LS-Sb87079

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ»

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Методические указания к практическим занятиям

Санкт-Петербург Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ»

2011

1

УДК 512.64(07)

Теория функций комплексной переменной: Методические указания к практическим занятиям / сост.: В. Г. Дюмин, А. М. Коточигов, Н. Н. Сосновский. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2011. 32 с.

Содержат примеры решения основных типов задач ТФКП, ориентированных на выполнение заданий, формирующих оценку текущего контроля по этой дисциплине.

Предназначены для студентов ФКТИ всех специальностей.

Утверждено редакционно-издательским советом университета

в качестве методических указаний

© СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2011

2

общем случае отличаются от отображений вещественной плоскости R2 в себя (x, y) u(x, y), v(x, y) только формой записи. Важным и чрезвычайно

полезным объектом оказывается класс функции комплексного переменного, имеющих производную такую же, как и функции одной переменной. Известно, что функции нескольких переменных могут иметь частные производные и производные по направлению, но, как правило, производные по разным направлениям не совпадают и говорить о производной в точке невозможно. Однако для функций комплексной переменной удается описать условия, при которых они допускают дифференцирование. Изучение свойств дифференцируемых функций комплексного переменного составляет содержании методических указаний. Указания ориентированны на демонстрацию того, как свойства таких функций могут быть использованы для решения разнообразных задач. Успешное освоение излагаемого материала невозможно без элементарных навыков вычислений с комплексными числами и знакомства с простейшими геометрическими объектами, определяемыми в терминах неравенств, связывающих вещественную и мнимую часть комплексного числа, а также его модуль и аргумент. Краткое изложение всех необходимых для этого сведений можно найти в методических указаниях [1].

В тексте методических указаний широко используется стандартный аппарат математического анализа: пределы, производные, интегралы, ряды. Там, где эти понятия имеют свою специфику по сравнению с функциями одной переменной, приведены соответствующие пояснения, но в большинстве случаев достаточно разделить вещественную и мнимую части и применить к ним стандартный аппарат вещественного анализа.

1. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Обсуждение условий дифференцируемости функций комплексного переменного естественно начать с выяснения того, какие элементарные функции обладают этим свойством. Из очевидного соотношения

вытекает дифференцируемость любого многочлена. И поскольку степенной ряд можно дифференцировать почленно внутри круга его сходимости, то любая функциядифференцируемавточках, вокрестности которыхее можно разложить

3

в ряд Тейлора. Это достаточное условие, но, как вскоре выяснится, оно является и необходимым. Исследование функций одной переменной по производной удобно поддерживать, контролируя поведение графика функции. Для функций комплексного переменного такой возможности нет. Точки графика лежат в пространстве, имеющемразмерность4 (x, y, u(x, y), v(x, y)) .

Тем не менее, некоторое графическое представление о функции можно получить, рассматривая образы достаточно простых множеств комплексной плоскости , возникающие под воздействием заданной функции. Для примера, рассмотрим, с этой точки зрения несколько простых функций.

Линейная функция w az b . Функция простая, но имеющая большое значение, поскольку любая дифференцируемая функция локально похожа на линейную. Рассмотрим действие функции с максимальной подробностью:

z z1 a z z2 ei z1 w z2 b,

где a – модуль комплексного числа a и – его аргумент. Таким образом, линейная функция осуществляет растяжение, поворот и сдвиг. Следовательно, линейное отображение переводит любое множество в подобное множество. В частности, под воздействием линейного отображения прямые переходят в прямые, а окружности в окружности.

Функция w 1 z . Эта функция – следующая по сложности за линейной.

Трудно ожидать, что она переведет любую прямую в прямую, а окружность – в окружность, простые примеры показывают, что этого не происходит. Тем не менее, можно показать, что эта функция переводит множество всех прямых и окружностей в себя. Чтобы убедиться в этом, удобно перейти к вещественному (координатному) описанию отображения:

Следовательно, при B2 C2 4AD получается уравнение произвольной окружности.

Отметим, что если A 0 и D 0 , то окружность проходит через начало координат. Если же A 0 и D 0 , то получится прямая, проходящая через начало координат.

Под действие инверсии рассматриваемое уравнение перепишется в виде

уравнение, описывающие либо окружности, либо прямые. То, что в уравнении коэффициенты A и D поменялись местами, означает, что при инверсии прямые, проходящие через 0, перейдут в окружности, а окружности, прохо-

дящие через 0, перейдут в прямые.

Степенные функции f (z) zn . Главное отличие этих функцией от рас-

смотренных ранее состоит в том, что они не взаимно однозначны (12 ( 1)2 ).

Можно сказать, что функция f (z) z2 переводит комплексную плоскость в два

экземпляра той же плоскости. Аккуратное рассмотрение этой темы требует

использования громоздкого аппарата римановых поверхностей и выходит за

рамки рассматриваемых здесь вопросов. Важно понимать, что комплексную

плоскость можно разделить на секторы, каждый из которых взаимно однозначно отображается на комплексную плоскость. Это разбиение для функции

Например, верхняя полуплоскость взаимно однозначно отображается на комплексную плоскость функцией f (z) z2 . Искажения геометрии для та-

ких изображений описать сложнее, чем в случае инверсии. В качестве

упражнения можно проследить, во что переходит сетка прямоугольных ко-

ординат верхней полуплоскости при отображении w z2 :

z c iy, y 0 u c2 y2, v 2cy u c2 v2 2c ; z x ic, c 0 u x2 c2, v 2cx u v2 2c c2 .

5

Видно, что сетка прямоугольных координат переходит в семейство парабол, образующих систему криволинейных координат в плоскости w . Описанное

разбиение плоскости таково, что функция f (z) zn отображает каждый из n

секторов на всю плоскость. Описание прямого и обратного отображения вы-

глядит так:

z rei , 2 kn 2 (k 1)n w rnein rnein 0 , 0 0 2 kn

z n w rei 0 2 kn .

название, поскольку она составила основу теории крыла летательного аппарата, созданную Жуковским (описание этой конструкции можно найти в книге [2]).

Функция обладает рядом интересных свойств, остановимся на одном из них –

выясним, на каких множествах эта функция действует взаимнооднозначно. Из равенства z1 1 z1 z2 1z2 вытекает, что z1 z2 1 1 z1 z2 0 .

Следовательно, функция Жуковского взаимнооднозначна в любой области, в которой для любых z1 и z2 их произведение не равно единице. Тако-

Разделяя вещественную и мнимую части, получим параметрическое

Если 0 r 1, то эти эллипсы заполняют плоскость. Аналогично проверяется, что образами отрезков z : z rei , 0 r 1 , 0 2 являются гиперболы:

6

Показательная функция f (z) ez . Функция допускает разложение в

степенной ряд, абсолютно сходящийся во всей комплексной плоскости, следовательно, она всюду дифференцируема. Опишем множества, на кото-

рых функция взаимнооднозначна. Очевидное равенство ex iy ex i( y 2 ) показывает, что плоскость можно разбить на семейство полос, занумерованных целочисленным индексом k: z x iy : 2 k y 2 (k 1) , каждую

из которых функция взаимнооднозначно отображает на всю комплексную плоскость. Это разбиение существенно для того, что бы понять, как устроена обратная функция, точнее – обратные функции. На каждой из полос естественным образом определено обратное отображение

2. УСЛОВИЯ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Выясним условия, гарантирующие наличие производной у функции комплексного переменного, т. е. наличие предела

Если устремить приращения аргументов к нулю, то получится следующее соотношение для дифференциалов:

7

Из анализа доказательства условий Коши–Римана вытекает полезная геометрическая интерпретация: в малой окрестности точки аналитическая

тяжения одинаков во всех направлениях, поэтому квадрат со стороной пе-

Задача. Покажите, что элемент дуги кривой l равен dz .

Указание: введите параметрическое описание кривой z z(t) x(t) iy(t) .

грала надо ввести параметризацию кривой:

l z(t) x(t) iy(t) : x(t) t, y(t) t 1, 1 t 2 ,

2. Вычислим площадь образа квадрата ABCD, A 0, B 1, C 1 i, D i при отображении f (z) z3 .