LS-Sb87079

1. z0 – устранимая особая точка cn 0, n 0 (ряд Лорана не содержит слагаемых с отрицательными степенями).

2. z0 – полюс существует число N такое, что cn 0, n N (ряд Лорана содержит конечное число слагаемых с отрицательными степенями).

3. z0 – существенно особая точка для всякого положительного числа N

взять окружность z z0 r , далее простые оценки по модулю завершают

доказательство.

Доказательство теоремы об эквивалентной классификации.

1. Из условия равенства нулю коэффициентов с отрицательными номе-

2. Предположим, что существует положительное число m такое, что c m 0 и cn 0, n m . Тогда свойства степенных функций, гарантируют,

что в достаточно малой окрестности точки z0 справедлива оценка

Следовательно, z0 – точка полюса.

Проверим обратное утверждение. Если известно, что z0 – точка полюса,

3. Достаточно заметить, что если модуль функции не ограничен и не стремится к бесконечности, то он не может иметь предела. Аналогично доказывается обратное утверждение.

6. ВЫЧЕТЫ

Наиболее востребованное приложение рядов Лорана связано с формулой

для вычисления коэффициента c 1 1 f (z)dz , где – контур, обходящий

2 i

особую точку z0 в положительном направлении и не содержащий внутри се-

бя других особых точек. Дело в том, что коэффициенты ряда часто удается определить из косвенных соображений, и тогда формула становится мощным инструментом для вычисления контурных интегралов. Если известен коэффициент c 1, то известен и интеграл. Для устранимых особых точек этот ко-

22

эффициент равен нулю и получается уже известная теорема Коши. Будет показано, что в точках полюсов вычисление коэффициента c 1 – дело чисто техническое. Это дает аппарат для вычисления множества интегралов. В существенно особых точках мало шансов получить c 1 из косвенных соображений, но если это все-таки удается, то результаты получаются наиболее эффектные. Роль коэффициента c 1 в этих вопросах так велика, что для него существует стандартное обозначение.

Определение. Пусть z0 – изолированная особая точка функции f , тогда вычетом функции f в точке z0 называют c 1 и обозначают

res f , z0 c 1.

Используя это обозначение, можно записать формулу

f (z)dz 2 i res( f , z0 ) .

Здесь, как и прежде, – контур, обходящий особую точку z0 в положитель-

ном направлении и не содержащий внутри себя других особых точек. Чтобы сделать эту формулу содержательной, надо указать косвенный способ вычисления вычетов. Как было отмечено, это можно сделать, если z0 является по-

люсом. Для этого потребуется уточнение определения, фактически содержащееся в доказательстве теоремы о классификации особых точек.

Определение. Пусть z0 – полюс функции f , тогда порядком полюса называется число m такое, что cn 0, n m и c m 0 .

Теорема (формула вычисления вычетов в полюсах). Если z0 – полюс функции f порядка m , то

Следствия: формулы для вычетов в полюсах первого порядка.

Функцию f можно разложить на простейшие:

Коэффициенты разложения можно вычислить как вычеты в полюсах. Точка a является полюсом первого порядка, точка b – полюс второго порядка, точка c – полюс третьего порядка для функции f , что позволяет вы-

2. Полученное в прим. 1 разложение можно использовать для вывода формулы общего члена рекуррентной последовательности

an 6 c1an 5 c2an 4 c3an 3 c4an 2 c5an 1 c6an, n 0, 1, 2 .

Эта последовательность определяет степенной ряд

F(z) a0 a1z a2z2 anzn ,

который принято называть производящей функцией.

Обозначим Q(z) c6z6 c5z5 c4z4 c3z3 c2z2 c1z 1.

Можно проверить, что F(x)Q(x) P(x) , где

P(z) p5z5 p4z4 p3z3 p2z2 p1z p0 ,

pk ak c1ak 1 ck a0 , k 1, 2, 3, 4, 5 , p0 a0 .

24

Для получения нужной формулы достаточно разложить в степенные ряды слагаемые, и затем собрать вместе слагаемые с одинаковыми степенями z .

Разложения для слагаемых получаются из формул

Первая формула – сумма геометрической прогрессии, две другие получаются почленным дифференцированием первой.

7. ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ

Возможность «исправлять» контур интегрирования позволяет получить важную формулу для вычисления интегралов.

