3. Динамические ряды. Индексы

3.ДИНАМИЧЕСКИЕ РЯДЫ. ИНДЕКСЫ

3.1. Виды динамических рядов

Ценность динамических рядов при анализе деятельности предприятий состоит в выявлении основной тенденции в изменении уровней экономических показателей, свободной от случайных или сезонных явлений. Динамический ряд – это ряд расположенных в хронологической последовательности числовых значений показателя, характеризующих изменение явлений во времени. Два основных элемента ряда: время t и уровень ряда у. Уровень ряда – это показатель, числовые значения которого составляют динамический ряд. Время – это моменты или периоды, к которым относятся уровни.

Динамические ряды подразделяются:

-в зависимости от способа выражения уровней – на ряды абсолютных, относительных и средних величин. В рассмотренных ниже примерах динамических рядов уровни выражены абсолютными статистическими величинами; средними величинами могут выражаться уровни, характеризующие динамику средней заработной платы на предприятии; относительными величинами характеризуется динамика доли мужчин и женщин, работающих на предприятии.

-в зависимости от выражения явления во времени. Они разделяются на моментные (уровни характеризуют состояние показателя на определенные моменты времени) и интервальные (уровни характеризуют размер явления за конкретный период времени). Кроме того, ряды динамики могут быть с равноотстоящими (по времени) уровнями и неравноотстоящими. Если в рядах динамики прерывающиеся или неравномерные интервалы времени, то такие ряды называются неравномерными.

Таблица 3.1

Численность постоянного населения в России, млн.чел. (моментный динамический ряд)

93

Конорева А.А., Харинова М.Ю. Экономико-статистические методы исследования систем при управлении предприятиями дорожной отрасли

Суммировать уровни моментного ряда нельзя, так как уровни данного ряда содержат элементы повторного счета (большинство человек учитываются из года в год, пока проживают постоянно на данной территории). Также не имеет смысл суммировать уровни динамических рядов средних и относительных величин. Можно рассчитать только разности уровней моментного динамического ряда.

Уровни интервального динамического ряда характеризуют суммарный итог за каждый год. Они могут суммироваться, т.к. не содержат повторного счета. Значения уровней интервального ряда характеризуют суммарный итог за каждый год. Интервальный ряд можно представить как ряд с нарастающими итогами. При построении таких рядов производится последовательное суммирование смежных уровней, т.е. суммарное обобщение результата развития изучаемого явления с начала отчетного периода (месяца, квартала, года). В кратком статистическом сборнике «Россия в цифрах» приводятся данные о количестве перевезенного груза различными видами транспорта в Российской Федерации [12] (табл. 3.2).

Таблица 3.2

Перевозки грузов в РФ различными видами транспорта, млн. тонн (интервальный динамический ряд)

94

3. Динамические ряды. Индексы

Обязательным условием для получения правильных выводов при анализе и прогнозировании динамических рядов является сопоставимость уровней между собой. Несопоставимость в динамических рядах возникает в связи с происходящими с течением времени изменениями в развитии социально-экономических и общественных явлений. Причинами несопоставимости могут быть: территориальные изменения (границ); различие применяемых в разные периоды времени единиц измерения, цен; изменение валюты; изменения в методике первичного учета; неоднородность состава совокупностей во времени; разная продолжительность показаний времени (например, обычный год в 365 дней и високосный год в 366 дней) и т.д. Прежде чем анализировать динамические ряды, следует убедиться в сопоставимости их уровней и, если сопоставимость отсутствует, добиться ее дополнительными расчетами. В некоторых случаях несопоставимость может быть устранена с помощью приема

– «смыкание рядов динамики». Он используется при территориальных (организационных, ведомственных) изменений, когда имеются уровни ряда динамики, вычисленные до изменения границы и после ее изменения. Для пересчета необходимо переходное звена, т.е. наличие за один временной период уровня ряда в старых условиях и уровня ряда в новых условиях.

Задача 3.1. Имеются данные об объеме реализованной продукции отрасли за год, в которую до 2008 г. входило 170 предприятий, а с 2008 г. – 212 предприятий. Построить динамический ряд, характеризующий динамику объема реализованной продукции за рассматриваемый период.

