсчет попадает в интервал между h₅ и h₆, следующий между h₇ и h₈, третий там же, четвертый там же, а пятый между h₄ и h₅. Эти значения отсчетов будем кодировать с помощью кодовых комбинаций b₀, b₁,b₂ и т.д.

Положим значение b₀=011, b₁=010, b₂=001, b₃=000, далее, как на рисунке 18. Можно применить другие способы кодирования, например, когда b₀=000 b₁=001, b₂=010, b₃=011 и т.д. или как-то иначе. Общее число вариантов кодирования равно , где - количество двоичных символов в кодовой комбинации, отображающей уровень квантования (В нашем примере на рис.18 величина ).

Поскольку каждый отсчет отображается кодовой комбинацией из символов, то на интервале между отсчетами мы должны разместить данные кодовые комбинации. Каждый интервал между отсчетами целесообразно разбить на 3 равные части и в итоге сформировать цифровой сигнал, несущий информацию об отсчетах аналогового сигнала (рис.18, нижняя диаграмма).

В рассматриваемом примере 1-ый (слева-направо) отсчет оказался между h₅ и h₆ и будет кодироваться кодовой комбинацией b₅=101, что мы и видим на нижней диаграмме, где показан красным цветом двоичный цифровой сигнал. Следующий отсчет кодируется как 111 и т.д.

Интервалы между отсчетами будем обозначать через Т, этот интервал связан со скоростью отсчетов _отсч обратно пропорциональной зависимостью, т.е.

Т =1/ _отсч. (36)

Длительность цифрового сигнала, показанного на нижней диаграмме, будем обозначать через . Очевидно, что со скоростью цифрового сигнала эта величина связана соотношением:

(37)

Длительность цифрового сигнала можно рассчитать исходя из длительности между отсчетами. Величины Т и связаны соотношением

(38)

Величина n связана с общим количеством уровней квантования :

(39)

В данном примере мы условились, что количество уровней квантования будет равно = 8, поэтому количество символов в кодовой комбинации равно 3.

Советскому ученому В.А Котельникову удалось первому показать, что интервал дискретизации (величина Т) связана с максимальной частотой спектра непрерывного (исходного) сигнала ( соотношением:

(40)

Данное соотношение оказывается конструктивным и полезным для аналогово-цифрового преобразователя (непрерывный сигнал преобразуется в дискретный), поскольку благодаря этому соотношению удается выбрать обоснованный интервал дискретизации.

Отметим, что теорема Котельникова доказывает достаточные условия при преобразовании непрерывного сигнала в отсчеты и последующую дискретизацию. В современных системах связи достигнуты усовершенствованные результаты с точки зрения минимизации скорости цифрового сигнала, отображающего непрерывный сигнал, максимальная частота спектра которого не выше Fmax.

Разберем теорему Котельникова.

Она гласит, что любая непрерывная функция x(t) с ограниченным (финитным) спектром может быть представлена своими отсчетами x_i = x(t_i = iΔt), i = 0, ±1, ±2, …, взятыми в моменты времени t_i, отстоящими друг от друга на интервал времени Δt (интервал дискретизации):

, где - максимальная частота спектра(финитная)

В итоге по данным отсчетам сигнал представляется в виде ортогонального ряда Котельникова, который представлен на рис.19.

(41)

Это соответствует дискретной свертке во временной области последовательности отсчетов {x_i} с ортогональными функциями отсчетов {φ_i(t) = Sa [ω_max(t – iΔt]}.

Это можно записать:

(42)

Благодаря этой очень важной теореме объективно доказано с каким интервалом дискретизации следует проводить аналого-цифровое преобразование для сигналов с максимальной частотой спектра, равной .

При восстановлении значений отсчетов, которые передаются с помощью кодовых комбинаций, формируются элементы ортогонального ряда Котельникова, благодаря которым осуществляется окончательное восстановление исходного аналогового сигнала.

