2334
.pdf
В качестве примера приведена табл. 3.3 – детализированная промежуточная таблица для вычисления функции x1. Использование совокупности дерева преобразований и детализированной промежуточной таблицы позволяет легко проверить правильность работы любой логической функции.
Т а б л и ц а 3.3. Детализированная промежуточная
таблица для вычисления функции x1
a13a14a3a4a5 ((a13 a5) a4) ((a3 ( a5 a14)) (a13 a5) a4))
-------- + |
-------------------------------------1 |
1 |
*0 0 |
1 0 0 |
1 |
1 |
1 |
1 1 1 1 1 | |
|||||||
1 1 1 1 0 | |
1 |
1 |
*0 0 |
1 1 1 |
1 |
1 |
1 |
1 1 1 0 1 | |
1 |
1 |
*0 0 |
1 0 0 |
1 |
1 |
1 |
1 1 1 0 0 | |
1 |
1 |
*0 0 |
1 1 1 |
1 |
1 |
1 |
1 1 0 1 1 | |
1 |
1 |
*1 1 |
0 0 0 |
0 |
1 |
1 |
1 1 0 1 0 | |
1 |
1 |
*0 0 |
1 1 1 |
1 |
1 |
1 |
1 1 0 0 1 | |
1 |
1 |
*1 1 |
0 0 0 |
0 |
1 |
1 |
1 1 0 0 0 | |
1 |
1 |
*0 0 |
1 1 1 |
1 |
1 |
1 |
1 0 1 1 1 | |
1 |
1 |
*0 0 |
1 0 0 |
1 |
1 |
1 |
1 0 1 1 0 | |
1 |
1 |
*0 0 |
1 1 0 |
1 |
1 |
1 |
1 0 1 0 1 | |
1 |
1 |
*0 0 |
1 0 0 |
1 |
1 |
1 |
1 0 1 0 0 | |
1 |
1 |
*0 0 |
1 1 0 |
1 |
1 |
1 |
1 0 0 1 1 | |
1 |
1 |
*1 1 |
0 0 0 |
0 |
1 |
1 |
1 0 0 1 0 | |
1 |
1 |
*1 1 |
0 1 0 |
0 |
1 |
1 |
1 0 0 0 1 | |
1 |
1 |
*1 1 |
0 0 0 |
0 |
1 |
1 |
1 0 0 0 0 | |
1 |
1 |
*1 1 |
0 1 0 |
0 |
1 |
1 |
0 1 1 1 1 | |
1 |
1 |
*0 0 |
1 0 0 |
1 |
1 |
1 |
0 1 1 1 0 | |
0 |
1 |
*0 0 |
1 1 1 |
1 |
0 |
1 |
0 1 1 0 1 | |
1 |
1 |
*0 0 |
1 0 0 |
1 |
1 |
1 |
0 1 1 0 0 | |
0 |
0 |
*0 1 |
1 1 1 |
0 |
0 |
0 |
0 1 0 1 1 | |
1 |
1 |
*1 1 |
0 0 0 |
0 |
1 |
1 |
0 1 0 1 0 | |
0 |
1 |
*0 0 |
1 1 1 |
1 |
0 |
1 |
0 1 0 0 1 | |
1 |
1 |
*1 1 |
0 0 0 |
0 |
1 |
1 |
0 1 0 0 0 | |
0 |
0 |
*0 1 |
1 1 1 |
0 |
0 |
0 |
0 0 1 1 1 | |
1 |
1 |
*0 0 |
1 0 0 |
1 |
1 |
1 |
0 0 1 1 0 | |
0 |
1 |
*0 0 |
1 1 0 |
1 |
0 |
1 |
0 0 1 0 1 | |
1 |
1 |
*0 0 |
1 0 0 |
1 |
1 |
1 |
0 0 1 0 0 | |
0 |
0 |
*0 1 |
1 1 0 |
0 |
0 |
0 |
0 0 0 1 1 | |
1 |
1 |
*1 1 |
0 0 0 |
0 |
1 |
1 |
0 0 0 1 0 | |
0 |
1 |
*1 1 |
0 1 0 |
0 |
0 |
1 |
0 0 0 0 1 | |
1 |
1 |
*1 1 |
0 0 0 |
0 |
1 |
1 |
Представление логических функций в виде таблицы истинности удобно, поскольку позволяет оценить алгоритм работы системы в статическом режиме.
