519_8_E92_2015_Efromeeva_E_V__Efromeev_N_M_Metody_issledovania_operatsiy_v_mashinostroenii_primery_zadachi_2-e_izdanie

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Московский государственный технологический университет «Станкин»

Е.В. Ефромеева, Н.М. Ефромеев

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ В МАШИНОСТРОЕНИИ: ПРИМЕРЫ, ЗАДАЧИ

Допущено Учебно-методическим объединением по образованию в области автоматизированного машиностроения (УМО АМ) в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям подготовки: бакалавров и магистров «Технология, оборудование и автоматизация машиностроительных производств» и дипломированных специалистов «Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств»; «Автоматизированные технологии и производства»

2-е издание, переработанное и дополненное

Москва

2015

УДК 519.852(075)

ББК 22.18 Е 92

Рецензенты: канд. тех. наук, доц. И.В. Синицын (начальник кафедры специальных вычислительных комплексов программного и информационного обеспечения АСУ Ракетных войск ВА РВСН им. Петра Великого);

д-р. пед. наук, проф. В.К. Жаров (заведующий кафедрой фундаментальной и прикладной математики ФГБОУ ВПО «Российский государственный гуманитарный университет» (РГГУ)).

Ефромеева Е.В., Ефромеев Н.М.

Е 92 Методы исследования операций в машиностроении: примеры, задачи : учебное пособие. – 2-е издание, перераб. и доп./ Е.В. Ефромеева, Н.М. Ефромеев. – М.: ФГБОУ ВО «МГТУ «СТАНКИН», 2015. – 175 с.

ISBN 978-5-7028-0675-4

В пособии изложены основные возможности практического применения методов исследования операций, когда целевая функция и все ограничения являются линейными функциями.

Учебное пособие предназначено для бакалавров высших учебных заведений, обучающихся по направлению 09.03.01 «Информатика и вычислительная техника».

Пособие может быть полезно студентам технических вузов, а также студентам экономических специальностей и практическим работникам, занимающимся анализом текущего финансово-экономического состояния и будущего развития фирм, предприятий, отраслей и регионов.

УДК 519.852(075)

ББК 22.18

Содержание

2.2.2. Задача о составлении оптимального производственного процесса (задача

3.1. Математический аппарат графического метода решения задач линейного

7.11. Пример краткого оформления решения задачи методом потенциалов... 120

4

5

Введение

Исследование операций направлено на решение практических задач, которые можно описать с помощью математических моделей. Сегодня теория исследования операций является основным и неотъемлемым инструментом при принятии решений в самых разнообразных областях машиностроительного производства. А от уровня развития машиностроения зависят материалоемкость, энергоемкость валового внутреннего продукта, производительность труда, промышленная безопасность и обороноспособность государства.

Машиностроительный комплекс включает более двадцати подотраслей металлообрабатывающей промышленности, производящих средства производства, транспорта, оборонную продукцию, а также предметы потребления. Целый ряд интересных и важных видов деятельности в машиностроении можно трактовать как процессы исследования операций, когда целевая функция и все ограничения являются линейными функциями.

Машиностроение призвано обеспечить производственным оборудованием ключевые сектора экономики и в первую очередь обрабатывающие отрасли промышленности и тем самым определяет состояние производственного потенциала Российской Федерации.

Впособии представлены наиболее известные и эффективные методы линейного математического программирования, часто использующиеся в задачах машиностроительного профиля.

Для машиностроения это задачи размещения производства, транспортные задачи, задачи назначения, маршрутизации, распределительные задачи.

Все главы настоящего издания значительно переработаны.

Впособие включен новый материал – это глава, посвященная целочисленному линейному программированию.

Пособие может быть полезно студентам технических вузов, а также студентам экономических специальностей и практическим работникам, занимающимся анализом текущего финансово-экономического состояния и будущего развития фирм, предприятий, отраслей и регионов.

6

1. Основные понятия

1.1.Основные понятия исследования операций

Исследование операций – это комплексная математическая дисциплина, занимающаяся построением, анализом и применением математических моделей принятия оптимальных решений при проведении операций.

Операция – система управляемых действий, объединенная единым замыслом и направленная на достижение определенной цели.

Примеры операций.

Пример 1. Предприятие выпускает несколько видов изделий, при изготовлении которых используются ограниченные ресурсы различного типа. Требуется составить план выпуска изделий на месяц, т.е. указать количество выпускаемых изделий каждого вида, и максимизировать прибыль при выполнении ограничений на потребляемые ресурсы.

Пример 2. На промышленное предприятие ежемесячно поступают детали, поставляемые смежными предприятиями. Есть некоторая статистика по выполнению смежниками поставок. Требуется обеспечить минимальную величину потерь для предприятия с учетом оценки вероятностей выполнения поставок.

Пример 3. Требуется организовать строительство нового филиала предприятия. При этом необходимо указать порядок выполнения работ во времени и распределить требуемые ресурсы между работами так, чтобы завершить строительство вовремя и минимизировать его стоимость.

Исследование операций – это раздел прикладной математики, изучающий способы эффективного и оптимального управления различными системами и процессами в системах. Целью этой науки является определение организации работы системы, объекта или процесса таким образом, чтобы её функционирование было максимально эффективно.

Исследование операций подразумевает построение математической модели процесса в системе и оптимизацию этого процесса по построенной модели. Для построения математической модели необходимо иметь строгое представление о цели функционирования исследуемой системы и располагать информацией об ограничениях, которые определяют область допустимых значений управляемых переменных. Анализ модели должен привести к определению наилучшего оптимального воздействия на объект управления при выполнении всех постановленных ограничений.

Два видных специалиста по исследованию операций – Е.С. Вентцель и Т.Л. Саати так определяли эту науку:

«Под исследованием операций понимается применение математических, количественных методов для обоснования решений во всех областях целенаправленной человеческой деятельности».

