519_8_E92_2015_Efromeeva_E_V__Efromeev_N_M_Metody_issledovania_operatsiy_v_mashinostroenii_primery_zadachi_2-e_izdanie
.pdf8.4. Задача о назначениях
Решить задачу об оптимальном назначении с матрицей эффективностей A . |
||||||||
|
|
|
2 |
4 |
1 |
3 |
3 |
|
|
|
|
1 |
5 |
4 |
1 |
2 |
|
• = 3 |
5 |
2 |
2 |
4 |
||||
|
|
|
1 |
4 |
3 |
1 |
4 |
|
|
|
3 |
2 |
5 |
3 |
5 |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
Составляем исходную таблицу (матрицу): |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4 |
1 |
3 |
3 |
|
|
|
1 |
|
5 |
4 |
1 |
2 |
|
|
|
3 |
|
5 |
2 |
2 |
4 |
|
|
|
1 |
|
4 |
3 |
1 |
4 |
|
|
|
3 |
|
2 |
5 |
3 |
5 |
|
|
Этап 1. В каждой строке ищем минимальный элемент и отнимаем от всех элементов строки. Получим:
2 |
4 |
1 |
3 |
3 |
p1=1 |
|
1 |
5 |
4 |
1 |
2 |
p2=1 |
|
3 |
5 |
2 |
2 |
4 |
p3=2 |
|
1 |
4 |
3 |
1 |
4 |
p4=1 |
|
3 |
2 |
5 |
3 |
5 |
p5=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
0 |
2 |
2 |
|
|
0 |
4 |
3 |
0 |
1 |
|
|
1 |
3 |
0 |
0 |
2 |
|
|
0 |
3 |
2 |
0 |
3 |
|
|
1 |
0 |
3 |
1 |
3 |
|
Теперь проводим аналогичную процедуру для всех столбцов: ищем наименьший элемент по столбцу и отнимаем его из всех элементов столбца. Получим:
1 |
3 |
0 |
2 |
2 |
0 |
4 |
3 |
0 |
1 |
1 |
3 |
0 |
0 |
2 |
0 |
3 |
2 |
0 |
3 |
1 |
0 |
3 |
1 |
3 |
=0 |
=0 |
=0 |
=0 |
=1 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
q |
q |
q |
q |
q |
|
|
131 |
|
|
1 |
3 |
0 |
2 |
1 |
0 |
4 |
3 |
0 |
0 |
1 |
3 |
0 |
0 |
1 |
0 |
3 |
2 |
0 |
2 |
1 |
0 |
3 |
1 |
2 |
Задачей является распределение всех подлежащих назначению единиц в клетки с нулевой стоимостью.
Этап 2. Выбираем строку с одним нулем (строка №1), выделяем нуль жирным и зачеркиваем (выделено серым) оставшиеся нулевые значения этого столбца (столбца №3).
Выбираем строку с одним нулевым значением (строка №5), выделяем
нуль.
Выбираем строку с одним нулем (строка №3), выделяем нуль жирным и зачеркиваем (выделено серым) оставшиеся нулевые значения этого столбца (столбца №4).
Выбираем строку с одним нулем (строка №4), выделяем нуль жирным и зачеркиваем (выделено серым) оставшиеся нулевые значения этого столбца (столбца №1).
Выбираем строку с одним нулевым значением (строка №2), выделяем
нуль.
1 |
3 |
0 |
2 |
1 |
0 |
4 |
3 |
0 |
0 |
1 |
3 |
0 |
0 |
1 |
0 |
3 |
2 |
0 |
2 |
1 |
0 |
3 |
1 |
2 |
Получаем оптимальную матрицу назначений:
1
1
1
1
1
Минимальное значение целевой функции: 1+2+2+1+2=8.
132
8.5. Задача о назначении научных руководителей проектов
Институт получил гранты на выполнение пяти исследовательских проектов. В качестве научных руководителей проектов рассматриваются кандидатуры пяти ученых. Каждый ученый оценил время, необходимое ему для реализации проекта. Таблица времен приведена ниже. Продолжительность времени задана в месяцах. Требуется выбрать руководителя для выполнения каждого проекта так, чтобы суммарное время выполнения всех проектов было минимальным.