80
Т а б л и ц а 3.4. СДНФ и СКНФ логических функций x1… x8
|
Исх. |
(a13 a5 a4) (¬((a3 (¬a5 a14)) (a13 a5 a4))) |
|
|
(a13 a14 ¬a3 a4 a5) (a13 a14 ¬a3 ¬a4 a5) (a13 ¬a14 ¬a3 a4 a5) |
|
СДНФ |
(a13 ¬a14 ¬a3 a4 ¬a5) (a13 ¬a14 ¬a3 ¬a4 a5) (a13 ¬a14 ¬a3 ¬a4 ¬a5) |
|
|
(¬a13 a14 ¬a3 a4 a5) (¬a13 a14 ¬a3 ¬a4 a5) (¬a13 ¬a14 ¬a3 a4 a5) |
|
|
(¬a13 ¬a14 ¬a3 a4 ¬a5) (¬a13 ¬a14 ¬a3 ¬a4 a5) |
|
|
|
x1 |
|
(¬a13 ¬a14 ¬a3 ¬a4 ¬a5) (¬a13 ¬a14 ¬a3 ¬a4 a5) |
|
(¬a13 ¬a14 ¬a3 a4 ¬a5) (¬a13 ¬a14 ¬a3 a4 a5) (¬a13 ¬a14 a3 ¬a4 a5) |
|
|
|
|
|
|
(¬a13 ¬a14 a3 a4 a5) (¬a13 a14 ¬a3 ¬a4 ¬a5) (¬a13 a14 ¬a3 ¬a4 a5) |
|
СКНФ |
(¬a13 a14 ¬a3 a4 ¬a5) (¬a13 a14 ¬a3 a4 a5) (a13 ¬a14 ¬a3 ¬a4 ¬a5) |
|
(a13 ¬a14 ¬a3 ¬a4 a5) (a13 ¬a14 ¬a3 a4 ¬a5) (a13 ¬a14 ¬a3 a4 a5) |
|
|
|
|
|
|
(a13 ¬a14 a3 ¬a4 a5) (a13 ¬a14 a3 a4 a5) (a13 a14 ¬a3 ¬a4 ¬a5) |
|
|
(a13 a14 ¬a3 ¬a4 a5) (a13 a14 ¬a3 a4 ¬a5) (a13 a14 ¬a3 a4 a5) |
|
|
(a13 a14 a3 a4 a5) |
|
|
|
|
Исх. |
(a3 (a14 ¬a5)) (¬((a3 (a14 ¬a5)) (a13 a5 a4))) |
|
|
|
|
СДНФ |
(¬a13 a14 a3 ¬a4 ¬a5) (¬a13 a14 ¬a3 ¬a4 ¬a5) (¬a13 ¬a14 a3 ¬a4 ¬a5) |
|
|
|
|
|
(¬a13 ¬a14 ¬a3 ¬a4 ¬a5) (¬a13 ¬a14 ¬a3 ¬a4 a5) |
|
|
(¬a13 ¬a14 ¬a3 a4 ¬a5) (¬a13 ¬a14 ¬a3 a4 a5) (¬a13 ¬a14 a3 ¬a4 ¬a5) (¬ |
x2 |
|
a13 ¬a14 a3 ¬a4 a5) (¬a13 ¬a14 a3 a4 ¬a5) (¬a13 ¬a14 a3 a4 a5) |
|
(¬a13 a14 ¬a3 ¬a4 ¬a5) (¬a13 a14 ¬a3 ¬a4 a5) (¬a13 a14 ¬a3 a4 ¬a5) |
|
|
СКНФ |
(¬a13 a14 ¬a3 a4 a5) (¬a13 a14 a3 ¬a4 ¬a5) (¬a13 a14 a3 ¬a4 a5) |
|
(¬a13 a14 a3 a4 ¬a5) (¬a13 a14 a3 a4 a5) (a13 ¬a14 ¬a3 ¬a4 ¬a5) |
|
|
|
|
|
|
(a13 ¬a14 ¬a3 ¬a4 a5) (a13 ¬a14 ¬a3 a4 ¬a5) (a13 ¬a14 a3 ¬a4 ¬a5) |
|
|
(a13 ¬a14 a3 ¬a4 a5) (a13 ¬a14 a3 a4 ¬a5) (a13 a14 ¬a3 ¬a4 ¬a5) |
|
|
(a13 a14 ¬a3 ¬a4 a5) (a13 a14 ¬a3 a4 ¬a5) (a13 a14 a3 ¬a4 ¬a5) |
|
|
(a13 a14 a3 ¬a4 a5) (a13 a14 a3 a4 ¬a5) (a13 a14 a3 a4 a5) |
|
|
|
|
Исх. |
(a15 a7 a4) (¬((a3 (¬a7 a16)) (a15 a7 a4))) |
|
|
(a15 a16 ¬a3 a4 a7) (a15 a16 ¬a3 ¬a4 a7) (a15 ¬a16 ¬a3 a4 a7) |
|
СДНФ |
(a15 ¬a16 ¬a3 a4 ¬a7) (a15 ¬a16 ¬a3 ¬a4 a7) (a15 ¬a16 ¬a3 ¬a4 ¬a7) |
|
|
