361

51

Теорема. Пусть о.н. – общее решение неоднородного линейно-

го дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:

част. ! ! C= C= ˜ ! != !( ,

– какое-либо частное решение этого неоднородного линей-

ного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, а о.о. – общее решение соответствующего однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициен-

тами:

! ! C= C= ˜ ! != !( 0.

Тогда:

о.н. о.о. част. .

Таким образом, задача нахождения общего решения неоднородного дифференциального уравнения сводится к задаче нахождения ка- кого-либо частного решения этого уравнения (так как задачу нахождения общего решения однородного дифференциального уравнения мы уже должны уметь решать).

Будем решать эту задачу методом подбора. Общий вид правой части , при котором возможно применение этого метода, сле-

дующий:

¦ ad sin § b¨ cos § ,

где ƒ и § – вещественные числа, ad и b¨ – некоторые многочлены степени › и “ соответственно. В этом случае частное решение исходного неоднородного дифференциального уравнения част.

ищется в виде:

част. œ · ¦ · ‘u sin § ©u cos § ,

где 8 max ›, “ , ‘u и ©u – многочлены 8-й степени с неопределенными коэффициентами, а - – кратность корня t ƒ §• характеристического уравнения соответствующего однородного дифференциального уравнения (если t ƒ §• не является корнем характеристического уравнения, то - 0).

1.Если многочлен ad равен некоторому числу (в том числе, возможно, равен нулю), то степень такого многочлена равна нулю (› 0).

2.Многочлен с неопределенными коэффициентами нулевой степени (- 0 равен произвольной постоянной (‘( c, ©( ®).

3.Многочлен с неопределенными коэффициентами первой степе-

ни (- 1 имеет следующий вид: ‘= c ®, ©= 6 ..Замечания.

52

4. Многочлен с неопределенными коэффициентами второй степени

(- 2 имеет следующий вид: ‘ c ® 6, © . ¯ .

Пример 7. Найти общее решение неоднородного линейного диф-

ференциального уравнения с постоянными коэффициентами:

6 1.

Решение. о.н. о.о. част. .

Рассмотрим соответствующее однородное линейное дифференци-

Запишем общее решение однородного дифференциального урав-

нения:

о.о. 6= 6 ,

¦ ad sin § b¨ cos § 1.

Подбираем параметры ƒ, §, ad и b¨ так, чтобы равенство было верным. В правой части нет ни ¦ , ни sin §, ни cos §, поэто-

му ƒ 0 и § 0. Отсюда t ƒ §• 0 0• 0 и - 0, так как среди корней характеристического уравнения нет t 0.

Подставляем ƒ 0 и § 0 в вид правой части и определяем ad

и b¨ : ( ad sin 0 b¨ cos 0 b¨ 1.

Получили, что b¨ 1. Отсюда “ 2. Также опреде-

лили, что ad можно выбрать произвольно. В таком случае выбираем ad 0, соответственно › 0 и 8 max ›, “ max 0,2 2.

Подставляем все найденное в вид частного решения:

част. œ · ¦ · ‘u sin § ©u cos § ( · ( ·‘ sin 0 © cos 0 © c ® 6.

Осталось подставить част. c ® 6 в исходное неодно-

родное дифференциальное уравнение:

6 1

и найти коэффициенты c, ® и 6. Для этого находим производные:

част. c ® 6 2c ®,част. 2c ® 2c.

53

Составим и решим его характеристическое уравнение: t 1 0 | t=, g•.

Запишем общее решение однородного дифференциального урав-

нения.

о.о. 6= sin 6 cos

¦ ad sin § b¨ cos § 2 sin

Подбираем параметры ƒ, §, ad и b¨ так, чтобы равенство

было верным. В правой части нет ¦ , поэтому ƒ 0, есть sin , поэтому § 1. Отсюда t ƒ §• 0 1• • и - 1, так как среди

корней характеристического уравнения есть ровно один корень, равный t •.

Подставляем ƒ 0 и § 1 в общий вид правой части и определя-

ем ad и b¨ :

( ad sin b¨ cos ad sin b¨ cos2 sin .

Получили, что ad 2, а b¨ 0. Отсюда › “ 8 0.

Подставляем все найденное в общий вид частного решения:

54

Для определения вида частного решения можно использовать общую формулу, которую мы использовали при решении предыдущих примеров, а можно рассматривать отдельные часто встречающиеся частные виды правых частей дифференциального уравнения отдельно. Все такие часто встречающиеся частные виды правых частей дифференциальных уравнений сведены для удобства в «Сводную таблицу видов частных решений для различных видов правых частей». Отдельное внимание следует обратить на одинаковый вид частного решения в пунктах 3а и 3б, а также в пунктах 4а и 4б указанной таблицы.

55

Сводная таблица видов частных решений для различных видов правых частей

55

57

Пример 9. Найти общее решение неоднородного линейного диф-

ференциального уравнения с постоянными коэффициентами:

.

Решение. о.н. о.о. част. .

Рассмотрим соответствующее однородное:

x 0.

Составим и решим его характеристическое уравнение: t 1 0 | t= 1, t 1.

Запишем общее решение однородного дифференциального урав-

нения:

о.о. 6= 6 C , t 1 a= .

– является корнем характеристического уравнения кратности 1, поэтому в соответствии с п. 2(2) сводной таблицы видов частных решений для различных видов правых частей частное решение

следует искать в виде:

част. · a°= · · c ® · c ® · .

является решением дифференциального уравнения: ¨

! !C= C= ˜ ! != !( u+=± u.

58

Пример 10. Найти общее решение дифференциального уравнения:

6 9 4 16 .

Решение. Характеристическое уравнение t 6t 9 0 имеет корни t= t 3, поэтому общим решением о.о. соответствую-

щего однородного уравнения будет:

о.о. 6= 6 .

Для нахождения частного решения част. исходного уравнения

найдем частные решения двух уравнений.

6 9 46 9 16

Первое уравнение имеет частное решение вида = c в со-

ответствии с п. 2(1) таблицы. Подставляя = в свое уравнение,

найдем c 1, т.е. = .

Частное решение второго уравнения в соответствии с п. 2(2) таб-

лицы ищем в виде ® . Подставляя во второе уравнение, находим ® 8 и 8 .

В силу принципа суперпозиции решений частное решение част.

исходного уравнения будет равно сумме частных решений = и.

част. = 8о.н. о.о. част. 6= 6 8 Ответ: 6= 6 8 .

Задания для самостоятельного решения

Найти общее решение дифференциального уравнения:

№ 321. 5 8 5 sin 6; № 322. 36 cos ;

U

№ 323. 7 6 4.

Дано дифференциальное уравнение:

! ! != !( .

Найти: а) общее решение однородного линейного дифференциаль-

ного уравнения с постоянными коэффициентами общ.однор. ; б) вид частного решения неоднородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, если известны корни ха-

рактеристического уравнения t=, …, t .

№ 324. t= t 2, t 2, sin cos ;

59

№325. t= 4•, t 4•, t 12, 4 6 · =;

№326. t = t 2, t 2, 13 1 · ;

№327. t= 1, t 1 •, t 1 •, · sin 1.

Дано дифференциальное уравнение:

!U Ž• !Z Ž !@ •Ž ! ! != !( .

Найти: а) общее решение однородного линейного дифференциального уравнения общ.однор. ; б) вид частного решения неодно-

№ 348. 16 @;

60

№349. 2 2 5 cos 2;

№350. 2 10 sin 6.

Дано дифференциальное уравнение:

! ! != !( .

Найти: а) общее решение однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами о.о. ; б) вид частного решения неоднородного линейного дифференциального