361

2

ББК 2

А-46

Александров, Ю. Н.

Сборник задач по дифференциальным уравнениям : учебное пособие / Ю. Н. Александров ; В. М. Смирнов. – М. : Московский университет МВД России, 2013. – 67 с.

В пособии представлены задания по обыкновенным дифференциальным уравнениям, а также краткие теоретические сведения и примеры решения типовых задач. В сборник включены задания по следующим типам дифференциальных уравнений: дифференциальные уравнения 1-го порядка (с разделяющимися переменными, однородные, линейные, Бернулли, в полных дифференциалах), дифференциальные уравнения высших порядков, а также линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Предназначено для обучающихся по специальностям «Экономическая безопасность» и «Безопасность информационных технологий в правоохранительной сфере», а также может быть полезно студентам, курсантам и слушателям, изучающим обыкновенные дифференциальные уравнения по другим специальностям.

ББК 2

Рецензенты: начальник кафедры информационной безопасности Московского университета МВД России, кандидат технических наук К. К. Борзунов; старший преподаватель кафедры информационных технологий управления органами внутренних дел Академии управления МВД России, кандидат технических наук В. И. Кононенко.

©Московский университет МВД России, 2013

©Александров Ю. Н., 2013

©Смирнов В. М., 2013

3

4

ВВЕДЕНИЕ

Дифференциальные уравнения – раздел математики, неизменно присутствующий в программе подготовки как будущих инженеров, так и будущих экономистов. Этот раздел обычно изучается в конце курса математики, поскольку и понятие дифференциального уравнения, и методы их решения основываются на знаниях других разделов математики, таких, как дифференциальное и интегральное исчисления, алгебра, аналитическая геометрия и др. Это вызывает определенные трудности, поскольку при решении дифференциального уравнения может потребоваться найти несколько интегралов, решить систему линейных уравнений, вычислить определитель и т.п.

Зачем изучать столь сложный раздел математики? Зачем нужны дифференциальные уравнения?

Практически в любой предметной области, будь то техника, экономика или психология, объектом изучения становятся некоторые числовые величины, например, положение объекта (его координаты), сила тока, прибыль, объем производства, наблюдаемые в течение времени, а также скорости их изменения. В каждой предметной области выводятся свои законы, связывающие эти величины, их скорости изменения, а иногда и ускорения. Вспомнив, что скорость изменения величины – фактически первая производная этой величины по времени, а ускорение – вторая, получаем, что практически любой закон – некоторое дифференциальное уравнение, а решение данного дифференциального уравнения – зависимость этой изучаемой величины от времени.

Существует множество типов дифференциальных уравнений, а также методов их решения. Большинство из них по силам только ма- тематикам-профессионалам. Доказано, что часть дифференциальных уравнений невозможно решить аналитически.

Данное учебное пособие предназначено не для математиковпрофессионалов, поэтому здесь представлены краткие необходимые теоретические основы дифференциальных уравнений, а также методы решения простейших дифференциальных уравнений. При необходимости изучения дифференциальных уравнений в более полном объеме рекомендуется изучить учебники и учебные пособия, приведенные в списке литературы.

5

Цель данного пособия – дать представление о дифференциальных уравнениях и отработать навыки решения типовых наиболее часто встречающихся дифференциальных уравнений.

Учебное пособие разбито на три главы: «Дифференциальные уравнения первого порядка», «Дифференциальные уравнения высших порядков», «Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами». Каждая глава, в свою очередь, разбита на параграфы.

Каждый параграф начинается с краткого изложения теории, основных формул и с образцов решения типовых задач. Далее в каждом параграфе представлены задания для самостоятельного решения обучаемыми (ответы и указания к этим задачам расположены в конце учебного пособия). Завершается параграф заданиями для контроля знаний (по 20 заданий каждого типа) для выдачи индивидуального домашнего задания и/или проведения самостоятельных и контрольных работ.

6

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

§ 1. Основные понятия и определения

Обыкновенным дифференциальным уравнением1 называется

уравнение, связывающее независимую переменную , искомую функцию и ее производные ′, ′′, … , , т.е. уравнение вида:

, , , , … , 0.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

′′ ′ sin 2 – дифференциальное уравнение 2-го порядка.

2 – дифференциальное уравнение 1-го порядка, так

как ′ . 2 0 – дифференциальное уравнение 1-го

порядка. Для приведения данного уравнения к виду, указанному в определении, достаточно разделить обе части уравнения на и за-

менить на ′.

′′′ – дифференциальное уравнение 9-го порядка.

ференциальное уравнение превращает последнее в тождество по

на !, ".

1 В математике также рассматриваются дифференциальные уравнения, где искомая неизвестная функция зависит от двух или более независимых переменных. Такие дифференциальные уравнения называются дифференциальными уравнениями в частных производных. В данном пособии рассматриваются только обыкновенные дифференциальные уравнения, поэтому далее везде под дифференциальными уравнениями будут подразумеваться обыкновенные дифференциальные уравнения.

Подставляя выражения ′ и ′′ в данное дифференциальное урав-

нение ′′ 0, получим тождество:

sin cos sin cos & 0 .

График решения дифференциального уравнения называется ин-

тегральной кривой.

Общий вид дифференциального уравнения первого порядка:

, , ′ 0.

Если из этого уравнения удается выразить ′:

′ , ,

то получится уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной.

Геометрически это означает, что ищется интегральная кривая, которая проходит через указанную точку - (, ( .

y

- (, (

(

x

Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Пусть дано дифференциальное уравнение ′ , , где функция , определена в некоторой области . плоскости /, содержащей точку (, ( . Если функция , удовлетворяет условиям:

8

а) , есть непрерывная функция двух переменных x и y в области .;

б) , имеет частную производную 001 , ограниченную в об-

ласти ., то найдется интервал ( 2, ( 2 , на котором существует

единственное решение данного уравнения, удовлетворяющее условию ( (.

Решение. Проверим условия а) и б) из определения общего реше-

чальным условиям ( (. Действительно, при ( получаем

2( ( 2( (.

10

ренциального уравнения. Поэтому в задачах на нахождение общего решения дифференциального уравнения в качестве ответа часто подразумевают возможность указания общего интеграла дифференциального уравнения, т.е. общее решение дифференциального уравнения находится в явном или в неявном виде.

Задания для самостоятельного решения

№1. Проверить, что заданная функция 3 6 является общим решением дифференциального уравнения ′ 3, и найти частное решение этого уравнения, удовлетворяющее условию 1 5.

№2. Проверить, что заданная функция 6 является

′ 2 1, и найти

Определить порядок данного дифференциального уравнения и проверить, что функция 6 6 6 является общим решением этого дифференциального уравнения.

№ 5. Дано дифференциальное уравнение: ′′′ 3 ′′. Опреде-

лить порядок данного дифференциального уравнения и проверить, что функция 6= >? 6 является общим решением этого дифференциального уравнения.

№ 6. Проверить, что семейство гипербол >?? 1 является общим интегралом дифференциального уравнения ′ 1, и