(¬a15 a16 ¬a3 a4 a7) (¬a15 a16 ¬a3 ¬a4 a7) (¬a15 ¬a16 ¬a3 a4 a7) |
|
|
(¬a15 ¬a16 ¬a3 a4 ¬a7) (¬a15 ¬a16 ¬a3 ¬a4 a7) |
x3 |
|
(¬a15 ¬a16 ¬a3 ¬a4 ¬a7) (¬a15 ¬a16 ¬a3 ¬a4 a7) |
|
(¬a15 ¬a16 ¬a3 a4 ¬a7) (¬a15 ¬a16 ¬a3 a4 a7) (¬a15 ¬a16 a3 ¬a4 a7) |
|
|
|
(¬a15 ¬a16 a3 a4 a7) (¬a15 a16 ¬a3 ¬a4 ¬a7) (¬a15 a16 ¬a3 ¬a4 a7) |
|
СКНФ |
(¬a15 a16 ¬a3 a4 ¬a7) (¬a15 a16 ¬a3 a4 a7) (a15 ¬a16 ¬a3 ¬a4 ¬a7) |
|
(a15 ¬a16 ¬a3 ¬a4 a7) (a15 ¬a16 ¬a3 a4 ¬a7) (a15 ¬a16 ¬a3 a4 a7) |
|
|
|
|
|
|
(a15 ¬a16 a3 ¬a4 a7) (a15 ¬a16 a3 a4 a7) (a15 a16 ¬a3 ¬a4 ¬a7) |
|
|
(a15 a16 ¬a3 ¬a4 a7) (a15 a16 ¬a3 a4 ¬a7) (a15 a16 ¬a3 a4 a7) |
|
|
(a15 a16 a3 a4 a7) |
|
|
|
81
Продолжениетабл.3.4
|
Исх. |
(a3 (a16 ¬a7)) (¬((a3 (a16 ¬a7)) (a15 a7 a4))) |
|
|
|
|
СДНФ |
(¬a15 a16 a3 ¬a4 ¬a7) (¬a15 a16 ¬a3 ¬a4 ¬a7) (¬a15 ¬a16 a3 ¬a4 ¬a7) |
|
|
|
|
|
(¬a15 ¬a16 ¬a3 ¬a4 ¬a7) (¬a15 ¬a16 ¬a3 ¬a4 a7) |
|
|
(¬a15 ¬a16 ¬a3 a4 ¬a7) (¬a15 ¬a16 ¬a3 a4 a7) (¬a15 ¬a16 a3 ¬a4 ¬a7) |
x4 |
|
(¬a15 ¬a16 a3 ¬a4 a7) (¬a15 ¬a16 a3 a4 ¬a7) (¬a15 ¬a16 a3 a4 a7) |
|
(¬a15 a16 ¬a3 ¬a4 ¬a7) (¬a15 a16 ¬a3 ¬a4 a7) (¬a15 a16 ¬a3 a4 ¬a7) |
|
|
СКНФ |
(¬a15 a16 ¬a3 a4 a7) (¬a15 a16 a3 ¬a4 ¬a7) (¬a15 a16 a3 ¬a4 a7) |
|
(¬a15 a16 a3 a4 ¬a7) (¬a15 a16 a3 a4 a7) (a15 ¬a16 ¬a3 ¬a4 ¬a7) |
|
|
|
|
|
|
(a15 ¬a16 ¬a3 ¬a4 a7) (a15 ¬a16 ¬a3 a4 ¬a7) (a15 ¬a16 a3 ¬a4 ¬a7) |
|
|
(a15 ¬a16 a3 ¬a4 a7) (a15 ¬a16 a3 a4 ¬a7) (a15 a16 ¬a3 ¬a4 ¬a7) |
|
|
(a15 a16 ¬a3 ¬a4 a7) (a15 a16 ¬a3 a4 ¬a7) (a15 a16 a3 ¬a4 ¬a7) |
|
|
(a15 a16 a3 ¬a4 a7) (a15 a16 a3 a4 ¬a7) (a15 a16 a3 a4 a7) |
|
|
|
|
Исх. |
(a14 a9 a4) (¬((a3 (¬a9 a13)) (a14 a9 a4))) |
|
|
|
|
|
(a13 a14 ¬a3 a4 a9) (a13 a14 ¬a3 ¬a4 a9) (a13 ¬a14 ¬a3 a4 a9) |
|
СДНФ |
(a13 ¬a14 ¬a3 ¬a4 a9) (¬a13 a14 ¬a3 a4 a9) (¬a13 a14 ¬a3 a4 ¬a9) |
|
(¬a13 a14 ¬a3 ¬a4 a9) (¬a13 a14 ¬a3 ¬a4 ¬a9) (¬a13 ¬a14 ¬a3 a4 a9) |
|
|
|
(¬a13 ¬a14 ¬a3 a4 ¬a9) (¬a13 ¬a14 ¬a3 ¬a4 a9) |
x5 |
|
(¬a13 ¬a14 ¬a3 ¬a4 ¬a9) (¬a13 ¬a14 ¬a3 ¬a4 a9) |
|
(¬a13 ¬a14 ¬a3 a4 ¬a9) (¬a13 ¬a14 ¬a3 a4 a9) (¬a13 ¬a14 a3 ¬a4 a9) |
|
|
|
(¬a13 ¬a14 a3 a4 a9) (¬a13 a14 ¬a3 ¬a4 ¬a9) (¬a13 a14 ¬a3 ¬a4 a9) |
