361

42

ось абсцисс в этом случае называется действительной осью, а ось ординат – мнимой. Каждому комплексному числу • ! " • ставится в соответствие точка - !, " или радиус-вектор этой точки.

Число •” ! " называется• сопряженным к числу • ! " •.

Сопряженные числа симметричны относительно действительной оси.

Im

Можно показать, что произведение любого комплексного числа

• ! " • на сопряженное к нему •” ! " •является всегда дейст-

Для вычисления частного умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю (воспользуемся свойством взаимно сопряженных комплексных чисел).

Из школьного курса математики известно, что квадратное уравнение может иметь или два корня (дискриминант больше нуля), или один корень (дискриминант равен нулю, в дальнейшем мы будем говорить, что уравнение имеет два одинаковых (кратных) корня), или не иметь решений (дискриминант меньше нуля).

Если в качестве возможных решений квадратного уравнения рассматривать вместо множества действительных чисел множество комплексных чисел, то окажется, что любое квадратное уравнение имеет равно два корня (возможно, совпадающие).

Пример 2. Решить квадратное уравнение:

• 2• 5 0.

Решение. Используя стандартные формулы решения квадратного уравнения, получаем: . " 4!— 2 4 · 1 · 5 16.

Используя, что • 1, а также определение квадратного корня

как функцию обратную к квадрату, получаем, что √ 1 •. Поэтому:

√. √ 16 B16 · 1 √16 · √ 1 4•

•=, " g √. 2 g 4• 1 g 2•. 2! 2

Ответ: •= 1 2•, • 1 2•.

Теорема. Пусть дано уравнение:

! • !C=•C= ˜ ! • != • !( 0,

где ! , !C=, … , ! , !=, !( – вещественные числа, а • – комплексная переменная. Тогда это уравнение имеет ровно y комплексных и вещественных корней (с учетом их кратности), причем если это уравнение имеет комплексный корень t ! "• кратности 8, то число, сопряженное этому корню t” ! "•, тоже является корнем кратности 8 этого уравнения.

44

Задания для самостоятельного решения

Найти комплексные корни уравнения:

№ 216. 6 10 0; № 217. 2 2 1 0; № 218. 4 5 0; № 219. 2 2 0; № 220. 2 6 5 0; № 221. 5 8 4 0; № 222. @ 3 4 0;

№ 223. @ 2 10 0; № 224. 5 2 10 0; № 225. U 2 1 0;

№ 226. @ 5 6 0.

Задания для контроля знаний

45

№235. •= 1 4 •, • 5 2 •;

№236. •= 2 3 •, • 4 3 •;

№237. •= 4 2 •, • 3 •;

№238. •= 5 2 •, • 2 2 •;

№239. •= 3 •, • 1 2•;

№240. •= 1 •, • 6 3•;

№241. •= 3 2 •, • 5 4•;

№242. •= 3 4 •, • 4 •;

№243. •= 1 •, • 3 •;

№244. •= 5 3 •, • 2 2 •;

№245. •= 3 2 •, • 1 3 •;

№246. •= 5 •, • 2 5 •.

§2. Однородные линейные дифференциальные уравнения

спостоянными коэффициентами

Дифференциальные уравнения вида:

! !C= C= ˜ ! != !( 0,

где !(, !=, … , !C=, ! – вещественные постоянные, причем ! w 0, а – искомая неизвестная функция, называются однородными

линейными дифференциальными уравнениями с постоянными ко-

эффициентами.

Для решения таких дифференциальных уравнений необходимо

составить и решить характеристическое уравнение этого дифференциального уравнения: ! t !C=tC= ˜ ! t !=t !( 0,

где коэффициенты !(, !=, … , !C=, ! являются коэффициентами исходного однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, а производные функции заме-

няются на соответствующие степени t.

Так, заменяется на t , xx – на t , x – на t t=, а – на 1 t(. Из утверждений, приведенных в предыдущем параграфе, следует, что любое такое характеристическое уравнение имеет ровно y комплексных и/или вещественных (возможно, кратных) корней, причем если это характеристическое уравнение имеет комплексный корень t ! "• кратности 8, то число, сопряженное этому корню t” !"•, тоже является корнем кратности 8 этого характеристического уравнения (это свойство следует из условия вещественности коэффи-

циентов !(, !=, … , !C=, ! ).

46

Структура общего решения однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами определяется

Пример 3. Найти общее решение однородного линейного диффе-

ренциального уравнения с постоянными коэффициентами:

3 2 0.

Решение. Составим характеристическое уравнение, т.е. заменяем

xxна t , x – на t, а – на 1. Получаем:

t 3t 2 0.

Решая это квадратное уравнение, получаем два вещественных корня: t= 1, t 2. Им соответствуют два слагаемых: 6= ™Š 6= и 6 ™? 6 . Отсюда общее решение однородного линейного

Случай кратного вещественного корня. Кратность равна 2. Получаем слагаемые 6= ™ 6= и 6 ™ 6 . Отсюда общее

47

решение однородного линейного дифференциального состоит из этих

Общее решение данного дифференциального уравнения имеет

вид:

6= sin 2 6 cos 2 .

Подставляя начальные условия † 2 и † 0, получаем:

† 6= sin 2† 6 cos 2† 6 2,26= cos 2 26 sin 2 ,

† 26= cos 2† 26 sin 2† 26= 0.

Подставляя найденные значения 6= 0 и 6 2 в общее реше-

ние, получаем решение задачи Коши: 2 cos 2 .

Ответ: 2 cos 2 .

Пример 6. Найти общее решение однородного линейного диффе-

ренциального уравнения с постоянными коэффициентами:

•Ž 2 2 xx 0.

48

49

№269. 3 8 3 0, 0 0, 0 1;

№270. 9 6 5 0, 0 1, 0 0.

Решить задачу Коши:

№ 277. 9 0, 0 0, 0 1, 0 1; № 278. •Ž 0, 0 1, 0 0, 0 0, 0 1; № 279. 4 3 0, 0 0, 0 0, x 0 2;

№ 280. •Ž 3 2 0, 0 0, 0 1, 0 0,0 1.

Задания для контроля знаний

Найти общее решение дифференциального уравнения:

№ 281. а) 5 0; б) 5 2 0; № 282. а) 9 0; б) 5 6 5 0; № 283. а) 9 0; б) 5 2 2 0; № 284. а) 5 6 0; б) 9 0;

№ 285. а) 6 9 0; б) 2 3 9 0; № 286. а) 8 12 0; б) 4 8 0; № 287. а) 9 0; б) 2 5 3 0; № 288. а) 2 2 0; б) 4 4 0;

№ 289. а) 9 6 0; б) 6 10 0; № 290. а) 5 8 3 0; б) 4 5 0; № 291. а) 2 6 5 0; б) 3 5 2 0; № 292. а) 4 8 3 0; б) 2 10 0; № 293. а) 2 5 2 0; б) 6 2 0; № 294. а) 6 10 0; б) 3 4 4 0; № 295. а) 3 2 8 0; б) 2 2 0; № 296. а) 16 8 0; б) 4 5 0; № 297. а) 5 6 5 0; б) 8 16 0;

50

№298. а) 5 6 2 0; б) 4 8 3 0;

№299. а) 4 4 3 0; б) 2 6 5 0;

№300. а) 5 4 0; б) 2 5 2 0.

§ 3. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Дифференциальные уравнения вида:

! !C= C= ˜ ! != !( ,

где !(, !=, … , !C=, ! – вещественные постоянные, причем ! w 0,Ÿ 0 – некоторая известная функция переменного , а – искомая неизвестная функция, называются неоднородными линейны-

ми дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами.