быстрый линальчик
.pdf
Вопрос23!
Характеристический многочлен линейного оператора. Доказать независимость характеристического многочлена от заданного базиса.
Вопрос 24!
Теорема (критерий диагонализируемости):
Линейный оператор является диагонализируемым тогда и только тогда, когда в линейном пространстве существует базис, каждый вектор которого является собственным вектором этого оператора.
Доказательство.
1) Пусть f - диагонализируемый линейный оператор. Тогда существует базис , ,…, относительно которого его матрица A – диагональная:
|
|
A= ( |
|
) |
|
|
|
Согласно определению матрицы линейного оператора, в первом столбце матрицы A |
|||||||
находятся координаты вектора f( |
) в базисе , |
,…, |
, во втором – координаты |
||||
вектора f( |
) и так далее. Таким образом, |
|
|
|
|
||
|
f( |
) = |
+ |
+ … + |
= |
|
|
|
f( |
) = |
+ |
+ … + |
= |
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
f( |
) = |
+ |
+ … + |
|
= |
, |
то есть , |
,…, - собственные векторы линейного оператора f. |
||||||
2) Пусть |
, ,…, - базис, состоящий из собственных векторов линейного |
||||||
оператора f. Тогда из определения собственного вектора следует, что |
|||||||
|
f( ) = |
, f( ) = |
, …, f( ) = |
, |
|||
где |
R – собственные значения линейного оператора f. Тогда в базисе |
||||||
,,…, матрица линейного оператора f имеет вид:
( ).
Эта матрица – диагональная, откуда следует, что f – диагонализируемый оператор.
Теорема доказана.
Вопрос 25!
Вопрос 26!
Геометрическая кратность – размерность подпространства из собственных векторов для данного собственного значения. Для любого собственного значения верно 1<=q<=p, где q
– геометрическая кратность, а p – алгебраическая.
Если для любой точки спектра (для любого собственного значения) p = q, то оператор диагонализируем.
Вопрос 27!
Вопрос 28!
Вопрос 29!
Вопрос 30!
Вопрос 31!
Вопрос 32!
Вопрос
33!
Вопрос 34!
Вектор x евклидова пространства E ортогонален подпространству E' E если он ортогонален ко всем векторам подпространства E' .
Условие ортогональности вектора подпространству
– Пусть Eᵖ есть подпространство евклидова пространства Еⁿ. Назовем вектор x ϵ Еⁿ ортогональным к подпространству Eᵖ, если он ортогонален ко всякому вектору , лежащему в этом подпространстве.
Доказательство:
Так как никакой (отличный от нуля) вектор не ортогонален к самому себе, то ни один (отличный от нуля) вектор ортогональный к подпространству Eᵖ, не лежит в этом подпространстве. Из линейности скалярного произведения следует, что вектор х, ортогональный ко всем векторам , образующим какой-нибудь базис подпространства Eᵖ, будет ортогонален и ко всему подпространству Eᵖ.
Вопрос 35!
Пусть - ненулевой векор евклидов простр нств V. Тогд для любого вектор существует единственное р зложение где коллине рен
ортогон лен .
Док з тельство: Сн ч л |
док жем единственность. Пусть |
- т кое |
||||
р зложение. Тогд |
для λ R имеем |
λ |
λ. Условие |
влечет |
||
( |
) ( |
λ) |
( ) λ( |
) |
|
|
Отсюд λ |
( ) |
( ) |
|
|
|
|
||
И |
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
Тем с мым векторы |
и |
определены однозн чно. С другой стороны |
||||||
определив |
|
по |
той |
ормуле мы получим |
( |
) |
||
То же и для подпростр нств :
Пусть W V – подпростр нство евклидов |
простр нств . Для произвольного вектор |
||||
x V з пишем р зложение |
где W, W (орт. дополнение). (Тогд |
||||
вектор |
н зыв ется ортогон льной проекцией вектор н |
подпростр нство W и |
|||
обозн ч ется |
вектор |
= |
н зыв ется ортогон льной сост вляющей |
||
вектор |
относительно подпростр нств |
W и обозн ч ется |
.) |
||
Р сстояние от вектор до подпростр нств :
Р сстояние между точкой P и подпростр нством B W р вно длине ортогон льной сост вляющей вектор PQ соединяющего P с произвольной точкой Q B, относительно простр нств W.
d(P,B) = | |
| для любой точки Q B |
|
|
|
|
|||
Док з тельство: |
|
|
|
|
|
|
|
|
Вн ч ле мы док жем что ортогон льн я сост вляющ я |
|
не з висит от |
||||||
выбор точки Q B. Пусть Q’ B – друг я точк . Мы имеем PQ = |
и |
|||||||
PQ’ |
= |
|
. С другой стороны PQ’ |
PQ+QQ’ |
где QQ’ W. Тогд |
|||
PQ’ |
|
=QQ’ PQ = QQ’ |
|
|
|
|
||
|
W |
W |
|
|
W |
W |
|
|
Отсюд в силу единственности р зложения вектор |
в прямой сумме V W W |
|||||||
получ ем |
|
что и требов лось док з ть. |
|
|
||||
Теперь док жем что для любой точки Q B мы имеем |PQ| |
| |
| |
||||||
Действительно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|PQ²| |
(PQ,PQ)=( |
|
|
|
)=( |
|
) |
|
( |
|
)=| |
²|+| |
²| |
| |
²| |
|
|
Где в предпоследнем р венстве мы воспользов лись тем что ( |
) . |
|||||||
Следов тельно d(P,B) = |
|PQ| |
| |
| |
|
|
|
||
Вопрос 36!
Вопрос 37!
Вопрос 38!
Вопрос 39!
Вопрос 40!
Вопрос 41!
Вопрос 42!
Вопрос 43!
Вопрос 44!
Вопрос 45!
Вопрос 46!