|
Проект |
|
|
Ученый |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
2 |
|
3 |
|
4 |
5 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
9 |
10 |
|
10 |
|
8 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
13 |
10 |
|
6 |
|
5 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
14 |
10 |
|
8 |
|
5 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
11 |
10 |
|
6 |
|
12 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
12 |
11 |
|
6 |
|
9 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Из каждой строки вычитаем минимальный в этой строке элемент, |
||||||||||
получим следующую матрицу: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проект |
|
|
|
Ученый |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
2 |
|
2 |
|
0 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
8 |
5 |
|
1 |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
9 |
5 |
|
3 |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
5 |
4 |
|
0 |
|
6 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
5 |
|
0 |
|
3 |
2 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из каждого столбца вычитаем минимальный в этом столбце элемент, получим следующую матрицу:
133
Проект |
|
|
Ученый |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
2 |
|
0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
7 |
3 |
|
1 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
8 |
3 |
|
3 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
4 |
2 |
|
0 |
|
6 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
5 |
3 |
|
0 |
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Проводим через все нули прямые (5-1=4):
Наименьший (4,2)элемент,– 2 через которые не проходит ни одна прямая, находится в ячейке . Вычитаем его из всех элементов, через которые не проходят прямые. Прибавляем его ко всем элементам, лежащим на пересечении прямых. Элементы, через которые проходит только одна прямая, оставляем неизменными.
Проект |
|
|
Ученый |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
4 |
|
2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
5 |
1 |
|
1 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
6 |
1 |
|
3 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
2 |
0 |
|
0 |
|
6 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
3 |
1 |
|
0 |
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
134
Получаем оптимальную матрицу назначений:
1
1
1
1
1
Минимальное значение целевой функции: 9 + 10 + 6 + 5 + 6 = 36.
8.6. Распределение торговых агентов фирмы по городам
Предприятие продает товары в 5 различных городах, покупательная способность жителей этих городов оценивается в 150, 170, 200, 400, 250 усл. ед. Для реализации товаров предприятие нанимает 5 торговых агентов, каждого из которых направляет в один из городов. Профессиональный уровень агентов различен; доли реализуемых товаров агентами представлены таблицей:
|
Доля реализуемых товаров торговым |
|||||||
|
||||||||
Города |
|
|
агентом |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0,9 |
0,2 |
|
0,3 |
|
0,1 |
0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0,3 |
0,1 |
|
0,4 |
|
0,3 |
0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
0,2 |
0,3 |
|
0,3 |
|
0,3 |
0,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
0,3 |
0,4 |
|
0,4 |
|
0,11 |
0,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
0,4 |
0,2 |
|
0,4 |
|
0,1 |
0,12 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Как следует распределить торговых агентов по городам, чтобы предприятие получило максимальную выручку от продаж?
135
Доли реализуемых товаров агентами представлены таблицей:
|
Доля реализуемых товаров |
Покупательная |
||||
Города |
|
торговым агентом |
|
|||
|
|
способность |
||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0,9 |
0,2 |
0,3 |
0,1 |
0,2 |
150 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0,3 |
0,1 |
0,4 |
0,3 |
0,2 |
170 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
0,2 |
0,3 |
0,3 |
0,3 |
0,4 |
200 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
0,3 |
0,4 |
0,4 |
0,11 |
0,3 |
400 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
0,4 |
0,2 |
0,4 |
0,1 |
0,12 |
250 |
|
|
|
|
|
|
|
Преобразуем эту матрицу к матрице доходов фирмы от каждого агента в каждом городе:
Города |
|
|
Доходы |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
4 |
5 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
135 |
30 |
|
45 |
|
15 |
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
51 |
17 |
|
68 |
|
51 |
34 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
40 |
60 |
|
60 |
|
60 |
80 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
120 |
160 |
|
160 |
|
44 |
120 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
100 |
50 |
|
100 |
|
25 |
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Преобразуем эту матрицу в соответствии с венгерским алгоритмом, вычитая из максимального элемента каждого столбца остальные элементы столбца:
|
Преобразованная матрица |
||||||
Города |
|
|
доходов |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
130 |
|
115 |
|
45 |
90 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
84 |
143 |
|
92 |
|
9 |
86 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
95 |
100 |
|
100 |
|
0 |
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
15 |
0 |
|
0 |
|
16 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
35 |
110 |
|
60 |
|
35 |
90 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
136 |
|
|
|
||
А теперь из каждого элемента строки вычитаем минимальный элемент этой строки:
|
Преобразованная матрица |
||||||
Города |
|
|
доходов |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
130 |
|
115 |
|
45 |
90 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
75 |
134 |
|
83 |
|
0 |
77 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
95 |
100 |
|
100 |
|
0 |
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
15 |
0 |
|
0 |
|
16 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
0 |
75 |
|
25 |
|
0 |
55 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Из каждого столбца вычитаем минимальный в этом столбце элемент, получим следующую матрицу. Проводим через все нули прямые:
137
|
Преобразованная матрица |
||||||
Города |
|
|
доходов |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
105 |
|
90 |
|
60 |
65 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
60 |
94 |
|
43 |
|
0 |
37 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
80 |
60 |
|
60 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
40 |
0 |
|
0 |
|
56 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
0 |
50 |
|
0 |
|
15 |
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Получаем оптимальную матрицу назначений:
1
1
1
1
1
В построенном в результате этой итерации решении 5 свободных нулей, а значит найденное решение оптимально, и алгоритм заканчивает работу.