|
СКНФ |
(¬a13 a14 ¬a3 a4 ¬a9) (¬a13 a14 ¬a3 a4 a9) (¬a13 a14 a3 ¬a4 a9) |
|
(¬a13 a14 a3 a4 a9) (a13 ¬a14 ¬a3 ¬a4 ¬a9) (a13 ¬a14 ¬a3 ¬a4 a9) |
|
|
|
|
|
|
(a13 ¬a14 ¬a3 a4 ¬a9) (a13 ¬a14 ¬a3 a4 a9) (a13 a14 ¬a3 ¬a4 ¬a9) |
|
|
(a13 a14 ¬a3 ¬a4 a9) (a13 a14 ¬a3 a4 ¬a9) (a13 a14 ¬a3 a4 a9) |
|
|
(a13 a14 a3 a4 a9) |
|
Исх. |
(a3 (a13 ¬a9)) (¬((a3 (a13 ¬a9)) (a14 a9 a4))) |
|
|
|
|
|
|
|
СДНФ |
(a13 ¬a14 a3 ¬a4 ¬a9) (a13 ¬a14 ¬a3 ¬a4 ¬a9) (¬a13 ¬a14 a3 ¬a4 ¬a9) |
|
|
|
|
|
(¬a13 ¬a14 ¬a3 ¬a4 ¬a9) (¬a13 ¬a14 ¬a3 ¬a4 a9) |
|
|
(¬a13 ¬a14 ¬a3 a4 ¬a9) (¬a13 ¬a14 ¬a3 a4 a9) (¬a13 ¬a14 a3 ¬a4 ¬a9) (¬ |
|
|
a13 ¬a14 a3 ¬a4 a9) (¬a13 ¬a14 a3 a4 ¬a9) (¬a13 ¬a14 a3 a4 a9) |
x6 |
|
(¬a13 a14 ¬a3 ¬a4 ¬a9) (¬a13 a14 ¬a3 ¬a4 a9) (¬a13 a14 ¬a3 a4 ¬a9) |
|
(¬a13 a14 a3 ¬a4 ¬a9) (¬a13 a14 a3 ¬a4 a9) (¬a13 a14 a3 a4 ¬a9) |
|
|
СКНФ |
(a13 ¬a14 ¬a3 ¬a4 ¬a9) (a13 ¬a14 ¬a3 ¬a4 a9) (a13 ¬a14 ¬a3 a4 ¬a9) |
|
|
(a13 ¬a14 ¬a3 a4 a9) (a13 ¬a14 a3 ¬a4 ¬a9) (a13 ¬a14 a3 ¬a4 a9) |
|
|
(a13 ¬a14 a3 a4 ¬a9) (a13 ¬a14 a3 a4 a9) (a13 a14 ¬a3 ¬a4 ¬a9) |
|
|
(a13 a14 ¬a3 ¬a4 a9) (a13 a14 ¬a3 a4 ¬a9) (a13 a14 a3 ¬a4 ¬a9) |
|
|
(a13 a14 a3 ¬a4 a9) (a13 a14 a3 a4 ¬a9) (a13 a14 a3 a4 a9) |
|
|
|
82
Окончание табл. 3.4
|
Исх. |
(a16 a11 a4) (¬((a3 (¬a11 a15)) (a16 a11 a4))) |
|||||||||
|
|
(a11 a15 a16 ¬a3 a4) (a11 a15 a16 ¬a3 ¬a4) (a11 a15 ¬a16 ¬a3 a4) |
|||||||||
|
СДНФ |
(a11 a15 ¬a16 ¬a3 ¬a4) (a11 ¬a15 a16 ¬a3 a4) (a11 ¬a15 a16 ¬a3 ¬a4) |
|||||||||
|
|
(a11 ¬a15 ¬a16 ¬a3 a4) (a11 ¬a15 ¬a16 ¬a3 ¬a4) (¬a11 ¬a15 a16 ¬a3 a4) (¬ |
|||||||||
|
|
a11 ¬a15 a16 ¬a3 ¬a4) (¬a11 ¬a15 ¬a16 ¬a3 a4) |
|||||||||
7 |
|
(¬a11 ¬a15 ¬a16 ¬a3 ¬a4) (¬a11 ¬a15 ¬a16 ¬a3 a4) |
|||||||||
|
(¬a11 |
¬a15 |
a16 |
¬a3 ¬a4) (¬a11 |
¬a15 |
a16 |
¬a3 |
a4) |
|||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(¬a11 a15 ¬a16 ¬a3 ¬a4) (¬a11 a15 ¬a16 ¬a3 a4) (¬a11 a15 a16 ¬a3 ¬a4) (¬ |
|||||||||
|
СКНФ |
a11 a15 a16 ¬a3 a4) (a11 ¬a15 ¬a16 ¬a3 ¬a4) (a11 ¬a15 ¬a16 ¬a3 a4) (a11 ¬ |
|||||||||
|
|
