519_8_E92_2015_Efromeeva_E_V__Efromeev_N_M_Metody_issledovania_operatsiy_v_mashinostroenii_primery_zadachi_2-e_izdanie

В случае минимизации функции цели в алгоритме необходимо изменить только условие оптимальности: в качестве новой базисной переменной следует выбрать ту переменную, которая в F-строке имеет наибольший положительный коэффициент.

5.3. Частные случаи использования симплекс-метода

x3- выводится, x2 вводится.

На следующем шаге:

x4- выводится, x1 – вводится.

Получим:

уменьшилось (18). Т.е. произошло зацикливание. Что же это означает?

61

Рассмотрим другой пример. Найти • = 2 ! + 4 " → $% ,

при условии

• + 2•! ≤ 5,

•• +, ••!!≥≤04,.

На рис. 28 показана графическая интерпретация данного примера.

График целевой функции параллелен одной из прямой ограничений. Это означает, что задача имеет бесконечное множество решений.

Может быть случай, когда решение отсутствует вообще.

Пример$. = 3 → Найти • + 2•! &'•,

при условии

2• + •! ≤ 2,

• + 4•! ≥ 12,

• ,•! ≥ 0.

62

63

5.4. Пример краткого оформления решения задач симплекс-методом

Далее в строке “f” найдем наименьшее отрицательное значение (-12) – это будет разрешающий столбец. Затем для нахождения разрешающей строки разделим значения из столбца “Св. чл.” на неотрицательные и ненулевые значения разрешающего столбца (кроме строчки “f”) и найдем минимум из получившихся значений.

В нашем случае min (16/8; 20/4; 15/2)=16/8=2. Разрешающий элемент находится на пересечении разрешающего столбца (первый столбец)и разрешающей строки (первая строка). Разрешающий элемент равен 8.

После определения разрешающего элемента делим разрешающую строчку на найденное число. Разрешающий столбец (кроме разрешающего

Например: • = 2 − "#∙% = 7/2.

&

Используем данный алгоритм до тех пор, пока в строке “f” все числа будут ≥0.

В строке “f” все числа ≥ 0, значит наша симплекс-таблица не может быть больше улучшена.

Ответ: max=77,25; •• = 11,75; •• = 2,5;•• = 0.

65

5.5.Искусственное начальное решение

Впримере 5.4. при начальном допустимом базисном решении гарантировалось, что все последующие базисные решения, получаемые при выполнении симплекс-метода, также будут допустимыми. В задачах линейного

программирования, где все ограничения являются неравенствами типа "≤" (с неотрицательной правой частью), дополнительные (остаточные) переменные позволяют сформировать начальное допустимое базисное решение. Естественно, возникает вопрос: как найти начальное допустимое базисное решение в задачах линейного программирования, где есть ограничения в виде равенств или неравенств типа "≥"?

Наиболее общим способом построения начального допустимого базисного решения задачи линейного программирования является использование искусственных переменных. Эти переменные в первой итерации играют роль дополнительных остаточных переменных, но на последующих итерациях от них освобождаются. Разработано два тесно связанных между собой метода нахождения начального решения, которые используют искусственные переменные: М-метод1 и двухэтапный метод.

5.5.1. М-метод

Пусть задача линейного программирования записана в стандартной форме. Для любого равенства •, в котором не содержится дополнительная остаточная переменная, введем искусственную переменную ! , которая далее войдет в начальное базисное решение. Но поскольку эта переменная искусственная (другими словами, не имеет никакого "физического смысла" в данной задаче), необходимо сделать так, чтобы на последующих итерациях она обратилась в нуль. Для этого в выражение целевой функции вводят штраф.

Переменная !" с помощью достаточно большого положительного числа

# штрафуется путем ввода в целевую функцию выражения −#!" в случае максимизации целевой функции и выражения +#!" — в случае минимизации. Вследствие этого штрафа естественно предположить, что процесс оптимизации симплекс-метода приведет к нулевому значению переменной !" .

При использовании М-метода следует обратить внимание на следующие два обстоятельства.

1. Использование штрафа # может и не привести к исключению искусственной переменной в конечной симплекс-итерации. Если исходная задача линейного программирования не имеет допустимого решения (например, система ограничений несовместна), тогда в конечной

1 М-метод также называют методом больших штрафов.

66

симплекс-итерации, по крайней мере, одна искусственная переменная будет иметь положительное значение. Это "индикатор" того, что задача не имеет допустимого решения.

большой, чтобы не уменьшить точность вычислений. На практике вы должны помнить о возможных ошибках машинного округления при выполнении вычислений, в которых совместно участвуют как большие, так и малые числа.

Пример.

$, ! ≥=0.30,

Вполученной задаче третье и четвертое уравнения не имеют

дополнительных (остаточных) переменных, которые можно ввести в базисное решение. Поэтому введем в эти уравнения−искусственные;: − ;: переменные :$, и :!,

ав целевую функцию добавим штраф $ !. В результате получим6

следующую задачу ЛП.

67

использовать в качестве начального допустимого базисного решения. В результате получим следующую симплекс-таблицу.

внимание на "подсвеченные" единицы в этих строках — если бы эти коэффициенты были отличны от единиц, то необходимо было бы сначала разделить все элементы этих строк на данные коэффициенты.) Кратко это

действие можно записать следующим образом.

Новая • − строка = старая • − строка − $ ∙ %" − строка − $ ∙ %# − строка

Измененная симплекс-таблица примет следующий вид

68

Отметим, что теперь • = −39!, что соответствует базисному решению

"# = 16, "$ = 8, %& = 9 и %) = 30.

Последняя таблица готова к применению симплекс-метода с использованием условий оптимальности и допустимости. Находим наибольший по абсолютной величине отрицательный коэффициент в • − строке. Наибольший коэффициент 1 − 8! соответствует переменной "), которая и будет вводимой. Условие допустимости указывает на переменную %& в качестве исключаемой.

Поскольку вводимая и исключаемая переменные определены, новую симплекс-таблицу можно вычислить с помощью метода Гаусса-Жордана. Заметим, что вычисления в • − строке, где присутствует !, следует проводить алгебраически. В результате получим следующую таблицу.

Отметим, что уже первая итерация исключила из базисного решения искусственную переменную %&, что является результатом включения штрафа в целевую функцию.

Последняя таблица показывает, что следующими вводимой и

Вторая итерация исключила из базисного решения искусственную переменную .". Следующими вводимой и исключаемой переменными будут !' и !• соответственно.

69

5.5.2. Двухэтапный метод

Двухэтапный метод лишен недостатков, которые присущи М-методу вследствие ошибок округления. Как следует из названия этого метода, процесс решения задачи ЛП разбивается на два этапа. На первом этапе ведется поиск начального допустимого базисного решения. Если такое решение найдено, то на втором этапе решается исходная задача.

Этап 1. Задача ЛП записывается в стандартной форме, а в ограничения добавляются необходимые искусственные переменные (как и в М-методе) для получения начального базисного решения. Решается задача ЛП минимизации суммы искусственных переменных с исходными ограничениями. Если минимальное значение этой новой целевой функции больше нуля, значит, исходная задача не имеет допустимого решения, и процесс вычислений заканчивается. (Напомним, что положительные значения искусственных переменных указывают на то, что исходная система ограничений несовместна.) Если новая целевая функция равна нулю, переходим ко второму этапу.

Этап 2. Оптимальное базисное решение, полученное на первом этапе, используется как начальное допустимое базисное решение исходной задачи.

Удаление искусственных переменных в конце первого этапа имеет смысл только тогда, когда все они являются небазисными. Однако возможна ситуация, когда в конце первого этапа искусственные переменные останутся в базисе, но будут иметь нулевые значения. В этом случае такие переменные при необходимости будут формировать часть начального базисного решения для второго этапа. При этом необходимо так изменить вычисления, выполняемые на втором этапе, чтобы искусственные переменные никогда не смогли принять положительные значения ни в каких итерациях симплекс-метода.

70