138
8.7. Задачи для самостоятельного решения
1. Институт получил гранты по выполнению 4 проектов. Выходные данные для 1-го являются входными для 2-го и т.д. в качестве научного руководителя рассматриваются кандидатуры 4 ученых, которые обладают
различным |
опытом |
и способностями. Каждый ученый оценил время, |
|||||||
|
3 |
7 |
5 |
8 |
|
5 |
7 |
4 |
3 |
необходимое для выполнения каждой работы. |
5 |
6 |
|||||||
а) |
2 |
4 |
4 |
5 |
б) |
7 |
8 |
||
|
•4 |
7 |
2 |
8• |
|
•5 |
2 |
6 |
9• |
|
9 |
7 |
3 |
8 |
|
8 |
1 |
3 |
5 |
Суммарное время должно быть минимальным.
В задачах 2 – 14 требуется расставить ! рабочих по технологической цепочке так, чтобы время выполнения всего цикла операций было минимальным. Время, затрачиваемое каждым рабочим при выполнении любой операции, приведено в таблице.
2. |
|
2 |
5 |
8 |
6 |
2 |
3 |
|
3. |
|
9 |
8 |
7 |
3 |
9 |
|
|
|
|
|
|
8 |
5 |
4 3 |
2 |
7 |
|
|
|
2 |
7 |
6 |
8 |
9 |
|
|
|
||
|
|
•5 |
2 3 5 6 2• |
|
|
|
1 |
1 2 2 6 |
|
|
|
||||||||
|
|
•3 4 |
7 8 |
3 |
8• |
|
|
|
•7 |
|
6 |
4 4 10• |
|
|
|||||
|
|
3 |
6 |
6 |
2 |
5 |
4 |
|
|
|
2 |
|
6 |
5 |
5 |
10 |
|
|
|
|
|
6 |
8 |
4 |
5 |
7 |
3 |
|
|
17 |
18 |
16 |
18 |
18 |
18 |
18 |
|
||
4. |
|
3 |
8 |
|
6 |
8 |
9 |
|
5. |
|
|||||||||
|
|
8 |
7 |
|
4 |
4 |
10 |
|
|
18 |
39 |
18 |
47 |
45 |
48 |
55 |
|
||
|
|
2 |
2 |
|
2 |
2 |
6 |
|
|
•26 |
30 |
18 |
58 |
59 |
62 |
66• |
|||
|
|
•10 |
9 |
|
7 |
3 |
9 • |
|
|
25 |
29 |
18 |
50 |
51 |
54 |
61 |
|
||
|
|
3 |
7 |
|
5 |
5 |
10 |
|
|
30 |
37 |
18 |
33 |
57 |
60 |
64 |
• |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•30 |
34 |
18 |
33 |
34 |
60 |
64 |
|||
|
21 |
2 |
37 |
29 |
30 |
33 |
45 |
|
39 |
40 |
18 |
39 |
43 |
40 |
74 |
|
|||
6. |
7. |
20 |
19 |
19 |
16 |
19 |
19 |
19 |
|
||||||||||
|
16 |
16 |
48 |
43 |
38 |
44 |
56 |
|
19 |
39 |
49 |
19 |
49 |
51 |
53 |
|
|||
|
•19 |
16 42 46 44 50 |
59• |
|
•28 |
34 |
56 |
19 |
56 |
58 |
57• |
||||||||
|
25 |
16 |
29 |
50 |
48 |
54 |
66 |
|
25 |
31 |
26 |
19 |
47 |
49 |
48 |
|
|||
|
•24 |
16 |
34 |
29 |
42 |
48 |
57• |
|
•29 |
38 |
42 |
19 |
63 |
65 |
64• |
||||
|
16 |
15 |
16 |
16 |
16 |
15 |
16 |
|
34 |
37 |
38 |
19 |
38 |
69 |
68 |
|
|||
|
36 |
16 |
46 |
38 |
36 |
36 |
75 |
139 |
36 |
36 |
46 |
19 |
40 |
39 |
66 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
36 |
36 |
47 |
37 |
44 |
41 |
58 |
|
9. |
|
30 |
32 |
31 |
46 |
40 |
30 |
50 |
|
28 |
47 |
43 |
42 |
49 |
49 |
60 |
|
|
|
21 |
23 |
28 |
43 |
40 |
21 |
47 |
|
•23 23 36 35 |
39 |
42 56• |
|
|
|
•21 |
17 |
33 |
45 45 |
17 |
55• |
|||||
|
17 |
23 |
23 |
11 |
23 |
23 |
23 |
|
|
|
21 |
17 |
17 |
12 |
17 |
11 |
17 |
|
•23 |
35 |
34 |
27 48 48 |
62• |
|
|
|
•33 |
32 |
37 |
37 |
57 |
17 |
67• |
||
|
23 |
29 |
25 |
24 |
25 |
42 |
56 |
|
|
|
28 |
24 |
26 |
32 |
29 |
17 |
57 |
10. |
23 |
42 |
47 |
37 |
41 |
35 |
80 |
|
11. |
37 |
39 |
35 |
44 |
38 |
17 |
72 |
|
|
24 |
36 |
32 |
24 |
30 |
39 |
43 |
|
|
|
15 |
15 |
23 |
35 |
36 |
39 |
34 |
|
24 |
53 |
58 |
24 |
47 |
56 |
63 |
|
|
|
16 |
15 |
41 |
41 |
45 |
48 |
46 |
|
•24 33 42 24 40 46 56• |
|
|
|
•19 |
15 |
44 |
47 |
51 |
51 |
46• |
||||||
|
28 |
40 |
39 |
24 |
52 |
58 |
65 |
|
|
|
15 |
13 |
15 |
18 |
15 |
15 |
15 |
|
•25 34 33 24 |
39 |
45 52• |
|
|
|
•30 |
15 |
38 |
38 |
63 63 61• |
||||||
|
24 |
24 |
24 |
19 |
24 |
14 |
24 |
|
|
|
30 |
15 |
32 |
38 |
36 |
63 |
61 |
12. |
32 |
44 |
34 |
24 |
29 |
35 |
63 |
|
13. |
28 |
15 |
30 |
39 |
34 |
37 |
54 |
|
|
30 |
36 |
35 |
42 |
37 |
51 |
42 |
|
|
|
12 |
26 |
26 |
26 |
19 |
23 |
23 |
|
24 |
29 |
34 |
41 |
39 |
47 |
41 |
|
|
|
28 |
56 |
49 |
48 |
28 |
54 |
57 |
|
•13 23 20 23 23 23 23• |
|
|
|
•27 |
38 59 |
52 |
27 |
52 |
58• |
|||||||
|
24 |
30 |
32 |
44 |
42 |
53 |
47 |
|
|
|
26 |
31 |
30 |
44 |
26 |
50 |
56 |
|
•23 |
23 |
31 26 42 53 |
47• |
|
|
|
•26 34 36 26 26 43 |
49• |
||||||||
|
23 |
34 |
33 |
34 |
32 |
69 |
63 |
|
|
|
27 |
32 |
31 |
27 |
23 |
45 |
51 |
14. |
23 |
34 |
27 |
31 |
26 |
37 |
48 |
14 |
18 |
18 |
33 |
35 |
43 |
30 |
23 |
27 |
57 |
|
|
|
|
|
|
15 |
18 |
18 |
18 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
19 |
30 |
18 |
40 |
44 |
42 |
47 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•28 |
33 |
18 |
53 |
54 |
55 |
60• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
30 |
18 |
41 |
45 |
46 |
51 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•27 |
29 |
18 |
30 |
57 |
58 |
63• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28 |
30 |
18 |
28 |
32 |
54 |
59 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33 |
41 |
18 |
36 |
37 |
38 |
66 |
|
|
|
|
|
15.Институт получил гранты на выполнение пяти исследовательских проектов. В качестве научных руководителей проектов рассматриваются кандидатуры пяти ученых. Каждый ученый оценил время, необходимое ему для реализации проекта. Таблица времен приведена ниже. Требуется выбрать руководителя для выполнения каждого проекта так, чтобы суммарное время выполнения всех проектов было минимальным.
140