361
.pdf
31
2 6. Ответ: ? 6.
2. Будем искать функцию , как интеграл по переменной от функции b , 1 ( – константа).
, M b , M 1 1 M
1 · 6
{ , 6x {
6 a , 6
6 M 2 6
, 1 · 2 2 Ответ: ? 6.2 6
Задания для самостоятельного решения
Найти общий интеграл дифференциального уравнения:
№ 146. 1 2 1 0;
№ 147. 2 cos 2 2 cos 5 0;
№ 148. 2 C C 0;
№ 149. 3 3 2 6 5 0;
№ 150. 3 2 1 4 0;
№ 151. •BT= 2€ •BT= 1€ 0; № 152. 4 3 1 2@ 3 0; № 153. 8 3 4 9 0;
№ 154. V3B Z 2W 5B 1 0;
№ 155. 4 JB X 4 7 JB @ @ 0.
32
Задания для контроля знаний
Найти общий интеграл дифференциального уравнения: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
№ 156. |
6 3 3 0; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
№ 157. V2C |
? |
W VC |
UJ |
W 0; |
||||||||||||||||||||||||||||||
? |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
№ 158. • |
|
|
|
|
|
1€ • |
|
|
|
|
|
|
2€ 0; |
|||||||||||||||||||||
BT= |
BT= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
№ 159. 4 J 15 3√ @ 10 0; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 0; |
||||||||||||||||
№ 160. |
2 1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
? |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
№ 161. V J |
JW V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W 0; |
|||||||||||||||||||||||
|
N |
? |
||||||||||||||||||||||||||||||||
№ 162. |
3 2 |
6 1 0; |
||||||||||||||||||||||||||||||||
№ 163. |
2 cos 2 |
sin 2 3 0; |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
?T= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
№ 164. VC= |
1W |
|
|
|
|
|
|
0; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
C=? |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
№ 165. V3 TUT |
|
|
|
?TU |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
№ 166. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
№ 167. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
№ 168. V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
№ 169. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0; |
|||||||
№ 170. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
№ 171. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||
№ 172. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0; |
|||||||
№ 173. V3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0; |
|||||||||||||||
T= ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
№ 174. |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
0; |
|||||||||
№ 175. V |
|
|
W • |
|
|
|
|
€ 0. |
||||||||||||||||||||||||||
√T= |
BC= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
33
Глава 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
§ 1. Основные понятия и определения
Дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид:
, , , , … , 0
или, если оно разрешено относительно :
, , , … , C= .
Задача нахождения решения дифференциального уравнения n-го
порядка, удовлетворяющего начальным условиям:
( (, ( (, … , C= ( (C=,
называется задачей Коши. |
|
|
|
|
|
|
|
Другая возможная запись начальных условий: |
|
|
|||||
) |
) |
|
|
) |
C= |
C= |
|
|+, (, |
|
… , |
|
. |
|||
x|+, (, |
|
•+, ( |
|||||
Теорема существования и единственности решения задачи
Коши. Пусть дано дифференциальное уравнение: |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
, |
, , … , C=, |
|
|
|
|
|||||||||
где функция , , , … , C=: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
а) непрерывна по всем своим аргументам , , , … , C= в |
||||||||||||||||||
некоторой области |
. их изменения; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
б) имеет ограниченные в области . частные производные: |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
{ { |
|
{ |
|
|
|
{ |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
{ , { x , |
{ xx , …, |
{C= |
|
|
|
|
||||||||
по аргументам , x, xx, …, |
C=, то найдется такой интервал |
|||||||||||||||||
( |
2, ( 2 , |
на |
котором |
существует |
единственное |
решение |
||||||||||||
|
данного уравнения, удовлетворяющее условиям: |
|
|
|||||||||||||||
) |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
C= |
|
C= |
|
||||
|+, (, |
|
|
|
|
|
… |
|
, |
|
|
|
, |
||||||
x|+, (, |
|
|
|
|
•+, ( |
|||||||||||||
в области .. ( |
, |
( |
, |
x ( |
|
|
|
C= |
( |
|
|
|||||||
где значения |
|
|
|
|
, …, |
|
|
C= содержатся |
||||||||||
Для уравнений второго порядка |
, , начальные усло- |
|||||||||||||||||
вия имеют вид: |
|
) |
|
|
|
) |
|
|+, |
(, |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|+, (, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где (, (, ( – данные числа. В этом случае теорема существования и единственности геометрически означает, что через данную точку
34
-( (, ( координатной плоскости с заданным тангенсом угла наклона касательной (tg ƒ () проходит единственная интегральная кривая.
Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка:
, , , … , C=
называется множество всех его решений, определяемое формулой |
||||||||||||
|
, 6=, 6 , … , 6 , содержащей |
y |
произвольных |
постоянных |
||||||||
6=, 6 , … , 6 , таких, что если заданы начальные условия: |
|
|
|
|||||||||
) |
|
) |
|
|
|
) |
C= |
|
|
C= |
|
|
|+, (, |
|
… |
, |
|
• |
|
, |
|||||
x|+, (, |
|
|
( |
|
||||||||
|
|
|
6= |
, 6 , … , 6 |
|
, 6 |
=, 6 |
, … , 6 |
||||
то найдутся такие значения „ „ |
„, что |
|
|
+,„ „ |
|
„ |
||||||
будет являться решением рассматриваемого дифференциального уравнения, удовлетворяющим этим начальным условиям.
Частным решением дифференциального уравнения n-го поряд-
ка: , , , … , C= называется решение, получаемое из общего решения , 6=, 6 , … , 6 , при каких-либо определенных значениях набора произвольных постоянных 6=, 6 , … , 6 .
§ 2. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка
Уравнения вида 3… 4 5
Дифференциальные уравнения вида решаются последовательным n-кратным интегрированием правой части. При каждом таком интегрировании получается одна произвольная постоянная, а в результате – n произвольных постоянных 6=, 6 , … , 6 .
Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения:
sin .
Решение. Последовательно интегрируем три раза.
M sin M cos 6=
M cos M 6= M sin 6= 6
M sin M M 6= 6cos 6= · 2 6 6
Ответ: cos 6= · ? 6 6 .
|
|
|
|
|
|
35 |
Пример 2. Решить задачу Коши: |
|
|
|
|||
† † |
1 |
|
1 cos 2 , |
† † |
1 |
|
, |
† † |
1, |
||||
V4W 4 |
8 |
V4W 32 |
V4W 4 |
2 . |
||
Решение. Последовательно интегрируем и подставляем началь-
ные условия три раза.
M 1 cos 2 12 sin 2 6=V†4W †4 12 sin †2 6= †41 12 6= †4 12 6= 0, 2 sin 2
M • 12 sin 2 € 2 14 cos 2 6V†4W †32 14 cos †2 6 †32 1 6 †32 16 1, 2 1 4 cos 2
M ‡ 6
V†4W 6 · 64 †4 182 1 14 cos 2 ˆ 6 18 sin 2† †4 18 sin †2 6 384† †4 18 6
6 † , 1 sin 2 †J384 = 6 _J 8 384
Ответ: U q sin 2 q@.
Уравнения, не содержащие искомой функции 3 в явной форме |
|
Дифференциальные уравнения второго порядка вида |
, , 0, |
не содержащие искомой функции в записи дифференциального |
|
уравнения в явном виде, сводятся к дифференциальному уравнению первого порядка подстановкой10:
‰ , |
‰. |
|
|
10 Данная подстановка позволяет понизить порядок любого дифференциаль-
ного уравнения n-го порядка на 1, в записи которого отсутствует , при этом:
‰ , ‰ , … , u ‰uC=, … , ‰C=.
36
Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравнения:
2 1 1.
Решение. В записи данного дифференциального уравнения нет ,
поэтому производим рекомендуемую замену:
‰ , ‰ ‰x .
