LS-Sb87079

являются координатами образов точки z, получаемых в результате последовательных преобразований.

Построим изображения квадрата, выписывая формулы преобразования координат для каждого шага (см. рисунок). Вершины квадрата и их последовательные образы будем обозначать одними и теми же буквами AB C D, с

после первого шага отображения, и т. д. Цифра внутри квадрата обозначает номер преобразования, 0 – исходный квадрат. Вообще говоря, квадрат будет получаться криволинейным, но углы при вершинах будут оставаться прямыми. Будет также сохраняться ориентация квадрата: внутренность квадрата на каждом изображении будет находиться слева от точки, движущейся по границе в направлении от A к B .

Шаг 1. Формулы преобразования координат:

Данное преобразование задает инверсию. Заметим, что отрезки AB , BC и D A переходят в дуги окружностей, отрезок CD сохраняется прямолиней-

Это преобразование задает поворот вокруг начала координат на угол arctg 2

против часовой стрелки и растяжение в 5 раз. Шаг 4. Формулы преобразования координат: x4 x3; y4 y3 1.

Это преобразование задает сдвиг на единицу вверх по оси y.

4. Вычислим периметры последовательных изображений квадрата A BC D из предыдущего примера (обозначения сохраняются).

Периметр изображения 1 равен периметру изображения 0: p1 p0 4 .

11

Вычислим периметр изображения 2 – криволинейного квадрата

A B C D :

Изображение 3 получается из изображения 2 поворотом и растяжением

в5 раз, а изображение 4 – сдвигом изображения 3. Поэтому

p4 p3 5 p2 4,1121.

3.ИНТЕГРИРОВАНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Врамках рассматриваемых здесь вопросов важны криволинейные интегралы второго рода от функции комплексного переменного. Такой интеграл не требует специального определения, так как он легко сводится к паре криволинейных интегралов от функций вещественного переменного:

f (z)dz u(x, y) iv(x, y) (dx idy)

u(x, y)dx v(x, y)dy i u(x, y)dy v(x, y)dx ,

для вычисления, которых требуется провести параметризацию кривой Г: x x(t), y y(t), a t b, и вычислить определенные интегралы:

Как обычно, компактная формула векторного анализа при переходе к вычислению превращается в длинное описание. Переход от произвольной функции комплексной переменой в общем случае не меняет ситуации. Однако для замкнутых контуров картина резко меняется.

Чтобы достоверно описать это утверждение, нужно уточнить терминологию.

Определение. Область комплексной плоскости называется односвязной, если любой замкнутый путь в этой области можно стянуть в точку, не выходя из области.

Пример. D z : z z0 r – открытый круг, P z : Im z 2 – открытая полуплоскость, множество G z : z z0 r не является открытым, так

как все точки его границы не обладают требуемым свойством, множество T z : Im z 2 2i не является открытым, так как в точке z 2i не выполнено требуемое свойство. Все перечисленные множества являются односвязными. Область K z : z z0| r (кольцо) – односвязная, как и множе-

ство D0 z : 0 {z z0| r (проколотый круг).

Теорема Коши. Пусть G – односвязная область, – замкнутый контур внутри области. Тогда интеграл от аналитической в области G функции f (z)

контуру равен нулю: f (z)dz 0.

ственной и мнимой частей интеграла.

Первое важное следствие теоремы Коши – формула, дающая интегральное представление аналитической функции.

Следствие (формула Коши). Если f аналитическая функция в односвязной области G , – положительно ориентированный замкнутый контур,

13

Доказательство. Простое, но очень важное доказательство этой формулы, вытекающей из теоремы Коши, основано на независимости интеграла от выбора контура. В формуле Коши подынтегральная функция является аналитической всюду, кроме точки z0 .

Покажем, что интеграл по контуру равен интегралу по контуру

другой стороны все такие интегралы равны интегралу по контуру . Следовательно,

Формула Коши позволяет получить много интересной и полезной информации об аналитических функциях. Первый шаг в этом направлении – формула для производных аналитических функций.

Следствие (формула для производных). Если f – аналитическая функция в области G , – положительно ориентированный замкнутый контур, лежащий в области, и точка z0 находится внутри контура, то функция имеет в этой точке производные всех порядков, причем справедливо равенство

f n z0 2n!i z z0 n 1 dz .

Легко дать прямое доказательство этой теоремы, но важно понимать, что формула является следствием теоремы о дифференцировании интеграла по параметру.

14

Подставим это разложения в интеграл и поменяем местами интеграл и сумму:

Доказанная формула позволяет дать еще одно эквивалентное определение аналитичности: функция является аналитической в области, если она допускает разложение в ряд Тейлора в окрестности любой точки.

Описанные локальные свойства аналитических функций оказывают существенное влияние на поведение функции в целом.

4. ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ

Аналитические функции в некотором отношении очень похожи на многочлены.

Теорема. Нули аналитической функции, отличной от тождественного нуля, изолированы, т. е. у каждой точки, где аналитическая функция обращается в ноль, существуетокрестность, несодержащаядругихнулейэтойфункции.