a15 ¬a16 a3 ¬a4) (a11 ¬a15 ¬a16 a3 a4) (a11 ¬a15 a16 ¬a3 ¬a4) (a11 ¬a15 a |
|||||||||
|
|
16 ¬a3 a4) (a11 ¬a15 a16 a3 ¬a4) (a11 ¬a15 a16 a3 a4) |
|||||||||
|
|
(a11 a15 ¬a16 ¬a3 ¬a4) (a11 a15 ¬a16 ¬a3 a4) (a11 a15 a16 ¬a3 ¬a4) |
|||||||||
|
|
(a11 a15 a16 ¬a3 a4) (a11 a15 a16 a3 a4) |
|
||||||||
|
Исх. |
(a3 (a15 ¬a11)) (¬((a3 (a15 ¬a11)) (a16 a11 a4))) |
|||||||||
|
СДНФ |
(¬a11 a15 ¬a16 a3 ¬a4) (¬a11 a15 ¬a16 ¬a3 ¬a4) |
|||||||||
|
|
|
(¬a11 ¬a15 ¬a16 a3 ¬a4) |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
(¬a11 ¬a15 ¬a16 ¬a3 ¬a4) (¬a11 ¬a15 ¬a16 ¬a3 a4) |
|||||||||
|
|
(¬a11 ¬a15 ¬a16 a3 ¬a4) (¬a11 ¬a15 ¬a16 a3 a4) |
|||||||||
|
|
(¬a11 ¬a15 a16 ¬a3 ¬a4) (¬a11 ¬a15 a16 ¬a3 a4) (¬a11 ¬a15 a16 a3 ¬a4) (¬ |
|||||||||
x8 |
|
a11 ¬a15 a16 a3 a4) (¬a11 a15 ¬a16 ¬a3 ¬a4) (¬a11 a15 ¬a16 ¬a3 a4) (¬a11 |
|||||||||
|
a15 ¬a16 a3 ¬a4) (¬a11 a15 ¬a16 a3 a4) (¬a11 a15 a16 ¬a3 ¬a4) (¬a11 a15 a |
||||||||||
|
СКНФ |
||||||||||
|
16 ¬a3 a4) (¬a11 a15 a16 a3 ¬a4) (¬a11 a15 a16 a3 a4) |
||||||||||
|
|
(a11 ¬a15 ¬a16 ¬a3 ¬a4) (a11 ¬a15 ¬a16 ¬a3 a4) (a11 ¬a15 ¬a16 a3 ¬a4) (a1 |
|||||||||
|
|
1 ¬a15 ¬a16 a3 a4) (a11 ¬a15 a16 ¬a3 ¬a4) (a11 ¬a15 a16 a3 ¬a4) |
|||||||||
|
|
(a11 a15 ¬a16 ¬a3 ¬a4) (a11 a15 ¬a16 ¬a3 a4) (a11 a15 ¬a16 a3 ¬a4) |
|||||||||
|
|
(a11 a15 ¬a16 a3 a4) (a11 a15 a16 ¬a3 ¬a4) (a11 a15 a16 a3 ¬a4) |
|||||||||
|
|
|
|
|
(a11 a15 a16 a3 a4) |
|
|
|
|||
Появляется возможность проверить правильность значения логического сигнала на выходе в зависимости от совокупности всех возможных комбинаций логических сигналов на входе. Для описания принципов работы комбинационной цифровой схемы полностью достаточно таблицы истинности [19].
По таблицам истинности булевых функций могут быть получены совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) и совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ) любой булевой функции. СДНФ называют наиболее полную, избыточную форму записи функции. Эта форма записи представляет собой сумму, каждое слагаемое которой является произведением всех входных аргументов или их инверсий. СКНФ – это произведение сомножителей, каждый из которых является суммой всех входных аргументов или их инверсий. Кроме того, СДНФ и СКНФ должны удовлетворять ряду дополни-