Получили дифференциальное уравнение с разделяющимися пере-
менными. |
2 1 ‰x ‰ 1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
2 1 |
‰ |
|
|
|
‰ 1 |
|
|
|
|
‰ |
|
|
|
|
M ‰ 1 M 2 1 |
|
|
|
|
1 |
· ln|2 1| 6 |
|
|
|
ln|‰ 1| 2 |
|
||
Потенцируем получившееся уравнение: |
|
|
||
|
‰ 1 6=B2 1, |
|
|
|
и делаем обратную замену ‰ : |
|
|
||
|
6=√2 1 1 |
2 1 |
6 |
|
M6 =√2 1 1 6= · M √2 1 |
||||
|
|
|
2 |
|
62= · 32 ·>BŠ 2 1 6 63= · B 2 1 6 |
||||
Учитывая, что |
тоже является произвольной постоянной, в отве- |
|||
те можем заменить |
>Š на 6=. |
|
|
|
Ответ: 6= · B 2 1 6 .
Пример 4. Решить задачу Коши:
, 1 3, 1 2.
Решение. В записи данного уравнения нет , поэтому делаем за-
мену:
‰ , ‰ ‰x .
Получаем уравнение: ‰ ‰.
Заменяем ‰x отношением дифференциалов, разделяем переменные и интегрируем.
|
|
|
|
37 |
|
‰ |
‰ |
||
|
· |
|||
|
‰ |
|
|
|
|
M M |
|
|
|
|
ln|‰| ln| | |
6 |
||
|
‰ 6= |
|
||
Делаем обратную замену: ‰ . |
||||
Получаем: |
6= , |
|
|
|
и, учитывая начальное условие 1 2, приходим к уравнению: |
||||
|
x 2. |
|||
Еще раз интегрируем: L 2 6 . |
||||
Подставляя начальное условие 1 |
3, находим, что 6 2. |
|||
Ответ: 2. |
|
|
|
|
Замечание. В данном примере мы не находили общее решение указанного дифференциального уравнения, а по мере появления произвольных постоянных находили их значения, исходя из начальных условий, что позволило нам избежать интегрирования функций, содержащих неопределенные постоянные.
Уравнения, не содержащие переменной 5 в явной форме
Дифференциальные уравнения второго порядка вида , , 0, не содержащие переменной в записи дифференциального уравнения, в явном виде сводятся к дифференциальному уравнению первого
порядка подстановкой11:
‰ , ‰ ‰ · ‰ · ‰ ‰ · ‰x .
Причем, в получившемся дифференциальном уравнении роль независимой переменной играет , а роль искомой функции ‰.
11 Данная подстановка также позволяет понизить порядок любого дифференциального уравнения n-го порядка на 1, в записи которого отсутствует , однако надо помнить, что в записи исходного дифференциального уравнения диф-
ференцирование производится по переменной (т.е. ), а в получаемом
после подстановки новом дифференциальном уравнении роль переменной иг-
‰ ‹ ‰ · ‰ , ‰ · ‰ ‰ · ‰ · ‰ ‰ ·
рает (т.е. ). Поэтому:
· ‰ ‰ · ‰ и т.д.
38
Пример 5. Найти общее решение дифференциального уравнения:
0.
Решение. В записи данного дифференциального уравнения отсут- |
||||||||||||
ствует переменная , поэтому производим замену: |
||||||||||||
|
12 |
|
‰ , |
|
‰ · ‰x . |
|||||||
|
|
|
· ‰ · ‰ |
|
‰ |
. |
|
|||||
Получаем уравнение: |
|
|
|
|
|
|
||||||
Разделяем |
|
|
переменные и интегрируем: |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
‰ |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
M |
|
M |
, |
|
|||
|
|
|
|
|
‰ |
|
||||||
Потенцируем: |
|
ln|‰| ln| | |
6. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
6= |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
‰ |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||
Производим обратную замену: |
|
6= |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||
Разделяем переменные, учитывая, что ‰ ‹, и интегрируем: |
||||||||||||
|
|
6= |
| M 6= M | |
|
||||||||
|
|
|
2 6= 6 |
|||||||||
|
|
|
|
|
26= 26. |
|
||||||
Получили общий интеграл исходного дифференциального уравнения. Для записи ответа можно заменить 26= на другую произволь-
ную постоянную 6h=, а 26 – на 6h .
Ответ: 6h= 6h .
Пример 6. Решить задачу Коши:
3 x 2 , 1 8, 1 4.
