БИЛЕТЫ ГОСЫ 2012. 2 ВАРИАНТ

Московский государственный институт электроники и математики (технический университет)

Кафедра прикладной математики

Госэкзамен по специальности

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 1

Задача 1.

С помощью ¾Математики¿ найти численное значение наибольшего корня уравнения 0:1 x = sin x с четырьмя верными знаками

после запятой.

Задача 2.

Найти температуру в центре шара радиуса 1, если на его поверхности температура равна нулю. В момент времени t = 0 темпера-

тура спадает к границе шара от значения u0 к нулю по линейному закону.

Московский государственный институт электроники и математики (технический университет)

Кафедра прикладной математики

Госэкзамен по специальности

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 2

Задача 1.

Пусть A = diag( 1; : : : ; n) диагональная n n матрица, у которой 1; : : : ; n 2 R, è 1 6= j, j > 1. Пусть B некоторая другая эрмитова матрица n n. Требуется вычислить первые

три члена разложения по степеням " того собственного значения матрицы A + "B, которое при " ! 0 сходится к 1.

Задача 2.

Найти два члена ВКБ-асимптотики для решений уравнения

x2U00 + xU0 + ( 2x2 1)U = 0; 0 < < x 6 1; ! 1:

Московский государственный институт электроники и математики (технический университет)

Кафедра прикладной математики

Госэкзамен по специальности

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 3

Задача 1.

Начальная температура шара радиуса 1 равна u0 = Const, à

внутрь шара через его поверхность подается постоянный тепловой поток: @n@u = q. Найти температуру шара в центре при t > 0.

Задача 2.

Найти главный член асимптотического разложения интеграла

Московский государственный институт электроники и математики (технический университет)

Кафедра прикладной математики

Госэкзамен по специальности

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 4

Задача 1.

Найти решение задачи:

8

>ut = uxx; t > 0; 0 < x < l;

>

>

<ujt=0 = u0 = Const

>>uxjx=0 = u1 = Const

>

:ujx=l = 0

Задача 2.

Доказать, что в R3 любая !2 может быть представлена в виде

!2 = P x2 ^ x3 + Q x3 ^ x1 + R x1 ^ x2:

Московский государственный институт электроники и математики (технический университет)

Кафедра прикладной математики

Госэкзамен по специальности

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 5

Задача 1.

Найти асимптотику по малому параметру ~ ! 0 решения уравнения

~2 00 + x = 0 2

в областях

1) x > 0; 2) x < 0; 3) x = 0:

Задача 2.

Московский государственный институт электроники и математики (технический университет)

Кафедра прикладной математики

Госэкзамен по специальности

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 6

Задача 1.

коммутаторы

с точностью до O(" ).

Задача 2.

Найти решение задачи Коши:

(

ut + 12 u2x + u ux = 0 ujt=0 = x:

Московский государственный институт электроники и математики (технический университет)

Кафедра прикладной математики

Госэкзамен по специальности

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 7

Задача 1.

Найти два члена асимптотического разложения решения краевой задачи:

"d2U + (1 + x)dU U = 0; 0 6 x 6 1; U(0) = 0; U(1) = 1; " ! 0: dx2 dx

Задача 2.

Известно, что гамильтонова система

(

p0 = Hx; p; x 2 R3;

x0 = Hp; H(x; p) 2 C1(R6);

имеет два первых интеграла: f1 = p3x2, f2 = p22 + x3. Следует ли отсюда, что функция f3 = 2p2p3 + x2 также является первым интегралом для этой системы?

Московский государственный институт электроники и математики (технический университет)

Кафедра прикладной математики

Госэкзамен по специальности

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 8

Задача 1.

Решить начально-краевую задачу

:

Задача 2.

Закодировать следующую последовательность сообщений алгоритмом кодирования Шеннона-Фено

Московский государственный институт электроники и математики (технический университет)

Кафедра прикладной математики

Госэкзамен по специальности

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 9

Задача 1.

Пусть A и B эрмитовы n n матрицы. Для A известны ее

собственные значения 1; : : : ; n и собственные векторы Y1; : : : ; Yn. Вычислить главный член асимптотики при " ! 0 величины

(et(A+"B)Yj; Yk)

при условии, что j 6= k.

Задача 2.

С помощью ¾Математики¿ найти численно длину отрезка кривой 4y2 = (x 1)5, заключенного внутри параболы y2 = x.

Использовать функцию ImplicitPlot директории Graphics и встроенную функцию NIntegrate.

Московский государственный институт электроники и математики (технический университет)

Кафедра прикладной математики

Госэкзамен по специальности

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 10

Задача 1.

Две матрицы A и B удовлетворяют соотношению AB + BA = 2 B. Матрица A эрмитова. Доказать, что (cos A)B = B(sin A).

Задача 2.

Написать функцию chords func; fx; a; bg; " , которая реализует метод хорд вычисления корней уравнения. Ее аргументы:

func исследуемая функция,

fx; a; bg имя аргумента функции и интервал, на котором

находится корень уравнения," точность вычисления корня.