Отметим, то теорема Котельникова показывает достаточные условия, но не необходимые , поскольку не исследуется вероятностная сторона того, с какой вероятностью появляются отсчеты. Полагается, что их вероятности появления одинаковы.

В более современных системах связи достигаются более высокие результаты с точки зрения отображаемого непрерывного сигнала. Но теорема Котельникова является теоретическим фундаментом для преобразования непрерывного сигнала в дискретный.

Рисунок 19 – Элементы рядя Котельникова

На рисунке 19 изображены элементы ряда Котельникова, благодаря которым на приеме происходит восстановление исходного непрерывного сигнала. Элементы такого ряда в своей максимальной точке принимают значение отсчета и благодаря суммированию на протяжении всего времени, достигается аппроксимация исходного сигнала с тем, который был передан.

Рассмотрим обратное преобразование цифрового сигнала в исходный непрерывный.

Рисунок 20 – Обратное преобразование ЦС

Двоичный цифровой сигнал показан непрерывной линией, на слайде в нижней части. Согласно принятому правилу кодирования уровней квантования он декодируется. Каждая кодовая комбинация с некоторой задержкой трансформируется в определенные отсчеты. При этом амплитуда восстанавливаемых отсчетов соответствует «серединной» части уровня квантования. Например, 1-ый отсчет, отображаемый комбинацией 101, соответствует середине определенного уровня (рис.20) и т.д..

Вслед за этим по амплитудам отсчетов формируются элементы разложения в ряд Котельникова и после суммирования, в том числе, всех хвостов, восстанавливается исходный сигнал, показанный на рис.20 красным цветом.

Для сравнения здесь же приведен исходный сигнал (пунктир). Сравнение показывает, что между восстановленным сигналом и исходным сигналом есть различия. Прежде всего, присутствует определенная задержка. Эта задержка не может быть меньше, чем интервал квантования. Реально она несколько больше с учетом времени, затрачиваемого на обработку всех тех сигналов, которые при этом формируются на передаче и на приеме.

В реальных условиях обработки аналогового сигнала при его преобразовании в цифровой, всегда возникают определенные искажения, что следует из приведенного выше описания оценки количества информации непрерывного сообщения (п.7). Поэтому каждый раз осуществляя аналого-цифровое преобразование, следует выбрать такую погрешность которая будет приемлема по тем или иным причинам.

Например, при передачи речи эксперты прослушивали сообщение, которое получалось после АЦП и давали оценку качества этого сообщения. После того, как экспертное сообщество дало положительную оценку, был выбран соответствующий уровень квантования или погрешность квантования, которая стала применяться на практике.

Помимо этого, есть еще ряд других причин искажений, объективно присутствующий в АЦП.

Укажем на наиболее важные причины, при которых всегда при преобразовании аналогового сигнала в цифровой и последующем его восстановлении, возникают определенные искажения.

1. Сигналы с ограниченным спектром теоретически можно наблюдать только на бесконечном временном интервале. В реальных условиях этот интервал ограничен, что приводит к расширению спектра сигнала до бесконечности. Сигнал становится не финитным. Это следует из свойства преобразования Фурье для сигналов, ограниченных во времени.

2. На интервале наблюдения аналогового сигнала T_x при конечном интервале дискретизации Δt наблюдается всегда конечное число отсчетов. Поэтому при разложении в бесконечные ряды Котельникова в реальном случае ряды x(t) содержат конечное число составляющих.

3. Реальное восстанавливающее устройство отлично от идеального фильтра нижних частот и имеет характеристики, отличные от идеальных. Возникают погрешности.

4. Имеются погрешности в системах синхронизации, обеспечивающих стабильность частоты отсчетов. При рассмотрении выше полагалось, что синхронизация идеальна, в то время, как в реалии существует некое дрожание отсчетов относительно номинального положения (джиттер).

5. Имеются погрешности из-за неточности квантования и проч.

6. Действие помех в канале связи, приводит к ошибкам в цифровом сигнале.