Теорема о вычетах. Пусть функция f аналитична в области G за ис-

ключением конечного числа изолированных особых точек. Замкнутый положительно ориентированный контур лежит внутри области G , не проходит через особые точки функции f и внутри контура содержатся особые точки

z1, z2, , zm . Тогда справедливо равенство

m

f (z)dz 2 i res( f , zk ) .

k 1

Доказательство. Рассмотрим вспомогательный контур L , образованный контуром , маленькими (не пересекающимися) окружностями k с

центрами в точках zk и непересекающимися кривыми, соединяющими

окружности с контуром ; кривые проходятся по два раза в противоположных направлениях. Контур L не содержит внутри себя особых точек и по теореме

25

Коши f (z)dz 0 . Рассуждая далее как в доказательстве теоремы о разло-

L

жении в ряд Тейлора, можно показать, что

c 1 из разложения в ряд Лорана. Это можно сделать, разлагая в ряды сомножители

индексами, дающими в сумме 1, следовательно, I 2 i .

Прямое применение теоремы о вычетах возможно для очень специального класса интегралов – по замкнутому контуру. Но иногда замена переменной позволяет использовать эту технику для интегралов иного вида. Например, такая возможность появляется при интегрировании периодических функций по отрезку, равному длине периода (замена переменной позволяет перевести интегрирование на окружность).

26

Вычисление интегралов дробно-рациональных тригонометрических

вычислить с помощью теоремы о вычетах (все особые точки оказываются полюсами). Заметим, что это предполагает отсутствие корней на единичной окружности у многочлена Q1(z) , но если это условие нарушается, то возникающий несобственный интеграл расходится.

Хотя область применения этого метода довольно обширна, он скорее эффектен, чем эффективен, и не дает существенных преимуществ в сравнении с универсальной тригонометрической заменой, кроме того, что сводит разложение на простейшие к вычислению вычетов.

Методы вычисления несобственных интегралов. Возможность при-

менять вычеты для вычисления несобственных интегралов чрезвычайно важна, так как дает уникальный инструмент для вычисления преобразований Фурье и Лапласа.

Неочевидна сама возможность применения теоремы о вычетах для вычисления несобственных интегралов – отсутствует замкнутый контур. Но для того чтобы несобственный интеграл сходился, необходимо, чтобы функция была мала при больших значениях аргумента. Это дает надежду на то, что замыкание конура дугой окружности большого радиуса мало изменит значе-

27

ние интеграла. Будут рассмотрены два класса функций, для которых легко обосновать возможность применение такого приема.

ка обращается в 0 при r R , так как с этого момента прекращается изменение числа особых точек внутри контура Lr , таким образом,

Проверим условия применимости формулы (степень числителя на две единицы превосходит степень знаменателя). Единственный корень многочлена Q в верхней полуплоскости z1 a ib . Следовательно, I b .

dx

2.I x2 1 4 .

Единственный корень многочлена Q в верхней полуплоскости z1 i . Для интегрируемой функции это – полюс четвертого порядка. Следовательно,

28

Преобразования Фурье от дробно-рациональных функций.

Здесь степень числителя должна быть меньше степени знаменателя; сумма распространяется по всем корням zk многочлена Q в верхней полуплоскости. Небольшое отличие от первой формулы состоит в ослаблении требований к степеням многочленов, что существенно расширяет класс допустимых функций, продвигая формулу в трудном направлении.

Доказательство формулы опирается на вспомогательную оценку, которая имеет устоявшееся название.

Лемма Жордана. Пусть функция g(z) непрерывна в области z >R ,

Теперь доказательство формулы может быть проведено так же, как в предыдущем случае.

Заметим, что условие 0 можно заменить на 0 , но при этом надо замыкать контур полуокружностью, лежащей в нижней полуплоскости.

29

Следовательно, I e 4 sin 2 .

Формула обращения преобразования Лапласа. Напомним определе-

ние преобразования Лапласа

F( p) f (t)e ptdt

0

функция f (t) должна удовлетворять следующими условиям:

1)на любом ограниченном интервале функция имеет конечное число разрывов первого рода и экстремумов;

2)f (t) CeMt ;

3)f (t) 0, t 0 .

Преобразование Фурье fˆ ( ) f (t)e i tdt и преобразование Лапласа

формула обращения преобразования Фурье может быть переписана для преобразования Лапласа:

1 b i

f (t) 2πi b i F( p)e ptdt .

Здесь предполагается, что b M и f непрерывна в точке t . Поскольку формулу можно применять к любой функции (лишь бы интеграл сходился), то важно знать условия, гарантирующие, что функция f принадлежит классу допустимых функций. Это обстоятельство важно при решении уравнений с помощью преобразования Лапласа. Зная лемму Жордана, нетрудно получить достаточные условия [4].

30