361

21

P · P 2 2 · P .

Получилось дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, решив которое, получим общее решение исходного

Получаем:

14 ln|2 2P | ln| | 6, ln|2 2P | 4 · ln| | 6, 2 2P 6@.

22

Задания для контроля знаний

§ 5. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка на-

зывается дифференциальное уравнение вида:

a · b,

где a, b – некоторые заданные функции переменной .

Для решения линейных дифференциальных уравнений существуют два метода решения: метод Бернулли и метод вариации постоянного.

Метод Бернулли

Решение линейного дифференциального уравнения необходимо искать в виде P · Q.

Разберем этот метод на примере.

23

Пример 9. Найти общее решение линейного дифференциального

QQ 2 ·

M QQ M 2 · ln|Q| 6

Берем 6 0, так как нам нужно не общее решение дифференци-

ального уравнения (6), а только одно ненулевое решение: ln|Q| .

Затем потенцируем обе части (применяем к обеим частям уравнения функцию ) и получаем:Q ?.

Подставляем полученную Q ? в равенство (5).

P · ? P · 0 ?

P · ? ?

P 1

5 В силу произвольности выбора функции Q можем выбрать функцию Q w 0 так, чтобы выражение, стоящее в скобках, равнялось нулю: (Q 2 · Q 0). При этом требуется не общее решение этого дифференциального уравнения, а только одно ненулевое частное решение.

24

P M 1 · 6 6

Вспоминаем, что P · Q , и тогда:

6 · ?. Ответ: 6 · ?.

Метод вариации произвольного постоянного

Дифференциальное уравнение:

a · 0,

называется однородным линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Соответственно, дифференциальное уравнение:

a · b,

при b w 0, называется неоднородным линейным дифференциаль-

ным уравнением первого порядка.

Метод вариации произвольного постоянного состоит в том, что: 1. Составляется однородное линейное дифференциальное уравне-

ние заменой правой части на ноль.

2. Решается это однородное линейное дифференциальное уравнение (полученное дифференциальное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными).

зультате получается дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными с неизвестной функцией 6h .

5. Решается это уравнение, затем подставляется в выражение, 6h , и тем самым получается общее решение исходного дифференциального уравнения.

Разберем этот метод на том же примере, что был разобран с помощью метода Бернулли7.

6В отличие от функции Q, здесь мы уже берем всевозможные решения уравнения P 1.

7Оба метода приводят к одинаковым интегралам и имеют примерно одинаковую трудоемкость.

26

§ 6. Уравнение Бернулли

Уравнением Бернулли называется дифференциальное уравнение

первого порядка следующего вида:

a · b · ,

где a, b – некоторые заданные функции переменной , а

y w 0 – некоторое число (константа).

Для решения уравнения Бернулли можно применять те же два метода решения (метод Бернулли и метод вариации произвольного постоянного), что и для линейных дифференциальных уравнений пер-

27

Подставляем Q в уравнение (10).

P · P · 0 3 · P ·

P 3P · P 3P ·PP 3

Интегрируем полученное уравнение.

M PP M 3

P1 16

P 6

Осталось подставить P J=T> и Q в (9) и получить

общее решение исходного дифференциального уравнения:

6 .

Метод вариации постоянного

Сначала решаем соответствующее однородное дифференциальное

Потенцируем и получаем общее решение однородного дифферен-

циального уравнения (11):

6.

Заменяем постоянную 6 на функцию 6h и ищем решение исход-

ного уравнения Бернулли в виде 6h · .

6h · 6h · 3 6h 6h · 6h 6h 3 6h

28

Задания для самостоятельного решения

Определить тип уравнения и найти общее решение дифференци-

30

Решение. Сначала проверим, что данное дифференциальное уравнение является дифференциальным уравнением в полных дифферен-

Равенство выполнено, поэтому данное дифференциальное уравнение является дифференциальным уравнением в полных дифферен-