7

«Исследование операций представляет собой искусство давать плохие ответы на практические вопросы, на которые даются еще худшие ответы другими методами».

Линейное и динамическое программирование, разнообразные оптимизационные задачи, теория игр, принятие решений, в том числе принятие решений в группах, системный анализ и математическое моделирование - весь этот инструментарий, вся эта техника используется при решении задач исследований операций.

1.2. Сущность и значение оптимизации

Набор управляющих параметров (переменных) при проведении операции называется решением. Решение называется допустимым, если оно удовлетворяет набору определенных условий. Решение называется оптимальным, если оно допустимо и по определенным признакам, предпочтительнее других или, по крайней мере, не хуже.

Признак предпочтения называется критерием оптимальности. Критерий оптимальности включает в себя целевую функцию и направление оптимизации или набор целевых функций и соответствующих направлений оптимизации.

Целевая функция – это количественный показатель предпочтительности или эффективности решений.

Направление оптимизации – это максимум (минимум), если наиболее предпочтительным является наибольшее (наименьшее) значение целевой функции. Например, критерием может быть максимизация прибыли либо минимизация расходов.

Математическая модель задачи исследования операций включает в себя:

∙описание переменных, которые необходимо найти;

∙описание критериев оптимальности.

Оптимизация – это придание объекту наилучшего в определенном смысле качества. В реальных условиях объект оптимизации должен обладать многими качествами, причем улучшение одних приводит к ухудшению других: увеличение надежности систем связи приводит к росту стоимости и т.п.

Количественная мера качества называется показателем качества. Показатель качества, экстремальное значение которого необходимо найти в процессе оптимизации, называется критерием оптимальности.

Поиск оптимального решения включает в себя следующие этапы:

1.Постановка задачи. Сначала задачу формулируют в обычных терминах. Определяют цели, варианты различных действий и их

влияние на характеристики управляемого объекта или процесса.

2. Выбор критерия оптимальности. Важнейший момент в процессе оптимизации. Критерий должен быть представительным, т.е. выделять главное, быть чувствительным к изменению управляемых параметров. Кроме того, критерий должен быть простым и удобным.

Если необходимо улучшить несколько качеств, за критерий выбирают один из показателей, а остальные выступают как ограничения.

Зависимость критерия оптимальности F(x) от управляемых переменных x=(x1, x2,…, xn) называется целевой функцией

F(x)= F(x1, x2,…, xn).

Целевую функцию обозначают как прописными, так и строчными буквами латинского алфавита. Например, f, p, g, z, s, F, P и т.п.

3. Отыскание оптимальных решений. На этом этапе с помощью конкретного метода программирования ведут поиск таких переменных x1, x2,…, xn, при которых целевая функция принимает экстремальное значение

F(x)= F(x1, x2,…, xn) Þ ext

при условии, что выполняются все ограничения.

Пример.

Цех предприятия производит 2 типа деталей: деталь А и деталь Б. Деталь А продается за 270 руб. и требует материалов стоимостью 100 рублей и нематериальных расходов на сумму 140 руб. Деталь Б стоит 210 руб., требует материалов на 90 руб. и нематериальных расходов в размере 100 руб.

Производство деталей включает 2 типа работ: на токарных и фрезерных станках. Деталь А требует 1 час работы на токарных станках и 2 часа на фрезерных. Для детали Б эти работы длятся по 1 часу.

Каждую неделю цех получает все требуемые расходные материалы, но может использовать не более 80 часов для токарных работ и не более 100 часов для работы на фрезерных станках. Заказы на деталь А не превосходят 40 шт. в неделю, а заказы на деталь Б неограниченны. Цеху необходимо максимизировать недельный доход (стоимость проданных деталей минус расходы).

Построить математическую модель задачи.

1.Переменные: х1 – количество деталей А, произведенных в неделю, х2 – количество деталей Б, произведенных в неделю.

2.Целевая функция:

270х1+210х2-((100+140)х1+(90+100)х2)=30х1+20х2=z→ max (единицы измерения должны быть одинаковы).

9

3. Допустимая область (ограниченная на х1 и х2):

1х1+1х2 ≤ 80 – часы работы на токарных станках; 2х1+1х2 ≤ 100 – часы работы на фрезерных станках;

(единицы измерения должны быть одинаковы)

х1 ≤ 40 – заказы на детали А; х1 ≥ 0, х2 ≥ 0 – условия неотрицательности.

1.3. Типичные задачи линейного программирования машиностроительного профиля

Распределительные задачи:

1)имеем:

•— число предприятий;

•— количество единиц некоторого ресурса;

!(") — количество продукции, которое будет произведено на #-м предприятии, если в него будет вложено " единиц ресурса (монотонно неубывающая функция).

Требуется: максимизировать объем продукции

$("$) + + '("') → ,-"

при условии

"$ + ". + + "' ≤ •, "1 0, целые, 2 = 1, … 4.

2) комплексная целевая программа включает k подпрограмм. Известно, что для выполнения i-й подпрограммы в полном объеме достаточно ресурсов в количестве 51, степень же выполнения подпрограммы при выделении на нее "1 ресурсов составляет 61 = •78, 0 ≤ "# ≤ $#. Степень выполнения вcей программы

определяется как

(

% = & %#' ,

#)*

где +# > 0 - коэффициент важности /-й подпрограммы.

Найти оптимальное распределение общего ресурса 1 объема по подпрограммам в случае дефицита: (

2 $# > 1.

#)*

Задача об оптимальном выпуске продукции

Эта задача возникает при составлении планов выпуска продукции предприятием и поэтому имеет важное практическое значение.

Предприятие выпускает n наименований продукции. Затраты •-го вида