Sb96244

линии действия. От этого характер нагрузки на систему не изменится. Переместим эту силу P в точку О (рис. 39, б). Опорные реакции в стержне

21

Рис. 40. Схемы приведения силы Р к оси стержня (принцип Сен-Венана)

Используя принцип Сен-Венана, приведем силы P, приложенные в точках В, С, к оси стержня. Приведение сил определяет нагружение стержня, показанное на рис. 41.

Моменты пар сил равны по величине Pa, но скручивают стержень в разных направлениях. Из условия статического равновесия ∑ni=1 Zi = 0 ,

∑ni=1 Mix, A = 0 определим опорные реакции MA = 0, AV = 0.

Определение внутренних усилий в стержнях

Р.15. 1. Из условия статического равновесия определим опорную реакцию AH в стержне (рис. 42, а):

22

n

Xi = 0 ; –AH + q·10a + P – q·2a = 0, AH = 13qa.

i=1

2. Определяем число грузовых участков. 3. На каждом участке, не захватывая его границы, проводим сечение. 4. В сечении представляем внутренние силовые факторы в соответствии с правилами знаков.

−2qa x

б

Рис. 42. Схема стержня и эпюр нормальных сил

5. Рассчитываем значения внутренних силовых факторов на границе участков. 6. В соответствии с проведенными расчетами строим эпюр нормальных сил (рис. 42, б).

Из условия статического равновесия определим опорные реакции AH,

MA в стержне, показанном на рис. 43, а:

n

Zi = 0 ; –AV + q·10a = 0, AV = 10qa,

i=1

n

Miy, A = 0 ; MA – q·10a·10a + M = 0, MA = 50qa2.

i=1

Далее выполняем работу в соответствии с п. 2−5 задачи Р.15. По результатам вычислений Qz и My на границах грузовых участков построены эпюры поперечных сил Qz (рис. 43, б) и изгибающих моментов My

(рис. 43, в).

23

Далее выполняем работу в соответствии с п. 2−5 задачи Р.15. По результатам вычислений Mx на границах грузовых участков строим эпюр крутящих моментов (рис. 44, б).

Основные уравнения механики твердого деформированного тела

Р.16. Напряженное состояние в окрестности точки, а, следовательно, и главные напряжения σ1, σ2, σ3 не могут меняться при изменении системы координат, кубическое уравнение должно быть инвариантно к преобразованию системы координат.

Р.17. Коэффициенты кубического уравнения ΘI, ΘII, ΘIII называют инвариантами тензора напряжений, потому что их значения не зависят от выбранной системы координат.

Р.18. При плоском напряженном состоянии нормальное σn и касательное τnk напряжения на площадке (рис. 45), нормаль к которой повернута на угол

α по отношению к площадке, перпендикулярной оси x, определяются выражениями:

По условию, заданному на рис. 45, σx =100 МПа, σz = 0, τxz = 50 МПа.

Напряжения на наклонной площадке, повернутой на угол 30° и –30°, определяются выражениями соответственно:

25

Таким образом, σ1 = 122 МПа, σ3 = −22 Мпа, αn1 = –22,5°, αn2 = 112,5°.

Р.19. В примере, представленном на рис. 46, σx = 10 МПа, σz = 20 МПа, τxz = 0. Напряжения на площадках, нормаль к которым повернута

относительно оси x на углы 60° (рис. 46, а) и –60° (рис. 46, б), определим по формулам:

σn = σx cos2 α+ σz sin2 α, τnk = σx –2 σz sin 2α.

26

напряжений. Главные напряжения на этой площадке равны нулю. Два других главных напряжения определим по формуле

σ2 = σ3 = 0. Напряженное состояние – линейное.

Боковая площадка (рис. 13, б) свободна от касательных напряжений. Главные напряжения на ней равны нулю. Два других главных напряжения определим по формулам: σx = σz = 0, σ1,3= ± τxz= ±100 МПа. Напряженное состояние – плоское.

Боковая площадка (рис. 13, в) свободна от касательных напряжений. Это одна из главных площадок, напряжение на которой равно 100 МПа.

Два других главных напряжения определим при следующих значениях нормальных и касательных напряжений на площадках: σx= σz = τxz = = 100 МПа.

Одно из главных напряжений равно 200 МПа, а другое равно нулю. В соответствии с правилом обозначения главных напряжений σ1 = 200 МПа, σ2 = 100 МПа, σ3 = 0. Напряженное состояние – плоское.

Р.21. Эпюры напряжений в поперечном сечении стержня в окрестностях точек А, В, С имеют вид, показанный на рис. 47, б.

В окрестностях точек выделим элементарные параллелепипеды, на гранях которых представим напряжения в окрестностях точек: А (рис. 47, в), В (рис. 47, г), С (рис. 47, д). Одна из граней каждого параллелепипеда совпадает с поперечным сечением.

Точка А (рис. 47, в). Все три грани элементарного параллелепипеда являются главными площадками. На двух гранях напряжения равны нулю, на третьей напряжение отлично от нуля: σ1 = σx A, σ2 = σ3 = 0. Напряженное состояние – линейное. σx A – значение нормального напряжения в точке А.

Точка В (рис. 47, г). Напряжения на боковой грани равны нулю. Это одна главная площадка. Напряжения на двух других главных площадках

27

где σx B, τxz B – значения нормального и касательного напряжений в окрестности точки В.

Рис. 47. Схема нагруженного стержня (а), эпюры нормального и касательного напряжений (б), схемы прямоугольных

параллелепипедов, вырезанных из нагруженного стержня (в–д)

Точка С (рис. 47, д). Напряжения на боковой грани равны нулю. Это одна главная площадка. Напряжения на двух других гранях равны:

σmax = τxz C, σmin = – τxz C,

где τxz C – значение касательного напряжения в окрестности точки С. Таким

образом, σ1 = τxz C, σ2 = 0, σ3 = – τxz C. Напряженное состояние – плоское. Р.22. В окрестности точек А, С (рис. 48) выделим элементарные

параллелепипеды. Одна из граней каждого параллелепипеда совпадает с поперечным сечением.

Рис. 48. Схема нагруженного стержня (а) и эпюр касательных напряжений (б)

28

напряжение σэкв по четвертой теории прочности определяют по следующей

напряжения по теории наибольших касательных напряжений определяются

женных состояний а, б, в напряжения σэкв соответственно равны σ, σ, 2σ. Самое неблагоприятное напряженное состояние – случай в.

σ = 250 МПа. Деформируемое тело не удовлетворяет условиям прочности. Р.26. На гранях представлены главные напряжения σ1 = σ, σ2 = 0,

σ3 = – σ. Главные деформации определяются по формулам:

29

Расчет напряжений и анализ прочности стержней

Р.31. На стержнях, показанных на рис. 20, нумерацию грузовых участков будем проводить слева направо.

Из условия статического равновесия стержня (рис. 20, а) нормальные силы на первом и втором участках соответственно равны: N1 = P, N2 = 5P.

Нормальное напряжение σx1 = P/a2 , σx2 = 5P/4a2. Максимальное напряжение наблюдается на втором участке.

Нормальные силы и нормальное напряжение в стержне, представленном на рис. 20, б, равны N1 = 6P, N2 = 5P, N3 = 5P; σx1 = 6P/9a2, σx2 = 5P/4a2,

σx3 = 4P/a2. Максимальное напряжение – на третьем участке.

30