Решение. Показатели за 2005 – 2008 гг. несопоставимы непосредственно с показателями за 2008 – 2011 гг., так как относятся к различному количеству предприятий. Задача заключается в вычислении данных за 2005 – 2008 гг. в новых границах (по новому числу предприятий), ее решение осуществляется смыканием рядов. Для этого по данным 2008 г. вычисляется коэффициент соотношения уровней двух рядов

Умножая на этот коэффициент уровни первого ряда, получаем скорректированные данные за 2005-2007 гг. в новых границах.

95

Конорева А.А., Харинова М.Ю. Экономико-статистические методы исследования систем при управлении предприятиями дорожной отрасли

Для наглядного представления развития явления во времени динамические ряды изображаются графически с помощью различных видов диаграмм.

Таблица 3.3

Динамика объема реализованной продукции отрасли в сопоставимых ценах, млрд. руб. (по годам)

3.2.Расчет показателей изменения уровней динамического рядаи приемы анализа основной тенденции развития

При изучении динамики необходимо решить целый ряд задач для того, чтобы охарактеризовать особенности и закономерности развития изучаемого явления. Основные задачи, возникающих при изучении динамических рядов:

1.Характеристика интенсивности отдельных изменений в уровнях ряда от периода к периоду или от даты к дате.

2.Определение средних показателей временного ряда за определенный период времени.

3.Выявление основных закономерностей динамики исследуемого явления на отдельных этапах и в целом за рассматриваемый период.

4.Прогноз развития явления.

5.Выявление факторов, обусловливающих изменение изучаемого объекта во времени.

Для решения первой задачи динамики (измерения скорости и интенсивности развития явления во времени) сопоставляются уровни динамического ряда с помощью расчета показателей изменений

96

3. Динамические ряды. Индексы

уровней (табл. 3.4). Если сравнивать несколько последовательных уровней, то возможны два варианта сопоставления:

1.Каждый уровень динамического ряда сравнивается с одним и тем же предшествующим уровнем, принятым за базу сравнения. В качестве базисного уровня выбирается либо начальный уровень динамического ряда, либо уровень, с которого начинается какой-то новый этап развития явления. Такое сравнение называется сравнением с постоянной базой.

2.Каждый уровень динамического ряда сравнивается непосредственно с предшествующим; такое сравнение называют сравнением переменной базой.

Показатели изменения уровней динамического ряда (показатели динамики) с постоянной базой (базисные показатели) характеризуют окончательный результат всех изменений в уровнях ряда от периода,

ккоторому относится базисный уровень, до данного (i-го) периода. Показатели динамики с переменной базой (цепные показатели) характеризуют интенсивность изменения уровня от периода к периоду (или от даты к дате) в пределах изучаемого промежутка времениКраткая. характеристика показателей динамики:

1.Абсолютный прирост ( i) – это разность между

последующим и предыдущим уровнями ряда (цепные) или начальным уровнем ряда (базисные). Абсолютный прирост показывает, на сколько абсолютных единиц изменился данный уровень по сравнению с уровнем, принятым за базу сравнения. Между цепным и базисным абсолютным приростом существует взаимосвязь – сумма

цепных дает соответствующий базисный абсолютный прирост

n

б = yn – yo = ( уi – yi-1 ) = (у1–у0)+(у2–у1)+…+ (уn – уn-1) (3.2) n 1

Абсолютный прирост выражается в единицах измерения уровней ряда, принимает положительное и отрицательное значения.

2.Темп роста (Тр) – это соотношение последующего уровня ряда

кпредыдущему (цепные темпы роста) или к постоянному, принятому за базу сравнения (базисные темпы роста). Между цепными и базисными темпами роста существует взаимосвязь – произведение цепных темпов роста дает соответствующий базисный темп роста

Темп роста выражается в коэффициентах или процентах.

97

98

3. Динамические ряды. Индексы

Это результат деления абсолютного прироста на соответствующий темп прироста, выраженный в процентах. Рассчитывается только как цепной показатель; выражается в единицах измерения уровней ряда.

