Sb96244

Нормальные силы и нормальное напряжение в стержне, представленном на рис. 20, в, равны N1 = P, N2 = 5P, N3 = P; σx1 = P/9a2, σx2 = 5P/4a2,

σx3 = P/a2. Максимальное напряжение – на втором участке.

Р.32. Определим опорную реакцию в стержне (рис. 49, а). Из условия

AH

10a

а

N

x

−10qa

б

Рис. 49. Схема нагруженного стержня и эпюр нормальной силы

Определим значение опорной реакции в стержне (рис. 50, а). Из условия

статического равновесия ∑ni=1 Xi = 0 ; –AH + q·10a –P = 0, AH = 0. Определим значения нормальных сил на границах грузовых участков и

построим эпюр нормальной силы в соответствии с законами изменения N на грузовых участках и значениями N на границах грузовых участков

31

строим эпюр нормальной силы (рис. 51, б). Величина экстремального

AH

5a

10a

а

15qa

Рис. 51. Схема нагруженного стержня и эпюр нормальной силы

32

Определим величину опорной реакции в стержне (рис. 52, а). Из условия статического равновесия ∑ni=1 Xi = 0 ; – AH + q·2a – q·8a = 0,

AH = – 6qa.

По результатам проведенных вычислений нормальных сил на грузовых участках строим эпюр нормальной силы в соответствии с законами изменения N на грузовых участках и значениями N на границах грузовых участков (рис. 52, б). Величина экстремального напряжения равна

8q πa.

A

2a

N

x

−6qa

−8qa

б

Рис. 52. Схема нагруженного стержня и эпюр нормальной силы

33

Рис. 53. Схема нагружения стержня и эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

где Wy – момент сопротивления круглого сечения при изгибе.

34

Определим опорные реакции AV, MA в стержне (рис. 55, а): ∑ni=1 Zi = 0 ;

–AV + q·2a = 0, AV = 2qa , ∑ni=1 Miy, A = 0 ; MA – q·2a·a + M = 0, MA = qa2.

По результатам вычислений Qz и My на границах грузовых участков на рис. 55, б приведены эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Экстремальное значение нормального напряжения равно

где Wy – момент сопротивления круглого сечения при изгибе.

x

qa2 qa2

б

Рис. 55. Схема нагружения стержня и эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

грузовых участков приведены эпюры поперечных сил Qz и изгибающих моментов My.

35

2qa2

б

Рис. 56. Схема нагружения стержня и эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

Экстремальное значение напряжения равно

где Wy – момент сопротивления круглого сечения при изгибе.

Р.34. Из условия статического равновесия стержня определим опорный

5ma

Mx

б x

Рис. 57. Схема нагружения стержня и эпюр крутящих моментов

36

На рис. 57, б приведен эпюр Mx, построенный по результатам вычислений значений крутящего момента Mx на границах грузовых участков. Экстремальное значение напряжения равно

по результатам вычислений значений крутящего момента Mx на границах грузовых участков.

Экстремальное значение напряжения равно

Рис. 58. Схема нагружения стержня и эпюр крутящих моментов

Из условия статического равновесия стержня определим опорный момент MA в стержне, представленном на рис. 59, а: ∑ni=1 Mi x, A

– m·5a + M = 0, MA = ma. На рис. 59, б приведен эпюр Mx, построенный по результатам вычислений значений крутящего момента Mx на границах грузовых участков.

37

+ m·3a – m·2a = 0, MA= ma.

−2ma

б

Рис. 60. Схема нагружения стержня и эпюр крутящих моментов

На рис. 60, б приведен эпюр Mx, построенный по результатам вычислений значений крутящего момента Mx на границах грузовых участков.

Экстремальное значение напряжения равно σmaxx = My⁄Wк max = 2ma⁄Wк ; Wк = πr3⁄2, где Wк – момент сопротивления при кручении.

38

Расчет перемещений

Р.35. В соответствии с формулами, определяющими перемещения при деформации стержней, показанных на рис. 24, при увеличении длины стержня в 2 раза перемещение u в точке С увеличится: а) в 2 раза, так как uxc = Nl EF , N = P; б) в 3 раза, так как uzc = Pl3 48EIy ; в) в 4 раза, так как

384EIy ; г) в 2 раза, так как uzc= Ml2 2EIy .

Р.36. В соответствии с формулами, определяющими перемещения при деформации стержней (рис. 25): 1) при увеличении в 2 раза модуля нормальной упругости материала перемещение в точке С уменьшится в 2 раза; 2) при увеличении радиуса круглого поперечного сечения в 2 раза:

нагруженного в плоскости xOz, обратно пропорционально осевому моменту Iy поперечного сечения стержня. Осевой момент инерции Iy

прямоугольного поперечного сечения высотой h и шириной b равен bh3⁄12. Увеличение высоты h сечения в 2 раза увеличивает Iy в 8 раз. Значит, в 8 раз уменьшается перемещение. Увеличение ширины поперечного сечения b в 2 раза увеличивает Iy в 2 раза. Значит, в 2 раза уменьшится перемещение.

Р.38. В соответствии с формулой, определяющей угол поворота ∆φ при

(Mxi – выражение для крутящего момента на i-м грузовом участке; M – внешний момент, приложенный в сечении, где определяется перемещение; G – модуль нормальной упругости; Ip – полярный момент инерции; r – радиус поперечного сечения).

При увеличении в 2 раза модуля упругости при сдвиге G угол поворота уменьшится в 2 раза. При увеличении радиуса поперечного сечения r в 2 раза

39

полярный момент инерции Ip увеличится в 16 раз. Значит, угол поворота уменьшится в 16 раз.

Р.39. Перемещение при плоскопоперечном изгибе стержня, показанного на рис. 28, обратно пропорционально осевому моменту инерции Iy. Осевой момент инерции Iy круглого поперечного сечения определяется по формуле

Iy = π R4– r4 ⁄4. При увеличении внутреннего радиуса r в 1,2 раза осевой момент инерции уменьшится в 1,07 раза. Значит, перемещение увеличится в 1,07 раза. При увеличении наружного радиуса R в 1,2 раза осевой момент инерции увеличится в 2,15 раза. Значит, перемещение уменьшится в 2,15 раза.

Р.40. Выражение для осевого момента инерции Iy поперечного сечения

Перемещение увеличилось в 1,01 раза.

40