Решение. В записи данного дифференциального уравнения отсут-
ствует переменная , поэтому производим замену:
‰ , ‰ · ‰x .
Получаем уравнение: 3‰ · ‰ · ‰ 2 .
Разделяем переменные, учитывая, что ‰ ‹, и интегрируем.
12 В связи с тем, что функция ‰ рассматривается нами как функция от переменной , то при замене ‰x на отношение дифференциалов получаем ‹, а не
‹, как в предыдущем примере.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
39 |
|
|
|
|
3‰ · |
‰ |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||
|
|
M 3‰ ‰ M 2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
‰ 6= |
|
|||||||||||
Производим обратную замену: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
6=. |
1 4 в получив- |
|||||||||||
Подставляя начальные условия |
1 8, |
|||||||||||||||
шееся уравнение, находим константу |
6=: |
|
| 6= 0. |
|||||||||||||
4 8 6= |
| |
64 64 6= |
||||||||||||||
В получившемся уравнении выражаем x, разделяем переменные |
||||||||||||||||
(так как рассматривается в данный момент как функция от пере- |
||||||||||||||||
менной , то ) и интегрируем. |
|
|
|
|
|
Š |
||||||||||
? |
|
|
|
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
| M CJ M | 3J 6 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
• |
6 |
€ |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||
Подставляя начальное условие 1 8, находим константу 6 . |
||||||||||||||||
|
8 • |
1 6 |
€ |
|
|
| |
|
6 5 |
||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
• |
5 |
€ |
|
|
||||||||
|
TZ |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||
Ответ: V |
W . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задания для самостоятельного решения
Найти общее решение дифференциального уравнения:
JC?T=
?
№177. cos 2 1 ;
№178. 3 1 ;
№179. •Ž cos 1 ;
№180. · 3 2 ;
№181. 2 · 2 .№ 176. ;
40
№ 182. |
|
|
|
Решить задачу Коши: |
|
||||||||
2 0, 0 0, x 0 2; |
|
||||||||||||
№ 183. |
|
|
ln x, 0 |
0, x 0 1; |
|
||||||||
№ 184. |
|
2 x, 0 0, x 0 0; |
|
||||||||||
№ 185. |
3 xx 2, 0 |
1, x 0 1. |
|
||||||||||
|
|
|
|
Задания для контроля знаний |
|
||||||||
Найти общее решение дифференциального уравнения: |
|||||||||||||
№ 186. |
1 |
|
· |
|
2; |
|
|
|
|||||
№ 187. |
3 |
|
· |
2 |
1; |
|
|
|
|||||
№ 188. |
2 |
|
· |
5 3 ; |
|
|
|
||||||
№ 189. |
2 · |
3 6 ; |
|
|
|
|
|
||||||
№ 190. |
· 2 |
; |
|
|
|
|
|
||||||
№ 191. |
· 2 |
; |
|
|
|
|
|
||||||
№ 192. |
· 3 |
; |
3; |
|
|
|
|||||||
№ 193. |
3 |
|
· |
2 |
|
|
|
||||||
№ 194. |
3 2 |
· 4 1; |
|
|
|
||||||||
№ 195. |
2 C. |
|
|
|
|
|
|
||||||
№ 196. |
|
|
|
|
Решить задачу Коши: |
|
|||||||
sin 0, |
0 0, x 0 1; |
|
|||||||||||
№ 197. |
|
|
J |
3, 0 0, x 0 2; |
|
||||||||
№ 198. |
|
√ , |
0 |
0, x 0 0; |
|
||||||||
№ 199. |
0, 0 0, x 0 0; |
|
|||||||||||
№ 200. |
6 1, 0 0, x 0 |
1, 0 1; |
|||||||||||
№ 201. |
|
|
0, 0 |
1, x 0 |
0, 0 1; |
||||||||
№ 202. |
|
|
2, 0 |
0, x 0 |
1, 0 |
1; |
|||||||
№ 203. |
2 |
1, |
0 |
2, x 0 |
0, 0 |
1; |
|||||||
№ 204. |
2 |
|
|
0, |
0 |
0, x 0 |
0, 0 1; |
||||||
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
№ 205. sin 2 0, † 0, x † 1. |
|
||||||||||||