Рассмотренные показатели изменяются в течение рассматриваемого периода времени. Для обобщения информации об исследуемом явлении за ряд периодов (вторая задача динамики) рассчитываются средние показатели. Они позволяет выявить скорость и интенсивность развития явления, представленного динамическим рядом. Существует две категории этих показателей: 1) средние показатели уровней ряда; 2) средние показатели изменения уровней ряда. Метод расчета среднего уровня динамического ряда зависит от вида временного ряда:

1. Для интервального динамического ряда с равными временными периодами используется формула средней

арифметической простой y yi где n – число уровней ряда.

n

2. Для интервального динамического ряда с неравными временными периодами используется формула средней арифметической взвешенной

y yiti , где t – число периодов времени, в течение которых

ti

уровень не изменяется.

3. Для моментного ряда с равноотстоящими во времени уровнями средний уровень ряда определяется по формуле средней хронологической

n1

4.Для моментного ряда с неравноотстоящими уровнями он

рассчитывается по формуле средней арифметической взвешенной

ti

i 1

соседних уровней ряда (моментов) по формуле простой арифметической, ti - число периодов времени, в течение которых yi не меняется.

99

Конорева А.А., Харинова М.Ю. Экономико-статистические методы исследования систем при управлении предприятиями дорожной отрасли

Формулы для расчета средних показатели изменения уровней ряда представлены в табл. 3.4.

Задача 3.2. Имеются данные о работе предприятия, которые представлены в виде динамических рядов (табл. 3.5). Рассчитать показатели изменения уровней динамических рядов и средние величины.

Таблица 3.5

Динамические ряды основных технико-экономических показателей

Решение. Расчет показателей изменения уровней динамических рядов представлены в табл. 3.6–3.11.

3. Динамические ряды. Индексы

Окончание табл. 3.6

0,997 0,999 0,985 1,001 1,012.

Таблица 3.7

Расчет показателей изменения уровней для численности производственных рабочих

101

Конорева А.А., Харинова М.Ю. Экономико-статистические методы исследования систем при управлении предприятиями дорожной отрасли

3. Динамические ряды. Индексы

Конорева А.А., Харинова М.Ю. Экономико-статистические методы исследования систем при управлении предприятиями дорожной отрасли

Таблица 3.10

Расчет показателей изменения уровней для фондоотдачи

3. Динамические ряды. Индексы

Таблица 3. 11

Средние характеристики динамических рядов технико-экономических показателей

Следующей задачей динамики является выявление основных закономерностей исследуемого явления за рассматриваемый период. Динамические ряды, построенные по данным деятельности предприятий, претерпевают различные изменения: то возрастают, то убывают, и общая тенденция развития неясна. На развитие явления во времени оказывают влияние факторы, различные по характеру и силе

105

Конорева А.А., Харинова М.Ю. Экономико-статистические методы исследования систем при управлении предприятиями дорожной отрасли

воздействия. Одни из них оказывают практически постоянное воздействие и формируют в динамических рядах определенную тенденцию развития. Воздействие же других факторов может быть кратковременным или носить случайный характер. Необходимо выявить основную тенденцию, устойчивую на протяжении изученного этапа развития. Основной тенденцией развития (трендом) называется плавное и устойчивое изменение уровней явления во времени, свободное от случайных колебаний.

Существуют хорошо разработанные методы для выявления основной тенденции:

1.Метод укрупнения интервалов – основан на укрупнении периодов времени, к которым относятся уровни ряда (например, суточные данные сводятся в месячные, месячные – в квартальные, квартальные – в годовые и т.п.). Средняя арифметическая, вычисленная по укрупненным интервалам, выявляет направление и характер (ускорение или замедление роста) основной тенденции.

2.Метод скользящей средней – основан на замене абсолютных данных средними арифметическими за определённые периоды. Расчёт средних ведётся способом скольжения, т.е. постепенным исключением из принятого периода скольжения первого уровня и включением следующего. Интервал скольжения может быть как чётным (четырёхчленная средняя, шести-, восьми- и т.д.) – в этому случае полученный средний показатель относится к середине между двумя датами, так и нечётным (трёхчленная и т.п).

