Sb95706

Уравнение движения наружной рамки в осях Резаля согласно (1.2) имеет

вид

Подставив(2.10)и(2.29)в(2.34),получимуравнениедвижениянаружной рамки в осях Резаля:

0M zн2.

2.1.7.2.Дифференциальные уравнения движения ТАГ в осях Резаля

Для получения дифференциальных уравнений движения ТАГ в осях Резаля необходимо сложить (2.31), (2.33) и (2.35):

z2 : Izв2 Iэ 2 Iэ Ixв2 I вy2 sin cos H cos M z2.

Система уравнений (2.36) получена по следующей схеме: определяются все кинетические моменты в осях Резаля, затем используются динамические уравнения Эйлера к каждому полученному кинетическому моменту.

21

2.3. Использование уравнений Лагранжа второго рода для получения математической модели ТАГ

Кинематическая схема устройства представлена на рис. 2.1.

2.3.1. Определение числа степеней свободы и выбор обобщенных координат

Система имеет три степени свободы: j 1,3. В качестве обобщенных координат выберем:

q1 – угол поворота по наружной оси; q2 – угол поворота по внутренней оси;

q3 – угол собственного вращения ротора относительно внутренней оси.

2.3.2. Определение кинетической энергии системы

Кинетическая энергия ТАГ равна сумме кинетических энергий элементов: наружной и внутренней рам карданова подвеса и ротора:

В выбранной системе считаем, что основание неподвижно, т. е. движение ТАГ является сферическим, следовательно ν = 0.

Выражение для кинетической энергии элементов системы в общем имеет

вид

Угловые скорости наружной, внутренней рамок и ротора определяются аналогично 2.1.3. Кинематическая схема показана на рис. 2.1. Проекции вектора угловой скорости на оси, связанные с наружной рамкой, определяются по (2.7), с внутренней рамкой – по (2.10), с ротором – по (2.13).

Для определения кинетической энергии наружной рамки необходимо

(2.7) подставить в (2.41):

Для определения кинетической энергии внутренней рамки необходимо

(2.10) подставить в (2.42):

Tв 12 Ixв2 2 cos2 I вy2 2sin2 Izв2 2 .

Дляопределениякинетическойэнергиироторанеобходимо(2.13)подста-

вить в (2.43):

H 2 I sin 2. Тогда кинетическая энергия системы будет определяться

как:

T 12 2 Ixн1 Ixв2 Iэ cos2 I вy2 sin2 2 Izв2 Iэ H 2 .

2.3.3. Дифференциальное уравнение движения по наружной оси

Согласно (1.8) уравнение Лагранжа по наружной оси имеет вид

Ixн1 Ixв2 Iэ cos2 I ву2 sin2 H sin ,

24

2 sin cos Ixв2 Iэ 2 I ву2 sin cos H sin H cos .

Затем, подставив в (2.48), получим:

Ixн1 Ixв2 Iэ cos2 I ву2 sin2 (2.49)

2 Ixв2 Iэ I ву2 sin cos H sin H cos Q .

2.3.4. Дифференциальное уравнение движения по внутренней оси

Согласно (1.8) уравнение Лагранжа по внутренней оси имеет вид

Выполним дифференцирование по схеме Лагранжа:

1)T 0,

2)T H ,

3)d T H. dt

25

В итоге, подставив полученные выше выражения в (2.52), получим:

2.3.6. Система дифференциальных уравнений ТАГ

Обобщенными силами являются моменты сил по соответствующим осям:

Система дифференциальных уравнений получена в обобщенных координатах. Дифференциальные уравнения движения, полученные с использованием уравнений Лагранжа II рода, всегда определены в обобщенных координатах.

Подставив (2.49), (2.51) и (2.53) в (2.54), получим систему дифференциальных уравнений ТАГ:

H I ( sin ).

2.4. Анализ уравнений движения

Дифференциальные уравнения движения ТАГ (2.55) с учетом моментов инерции рам карданова подвеса получены с использованием динамических уравнений Эйлера и уравнений Лагранжа второго рода. Для дальнейшего анализа поведения ТАГ необходимо провести линеаризацию и последующее интегрирование полученных уравнений.

Процедура линеаризации проводится с учетом следующих допущений: углы α и β считаются малыми, тогда:

cos 1, sin , cos 1, sin ,

произведения , и т. д. считаются малыми второго порядка, а вектор кинетического момента H – величиной постоянной, т. е. H 0.

26

Тогда в результате линеаризации (2.55) получим

A H M x2 ; B H M z2.

Решение данной системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка может быть получено различными методами, разработанными в рамках теории дифференциальных уравнений. В результате интегрирование получим следующие уравнения движения ТАГ:

Решение (2.56) содержит три составляющих: постоянный член (смещение), гармонические колебания (нутация) и систематический уход (прецессия), так что (2.56) можно представить в виде

Физическими причинами такого отклонения являются, во-первых, начальные смещения 0 и 0 ; во-вторых, реакция ТАГ на удар в начальный момент времени и, в-третьих, реакция ТАГ на действия постоянных моментов.

Начальные отклонения 0 и 0 могут быть либо заданы, либо (и чаще

всего) являться следствием погрешностей начальной выставки гироскопа, поскольку обычно в начальный момент времени его ось стремятся установить возможно точнее в заданном направлении.

Постоянное разовое отклонение оси ТАГ под действием внешних моментов происходит в полном соответствии с законами механики (статики), т. е. под действием момента вдоль собственной и одноименной оси z происходит поворот на угол α, а под действием Мх − поворот на β. Нужно обратить внимание на величину этих поворотов

Интересно, что ось ТАГ получает смещение вследствие удара, но не вокруг одноименной оси, а вокруг «перекрестной». Так, смещение наружной