519_8_E92_2015_Efromeeva_E_V__Efromeev_N_M_Metody_issledovania_operatsiy_v_mashinostroenii_primery_zadachi_2-e_izdanie

Существует простое правило, которое гарантирует, что нулевая базисная искусственная переменная на втором этапе никогда не станет положительной.

1.Если в ведущем столбце коэффициент, соответствующий нулевой базисной искусственной переменной, положителен, тогда ведущий элемент определяется автоматически (поскольку ему соответствует минимальное отношение, равное нулю), и искусственная переменная на следующей итерации становится небазисной.

2.Если ведущий элемент равен нулю, следующая итерация оставляет искусственную переменную нулевой.

3.Если ведущий элемент отрицательный, то минимальное отношение не ассоциируется с базисной (нулевой) искусственной переменной. В этом случае, если минимальное отношение будет положительным, то на следующей итерации искусственная переменная примет положительное значение (обоснуйте это утверждение). Чтобы исключить эту возможность, мы принуждаем искусственную переменную всегда оставаться в базисном решении. Поскольку искусственная переменная равна нулю, ее удаление из базисного решения не влияет на то, будет ли допустимым решение из оставшихся в базисе переменных.

Итак, правило для второго этапа заключается в том, чтобы искусственные переменные оставлять в базисе всегда, когда коэффициент в ведущем столбце положителен или отрицателен. Фактически это правило применяется в конце первого этапа, когда из базисного решения удаляются нулевые искусственные переменные, перед тем как приступить ко второму этапу.

Пример.

Минимизировать • = 4

Каноническая форма этой задачи получается в результате добавления дополнительной (избыточной) переменной % во второе неравенство и дополнительной (остаточной) переменной & в третье неравенство. Эта задача в канонической форме будет записана следующим образом.

71

В полученной задаче первое и второе уравнения не имеют дополнительных (остаточных) переменных, которые можно ввести в базисное

Применим к этой задаче двухэтапный метод.

Как и в М-методе, сначала вычисляется новая ! − строка по формуле:

новая ! − строка = старая ! − строка − 1 ∙ ./ − строка − 1 ∙ .0 − строка

Новая ! − строка используется для решения задачи первого этапа.

72

Поскольку достигнут максимум % = 0, значит, на первом этапе получено допустимое базисное решение • = 3/5, ! = 6/5 и $ = 1. Искусственные переменные полностью выполнили свою "миссию", поэтому из последней таблицы можно удалить их столбцы. Переходим ко второму этапу.

Этап 2

После удаления искусственных переменных исходная задача будет

Следует обратить внимание на то, что после первого этапа исходная задача претерпела некоторые изменения, которые учитывают полученное базисное решение. Этой трансформированной задаче соответствует следующая таблица.

73

Начальная таблица второго этапа примет следующий вид.

74

5.6. Задачи для самостоятельного решения

Решить симплекс-методом и сделать графическую интерпретацию:

Решить задачу линейного программирования симплекс-методом (3-16):

23.Дана задача линейного программирования

2!" − 4!# + 3!* → %&!, 5!" − 6!# + 2!* ≥ 5, -−!" + 3!# + 5!* ≥ 8, 2!" + 5!# − 4!* ≤ 9, !/ ≥ 0, 1 = 1,2,3.

Покажите, что неравенства можно свести к множеству равенств, которое потребует введения только одной искусственной переменной (вместо возможных двух искусственных).

6.Теория двойственности

6.1.Составление математических моделей двойственных задач

Любой задаче линейного программирования, называемой исходной или прямой, можно поставить в соответствие другую задачу, которая называется двойственной или сопряженной. Обе эти задачи образуют пару двойственных задач. Каждая из задач является двойственной к другой задаче рассматриваемой пары.

В теории двойственности используются четыре пары двойственных задач:

79

Правила составления двойственных задач:

а) во всех ограничениях исходной задачи свободные члены должны находиться в правой части, а члены с неизвестными – в левой;

б) ограничения-неравенства исходной задачи должны быть записаны так,

… , #& - свободные члены в ограничениях исходной задачи, при этом #' - свободный член именно того ограничения исходной задачи, которому соответствует неизвестная *', а *$, *%, … , *& – неизвестные в двойственной задаче;

е) целевая функция +(*) двойственной задачи должна оптимизироваться

противоположным по сравнению с !(") образом, то есть если !(") →

./", то +(*) → .01, и если !(") → .01, то +(*) → ./";

ж) каждому неизвестному "2, 3 = 1, 2, … , 1 исходной задачи соответствует ограничение в двойственной задаче. Совокупность этих 1 ограничений (вместе с условиями неотрицательности неизвестных *6, соответствующих ограничениям-неравенствам исходной задачи) образует систему ограничений двойственной задачи. Все ограничения двойственной задачи имеют вид неравенств, свободные члены которых находятся в правых частях, а члены с неизвестными *$, *%, … , *& – в левых. Все знаки неравенств имеют вид " ≥ ", если +(*) → .01, и " ≤ ",

если +(*) → ./".

Коэффициенты, с которыми неизвестные *$, *%, … , *& входят в ограничение, соответствующее неизвестному "2, совпадают с коэффициентами при этом неизвестном "2 в ограничениях исходной задачи, а именно: коэффициент при *' совпадает с тем коэффициентом при "2, с которым "2 входит в ограничение исходной задачи, соответствующее неизвестному *'.

80