Задача 3.3. Выявить основную тенденцию перевозки грузов за 1995-2009 годы в РФ (табл. 3.2). Рассчитать трехлетнюю скользящую среднюю. Изобразить ряд графически.

Решение. Последовательность выполнения анализа данных с использованием MS Excel:

1.На основе исходных данных сформировать электронную таблицу (рис. 3.1).

2.Активизировать кнопку «Сервис» (рис. 3.2), в распадающемся меню выбрать строку «Анализ данных».

3.В появившемся окне «Анализ данных» выбрать строку «Скользящее среднее» (рис. 3.3).

4.В окошке «Входной интервал» ввести соответствующий диапазон данных (строка «Всего перевезено»). Входной интервал

106

3. Динамические ряды. Индексы

должен состоять из одного столбца или одной строки, содержащих не менее четырех ячеек с данными.

Таблица 3.2

Перевозка грузов в РФ, млн. тонн

Рис. 3.1. Вид электронной таблицы с исходными данными

Рис. 3.2. Выбор функции «Анализ данных»

Поставить флажок «Метки в первой строке», если первая строка входного интервала содержит заголовки. Снять флажок, если

107

Конорева А.А., Харинова М.Ю. Экономико-статистические методы исследования систем при управлении предприятиями дорожной отрасли

заголовки отсутствуют; в этом случае подходящие названия для данных выходного диапазона будут созданы автоматически (рис. 3.4).

5.В окошке «Интервал» ввести число значений, необходимое для расчета скользящего среднего. Значение по умолчанию равно 3 (рис. 3.4).

6.В параметрах вывода в окошке «Выходной интервал» ввести ссылку на левую верхнюю ячейку выходного диапазона.

Рис. 3.3. Фрагмент окна «Анализ данных»

108

3. Динамические ряды. Индексы

Рис. 3.4. Фрагмент окна «Скользящее среднее»

7.Если установлен флажок «Стандартные погрешности», то выходной диапазон состоит из двух столбцов, и значения стандартных погрешностей содержатся в правом столбце. Если исходных значений для построения прогноза или для вычисления стандартной ошибки недостаточно, Microsoft Excel возвратит значение ошибки #Н/Д.

8.Выходной диапазон и исходные данные должны находиться на одном листе. По этой причине параметры «Новый лист» и «Новая книга» недоступны. Для выведения графика установить флажок для автоматического создания встроенной диаграммы на листе, содержащем выходной диапазон (рис. 3.4).

9.Расчет и вывод итогов будет выведен на текущий лист Excel в виде таблицы и графика (рис. 3.5).

В результате проведенного анализа с расчетом скользящих средних выявлена общая тенденция к увеличению перевозок грузов в Российской Федерации.

109

Конорева А.А., Харинова М.Ю. Экономико-статистические методы исследования систем при управлении предприятиями дорожной отрасли

Рис. 3.5. Лист MS Excel с выводом итогов

В связи с укорачиванием ряда в процессе сглаживания происходит потеря информации. Рассмотренные приёмы сглаживания динамических рядов дают возможность определить общую тенденцию развития явления, освобождённую от случайных и волнообразных колебаний. Но получить обобщенную статистическую модель тренда с помощью данных методов нельзя. Для получения количественной модели, выражающей основную тенденцию изменения уровней динамического ряда во времени, используется аналитическое выравнивание динамики.

Аналитическое выравнивание рядов динамики по математической кривой (прямой, параболе, гиперболе и т.д.) позволяет измерить тренд, т.е. получить общие статистические характеристики.

Сущность метода аналитического выравнивания – основной тренд (тенденция развития) представляется как функция времени t:

3. Динамические ряды. Индексы

производится на основе адекватной математической модели, которая наилучшим образом отображает (аппроксимирует) основную тенденцию ряда динамики. Выбор типа модели зависит от цели исследования и должен быть основан на теоретическом анализе и графическом изображении динамического ряда. Выравнивание рядов по математической кривой (прямой, параболе, гиперболе и т.д.) позволяет измерить тренд, т.е. получить общие статистические характеристики.

Аналитическое выравнивание по прямой производится в том случае, если явление во времени развивается равномерно, когда развитие равноускоренное (равнозамедленное), т.е. стабильны абсолютные приросты. При переменном развитии явления (ускорение, потом замедление) выравнивание производится по параболе 3-го порядка и т.д. В целом выбор кривой (временной функции) определяется темпами развития во времени.

Вдинамическом ряду со стабильными абсолютными

развития: 1) если b 0, то наблюдается рост уровней ряда в среднем на эту величину; 2) если b 0 – снижение уровней ряда в среднем на эту величину. Расчёт параметров функции производится методом наименьших квадратов [9], в котором в качестве решения принимается точка минимума суммы квадратов отклонений между теоретическими и эмпирическими уравнениями.

∑(Yt – Yi)2 → min,

где Yt – выровненные (расчётные) уровни; Yi – фактические уровни. Параметры уравнения, удовлетворяющие этому условию,

находятся решением системы нормальных уравнений. На основе найденного уравнения тренда вычисляются выровненные уровни. Выравнивание динамического ряда заключается в замене фактических уровней Yi плавно изменяющимися уровнями Yt, наилучшим образом отображающими статистические данные. Для вычисления параметров функции с помощью метода наименьших квадратов составляется система нормальных уравнений:

111

Конорева А.А., Харинова М.Ю. Экономико-статистические методы исследования систем при управлении предприятиями дорожной отрасли

Расчет параметров уравнения можно упростить, если отсчет времени производить так, чтобы сумма показателей времени

изучаемого ряда динамики была равна 0 ( ti 0). При нечетном числе уровней ряда, для получения нулевой суммы, уровень, находящийся в середине ряда, принимается за условное начало отсчета времени (этому периоду или моменту времени придается нулевое значение). Даты времени, стоящие выше этого уровня, обозначаются натуральными числами со знаком плюс.

Система нормальных уравнений преобразуется следующим образом:

Для определения доверительных интервалов прогноза по линии тренда рассчитывается среднее квадратическое отклонение от тренда:

n

yi ~yti

где yi , ~yt - фактическое и расчетное значения уровней динамического ряда; n – число уровней ряда; k – количество параметров в уравнении тренда (для парной линейной зависимости k

= 2).

Величина доверительного интервала прогноза рассчитывается по формуле

112

3. Динамические ряды. Индексы

где t – табличное значение t -критерия Стьюдента при уровне значимости α (прил. 2).

Задача 3.4. Методом аналитического выравнивания выявить основную тенденцию изменения прибыли на предприятии за 2005– 2009 годы (табл. 3.2). Изобразить ряд графически. Рассчитать доверительные интервалы прогноза.

Решение. Аналитическое выравнивание по линейному закону производится в том случае, если явление во времени развивается равномерно. Для проверки равномерности развития явления рассчитываются абсолютные приросты (рис. 3.6).

Рис. 3.6. Вид таблицы MS Ecxel с исходными данными и расчетом абсолютного прироста

Абсолютные приросты по изменению прибыли на предприятии за анализируемый период времени относительно стабильны.

113

Конорева А.А., Харинова М.Ю. Экономико-статистические методы исследования систем при управлении предприятиями дорожной отрасли

Рис. 3.7. Таблица MS Ecxel с промежуточными вычислениями

Параметры для линейного тренда рассчитываются по формуле 3.4:

По рассчитанным параметрам записывается уравнение прямой ряда динамики, характеризующее величину прибыли:

yt 2,82 0,27 t

Используя приведенное уравнение, для каждого года рассчитывается теоретические значения размера прибыли (столбец «Выровненные уровни ряда», табл. 3.7).

Для 2009 г.: yt 2 2,82 0,27 2 2,28 млн.руб.

Правильность расчета уровней выравниваемого ряда динамики может быть проверена следующим образом: сумма значений эмпирического ряда должна совпадать с суммой теоретических уровней выровненного ряда, т.е.

114