519_8_E92_2015_Efromeeva_E_V__Efromeev_N_M_Metody_issledovania_operatsiy_v_mashinostroenii_primery_zadachi_2-e_izdanie

2.Начальное заполнение таблицы находим методом северо-западного угла:

4.Для всех небазисных переменных находим значения потенциалов Δ=•• + •• − •••.

Используя U1=0, U2=3, U3=10, V1=5, V2=1, V3=-3 найдем значения потенциалов (или разность Δ):

В этой таблице получены положительные значения Δ, значит, это неоптимальное решение данной задачи, так как при оптимальном решении задач полученные значения должны быть меньше или равны нулю.

121

5.Теперь находим клетку с небазисной переменной, в которой разность – положительная и максимальная среди всех положительных, а затем строим цикл, начинающийся и заканчивающийся в выбранной клетке. Цикл состоит из горизонтальных и вертикальных переходов, в качестве вершин которых находят заполненные клетки. В свободной клетке, откуда начинается цикл, ставим знак «плюс», затем «минус», и так знаки чередуются до конца цикла. Затем среди всех «минусов» выбираем клетку, где находится меньшее значение. Где находится «плюс» – прибавляем это значение, а где «минус» – отнимаем. При этом общий баланс не меняется. Теперь свободную клетку заполняем наименьшей переменной, а клетка с «минусом» освобождается и ее не используют.

Повторяем все действия, т.е. возвращаемся к пункту 3:

Используя эти значения, находим значение потенциалов для небазисных переменных:

Есть положительное число: 6>0 , поэтому это неоптимальное решение, переходим к пункту 4:

Проверяем задачу на оптимальность, для этого возвращаемся к пункту 3:

Ответ: 38.

124

7.12. Задачи для самостоятельного решения

Составить математические модели транспортных задач:

21.Решить транспортную задачу при дополнительных условиях: объем перевозки груза от четвертого поставщика первому потребителю должен быть не более 20 единиц, а от третьего второму – не менее 30 единиц.

22.Решить транспортную задачу при дополнительных условиях: объем перевозки груза от второго поставщика четвертому потребителю должен быть не более 10 единиц, а от четвертого второму – не менее 10 единиц.

Решить транспортные задачи по критерию времени:

127

8.Задача о назначениях

8.1.Постановка и формализация

Еще одна специфическая задача линейного программирования, которая заслуживает изобретения особого метода решения, называется задачей о

оценивается числом !"# .

Задача состоит в том, чтобы назначить людей на должности так, чтобы суммарная польза была наибольшей (или, наоборот, вред наименьшим).

которой можно использовать как стандартный симплексный метод, так и более эффективный по трудоемкости метод потенциалов.

Однако существует еще более эффективный и очень изящный комбинаторный метод, опирающийся на теорию графов. Он получил название венгерского.

8.2. Постановка задач

Постановка задачи А. Пусть на предприятии имеется n типов универсального оборудования и требуется изготовить n видов изделий. Известно время изготовления каждого изделия на всех видах оборудования. Требуется определить: какое изделие и на каком оборудовании необходимо изготавливать, чтобы суммарное время изготовления всех изделий было минимальным.

Постановка задачи В. Для реализации производственного процесса необходимо выполнить n операций. Имеется n рабочих, которые способны осуществить их, и время выполнения каждым рабочим любой из n операций. Требуется определить: кто и какую операцию должен выполнять, чтобы суммарное время выполнения всего производственного процесса было минимальным.

Постановка задачи С. В конструкторском бюро требуется разработать проект машины, состоящей из n узлов. К их разработке можно привлечь n конструкторов. Известно время, затрачиваемое каждым конструктором на разработку отдельного узла. Требуется определить: какие конструкторы должны разрабатывать тот или иной узел, чтобы суммарное время проектирования машины было минимальным.

Постановка задачи D. Пусть управление механизации имеет 5 кранов и требуется возвести 5 объектов. Известна себестоимость строительства каждым краном отдельного объекта. Требуется так распределить машины по объектам, чтобы обеспечить возведение всех объектов с минимальными суммарными затратами.

8.3. Алгоритм решения задачи о назначениях

1 этап:

1.Формализация проблемы в виде транспортной таблицы

2.В каждой строке таблицы найти наименьший элемент и вычесть его из всех элементов данной строки

3.Повторить ту же процедуру для столбцов

Задачей является распределение всех подлежащих назначению единиц в клетки с нулевой стоимостью. Оптимальное значение целевой функции в этом случае равно нулю.

129

2 этап:

1.Найти строку, содержащую только одно нулевое значение, в его клетку помещается один элемент (0 обводят квадратиком или помечают точкой). Если такие строки отсутствуют, допустимо начать с любой строки.

2.Зачеркнуть оставшиеся нулевые значения данного столбца.

3.Повторять пп.1-2, пока продолжение указанной процедуры окажется невозможным.

Если окажется, что имеется несколько нулей, которым не соответствуют назначения, и которые остались незачеркнутыми, необходимо:

4.Найти столбец, содержащий только одно нулевое значение, в его клетку помещается один элемент.

5.Зачеркнуть оставшиеся нули в данной строке.

6.Повторять пп.4-5, пока продолжение указанной процедуры окажется

невозможным. Если выяснится, что таблица содержит неучтенные нули - повторить пп. 1-6.

Если решение является допустимым, оно оптимально. Если нет - перейти к

этапу 3.

3 этап: (Если решение является недопустимым)

1. Провести минимальное количество прямых через столбцы и строки матрицы таким•образом,− 1 чтобы они проходили через все нули, содержащиеся в таблице. (••• прямых).

2.Найти наименьший из элементов, через которые не проходит ни одна прямая.

3.Вычесть его из всех элементов, через которые не проходят прямые.

4.Прибавить его ко всем элементам, лежащим на пересечении прямых.

5.Элементы, через которые проходит только одна прямая, оставить неизменными.

В результате в таблице появится, как минимум, одно новое нулевое значение. Вернуться к этапу 2 и повторить решение заново.

Модель назначений часто встречается в разнообразных управленческих ситуациях. В моделях этого типа решается задача нахождения оптимального распределения п неделимых агентов или объектов по п заданиям. Это может быть распределение специалистов по участкам, мастеров по вызовам, компьютеров по сетям, назначение консультантов для клиентов. Распределяемые агенты или объекты являются неделимыми, т.е. один агент не может заниматься несколькими задачами. Важное ограничение для агента заключается в том, что он (она или оно) может быть назначен одной и только одной задаче.

130