Доказательство. Пусть функция f аналитична в окрестности точки z0 и f (z0) 0 , тогда найдется достаточно малый круг z : z z0 r , в котором функция допускает разложение в ряд Тейлора. Из предположения f (z0) 0 следует, что c0 0 , но поскольку функция не равна нулю тождественно, то существуют ненулевые коэффициенты. Пусть cm – первый из них, тогда ряд Тейлора этой функции можно представить в виде

ция имеет единственный корень z0 .

Основная теорема алгебры утверждает, что многочлен n -й степени имеет n корней. Аналитическая функция как многочлен «бесконечной» степени может иметь бесконечное число корней, например sin( k) 0,

k . Но существует жесткое ограничение на расположение корней: они не могут сгущаться.

16

Теорема единственности. Если функция f является аналитической в

области G и f (zn ) 0, zn G, nlim zn z0, z0 G , то f (z) 0.

Доказательство. В силу непрерывности f (z0) 0 , и точка z0 оказывается корнем функции, в любой окрестности которого имеются другие корни. Такое возможно только для f (z) 0.

Рассмотрим теперь свойства аналитических функций, которые невозможны для многочленов.

Определение. Если функция f является аналитической в круге

разлагается в ряд Тейлора в круге z : z z1 r1 . Если эту процедуру можно продолжать и за конечное число шагов перейти в точку z* , то говорят, что функция f допускает аналитическое продолжение из точки z0 в точку z* .

Разумеется, такая процедура для многочленов возможна всегда, но для аналитических функций общего вида это не так. Функцию f (z) 1/ z невоз-

из точки z0 1 и вернуться в ту же точку z* 1, но при этом окажется, что

значение функции будет другим. Процедура аналитического продолжения выводит на многолистные аналитические функции. Это полезные и важные объекты, познакомиться с ними можно по книге [3].

Рассмотренные свойства составляют исчерпывающую картину поведения аналитической функции во внутренних точках области аналитичности. Теперь следует обратиться к рассмотрению точек, где аналитичность нарушается.

5. ОСОБЫЕ ТОЧКИ. РЯДЫ ЛОРАНА

Функция, аналитическая в точке, обязательно аналитична в некоторой окрестности этой точки, но это не означает, что функцию можно продолжить в любую точку, двигаясь от окрестности к окрестности. Дело в том, что размер окрестности может быть очень маленьким. Рассмотрим пример того, как мо-

функции при приближении к границе области аналитичности может быть очень сложным, эти вопросы выходят далеко за рамки вводного курса.

Другая причина потери аналитичности связана с невозможностью определить функцию как однозначную в окрестности точки. Нельзя отказаться от рассмотрения этой ситуации, потому что она возникает при решении квад-

ратных уравнений. Рассмотрим функцию f (z) z . Напомним, что можно определить корень двумя способами (две ветви корня):

Вычислим значения f1 в двух близких точках:

f1 ei ei /2, f1 ei(2 ) ei( /2) .

Если 0 , то оба аргумента стремятся к 1, но значения функций стремятся соответственно к 1 и к –1. Такие точки называют точками ветвления.

Здесь будет рассмотрен только простейший вариант нарушения аналитичности.

Определение. Точка z0 называется изолированной особой точкой функции, если существует число r 0 такое, что в «проколотом круге»z : 0 z z0 r функция аналитична и однозначна, т. е. любое аналитиче-

ское продолжение функции вдоль замкнутой кривой сохраняет значение функции в стартовой точке.

Не приходится ожидать, что в окрестности изолированной особой точки функцию удастся разложить в ряд Тейлора, но представить функцию виде ряда более сложного вида всегда возможно.

Определение. Рядом Лорана называется следующее выражение:

Примеры.

n 0

Введенной конструкции достаточно, чтобы разложить в ряд любую аналитическую функцию в окрестности изолированной особой точки.

Теорема (о разложении в ряд Лорана). Если z0 – изолированная особая точка функции f , то в проколотой окрестности точки z0 она допускает разложение в ряд Лорана

План доказательства. Фиксируем точку z . Рассмотрим пару окружностей внутри кольца таких, что точка z лежит между ними:

t : t z0 r1 , t : t z0 r2 , 0 r1 z z0 r2 r .

Соединим окружности отрезком, не проходящим через точку z , и сформируем из них положительно ориентированный контур, обходящий точку z в положительном направлении и не содержащий внутри себя особых точек функции f . Представим f (z) с помощью формулы Коши и применим рас-

суждение, использованное в доказательстве теоремы о разложении в ряд Тейлора. На внешней окружности оно пройдет без изменений (важно, что z z0 t z0 ) и получится часть ряда Лорана с положительными коэффи-

циентами. На внутренней окружности справедливо противоположное нера-

19

даст в результате часть ряда Лорана с отрицательными коэффициентами. Поведениефункции вокрестностиизолированнойособойточки можетбыть

различным. Этиразличияхорошоулавливаютсяследующимопределением. Определение. Классификация изолированных особых точек. Пусть z0 –

предела в точке z0 0 .

Проследим, как выглядят ряды Лорана в каждом из этих случаев:

ной особой точке z1 i , достаточно разложить в ряд второе слагаемое: