519_8_E92_2015_Efromeeva_E_V__Efromeev_N_M_Metody_issledovania_operatsiy_v_mashinostroenii_primery_zadachi_2-e_izdanie
.pdf
3. Геометрическая интерпретация задач линейного программирования. Графический способ решения
задач линейного программирования с двумя переменными и ограничениями- неравенствами
3.1.Математический аппарат графического метода решения задач линейного программирования
Графический метод является простейшим способом решения задач линейного программирования. Графическое решение задачи линейного программирования с двумя переменными дает конкретную и наглядную интерпретацию процесса оптимизации. В случае трех переменных графическое решение задач становится менее наглядным, а при большем числе переменных
– даже невозможным.
Первый шаг при использовании графического метода заключается в геометрическом представлении допустимых решений, т.е. при построении области (допустимых) решений, в которой одновременно удовлетворяются все ограничения модели
Графическое решение ЗЛП с двумя переменными и системой ограничений в виде линейных неравенств состоит из 2-х этапов:
а) построение на плоскости множества решений системы линейных
неравенств, являющегося выпуклым многогранным множеством; |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) выбор в построенном множестве точки |
, доставляющей |
|||||||
целевой функции требуемое экстремальное (max или min) значение. |
+ |
|
•" |
|
# |
|
||
Коротко о необходимом математическом аппарате. |
|
• |
|
|
|
|||
1. Множество точек, удовлетворяющих уравнению |
• |
! |
= |
, |
||||
геометрически есть прямая (рис. 1). |
|
|
|
|
||||
2.Множество точек, удовлетворяющих линейному неравенству, представляет собой полуплоскость по одну сторону от прямой (включая саму прямую)
ax1 +bx2 ≤ c (c > 0)
Рис. 1
31
Способ выбора искомой полуплоскости:
а) |
на плоскости выбирают точку с известными координатами, не |
лежащую на граничной прямой; |
|
б) |
координаты выбранной точки подставляются в неравенство. |
Возможны 2 случая:
Случай 1.
Получено верное числовое неравенство.
В этом случае искомой полуплоскостью будет та, в которой содержится выбранная точка (рис. 2).
Случай 2.
Числовое неравенство неверное. Искомая полуплоскость не содержит выбранной точки (рис. 3).
Множество точек, удовлетворяющих системе линейных неравенств, представляет собой пересечение (общую часть) всех полуплоскостей, соответствующих каждому неравенству (рис. 4).
Полуплоскость
содержит
выбранную
точку
Рис. 2
Полуплоскость точки не содержит
Рис. 3
Множество
решений системы
из 3х неравенств
Рис. 4
32
N(a,b) ax+by=f
Рис. 5
На рис. 5 изображена прямая ax + by = f Нормальный вектор N этой прямой задается коэффициентами при неизвестных x и y , т.е. N = ( a;b)
Свойство нормального вектора:
а) при перемещении прямой (параллельно самой себе) в направлении вектора N значение f увеличивается;
б) при перемещении прямой (параллельно самой себе) против направления N значение f уменьшается (рис. 6).
N
ax + by = f1 > f
ax + by = f
ax + by = f2 < f
Рис. 6
33
3.2. Пример графического решения задачи линейного программирования
Разберем пример графического решения задачи |
максимизации прибыли. |
||
•( !, ") = 4 ! |
+ 2 " → $% , |
|
|
|
! + 2 |
" ≤ 10, |
|
& |
2 ! − |
" ≥ 1, |
|
! − 3 |
" ≤ 2, |
|
|
|
! ≥ 0, |
" ≥ 0. |
|
1. Изобразим на плоскости систему координат (рис. 7):
X2
X1
0 
Рис. 7 2. Рассмотрим ограниченияХ ≥ 0 неотрицательности:
Ø Неравенство определяет полуплоскость, в которой все точки имеют неотрицательную вторую координату (рис. 8).
X2
X2≥ 0
X1
0
Ø Неравенству Х ≥ 0 |
Рис. 8 |
соответствует полуплоскость, где первая |
координата каждой точки неотрицательна (рис. 9).
X2
X1≥ 0
X1
0
Рис. 9
34
Ø Системе неравенств |
• Х# ≥ 0 |
|
Х |
0, соответствует 1-я четверть |
|
(рис. 10).
X2
x1≥0, x2≥0
X1
0
Рис. 10
В дальнейшем, если заданы ограничения неотрицательности, все
построения проводятся в 1-й четверти.
3.Строим системы ограничений - множество точек, соответствующее множеству решений:
Берем первое неравенство
x1 + 2x2 ≤ 10
и заменим его уравнением
x1 + 2x2 = 10.
Строим прямую, соответствующую этому уравнению (рис. 11).
(Если она не проходит через начало координат, то удобнее всего строить эту прямую по точкам пересечения с осями координат).
Рис. 11
Построенная прямая разбивает плоскость на 2 полуплоскости. Для выбора полуплоскости, соответствующей нашему неравенству, возьмем на плоскости точку с известными координатами, не лежащую на прямой (пусть
35
это будет точка (0,0) - начало координат). Подставив координаты этой точки в неравенство x1 + 2x2 ≤ 10 ,
получим:
1×0 + 2×0 £ 10 , 0 £ 10.
Получилось верное числовое неравенство. Значит полуплоскость содержит выбранную для проверки точку (в данном случае - начало координат). Заметим, что для проверки не обязательно брать начало координат.
Главное, чтобы |
точка не лежала на прямой |
и имела |
известные |
координаты. |
|
|
|
Например, возьмем точку М с координатами (10,2). |
|
|
|
Подставляя эти |
координаты в неравенство x1 |
+ 2x2 ≤ 10 , |
получаем |
10 + 2× 2 £ 10 ® 14 £ 10 .
Неравенство неверное. Значит, полуплоскость не содержит точки М, т.е. опять определяется та же полуплоскость (рис. 12).
x2
x1+2x2=10
5
0 |
x1 |
|
|
|
10 |
Рис. 12
Таким образом, в совокупности с первой четвертью текущее множество решений представляет собой треугольник OAB. (рис. 13)
x2
A
0 x1
B
Рис. 13
36
Далее аналогично строят полуплоскости, соответствующие остальным неравенствам, и находят пересечение с текущим множеством решений.
2-е неравенство
2•• − •• ≥ 1 → 2•• − •• = 1,
•• = 0,
•• = −1;
•• = 0, !•• = 12 .
Точка для проверки О(0,0): 2× 0 - 1× 0 ³ 1 ® 0 ³ 1 .
Неравенство неверное, значит, полуплоскость не содержит точку О. Находим пересечение с предыдущим множеством. Получаем треугольник DMB (рис. 14).
x2
A |
|
M |
|
0 |
x1 |
|
|
D |
B |
Рис. 14
3-е неравенство
•• − 3•• ≤ 2 → •• − 3•• = 2,
•• = 0, !•• = − 23 ;
•• = 0,
•• = 2.
Подставляя в неравенство точку начала координат, убеждаемся, что полуплоскость содержит эту точку. При пересечении с предыдущим
37
множеством решений приходим к выводу, что четырехугольник DMCE является областью, удовлетворяющей всей системе ограничений (рис. 15).
x2
A |
|
M |
|
|
C |
0 |
x1 |
|
|
D E |
B |
Рис. 15
Окончательно множество решений ЗЛП представляет собой четырехугольник DMCE (рис. 16).
x2
M
C
0 
x1
DE
Рис. 16 4. Займемся отысканием в множестве решений точки, которая доставляет максимум целевой функции
f = 4x1 + 2x2
(эта точка будет соответствовать оптимальному решению).
Для этого построим нормальный вектор N=(4,2). Если придать f какое- либо конкретное значение f0, то прямая будет проходить перпендикулярно N (При f=0 прямая проходит через начало координат, рис. 17) .
38
x2
4x1+2x2=f0
N
0
x1
4x1+2x2=0
Рис. 17
Перемещая прямую в направлении N (задача на мах), по которому значение целевой функции возрастает, находим последнюю точку пересечения прямой и множества решений. Эта точка и будет искомым оптимальным решением. Определяем ее компоненты как координаты точки пересечения 1-й и 3-й прямых (рис. 18).
x2
N
x1
0 |
f=f( ) |
|
|
|
f=0 |
|
Рис. 18 |
• |
• |
|
|
8 |
• |
+ 2• = 10, |
→ 5•• |
= 8; → •• = 5 ; |
|
• •• − 3•• = 2; |
||||
|
• |
|
3 ∙ 8 |
34 |
|
• = 2 + |
5 |
" = 5 ; |
|
|
•̈ =34 , |
8" , $(•̈) = 152. |
||
|
5 |
5 |
39 |
5 |
3.3. Различные случаи решения задач линейного программирования
Теперь рассмотрим различные случаи разрешимости и неразрешимости
ЗЛП.
ЗЛП неразрешима (не имеет оптимального решения):
а) из-за несовместимости системы ограничений. Т.е. система не имеет ни одного решения (рис. 19);
Рис. 19 б) из-за неограниченности целевой функции на множестве решений. (В
этом случае множество решений обязательно неограниченно, что и показано на рис. 20).
N
max
Рис. 20
Другими словами, при решении ЗЛП на max значение целевой функции стремится к бесконечности, а в случае ЗЛП на min – к минус бесконечности.
Множество решений неограниченно в направлении вектора N (при решении задачи на MAX). Поэтому прямую можно бесконечно перемещать по направлению вектора, оставаясь при этом внутри допустимого множества решений.
40