83
тельных условий, в частности, в каждой элементарной конъюнкции СДНФ (или в каждой элементарной дизъюнкции СКНФ) должна один раз содержаться каждая входная логическая переменная данной функции [19].
В связи с тем, что одной и той же булевой функции могут соответствовать различные формы аналитической записи, возникает задача нахождения формы записи, при которой каждой функции будет соответствовать только одна формула стандартного вида (каноническая форма). СДНФ и СКНФ являются каноническими формами представления булевых функций, что позволяет сравнивать между собой различные функции.
Для получения СДНФ на основе таблицы истинности необходи-
мо [19]:
1.Каждый из входных наборов, на которых булева функция принимает значения 1, представить в виде элементарного произведения (конъюнкции), причем если переменная равна 0, то она войдет в конъюнкцию с инверсией, а если 1 – то без инверсии.
2.Полученные элементарные конъюнкции объединить знаками дизъюнкции.
Дляполучения СКНФ на основетаблицыистинности необходимо:
1.Каждый из входных наборов, на которых булева функция принимает значения 0, представить в виде элементарной логической суммы (дизъюнкции), причем если переменная равна 1, то она входит
вдизъюнкцию с инверсией, а если 0, – то без инверсии.
2.Полученные элементарные дизъюнкции объединить знаками конъюнкции.
В табл. 3.4 приведены СДНФ и СКНФ для логических выражений
(3.75) – (3.83).
Для оценки сложности реализации булевых функций используют сокращенную дизъюнктивную нормальную форму (ДНФ). В отличие от СДНФ, присутствие в каждой элементарной конъюнкции ДНФ каждой входной логической переменной необязательно. Любая булева формула может быть приведена к единственной сокращенной ДНФ. Для этого используются различные методы получения сокращенной ДНФ из СДНФ, например, метод Квайна-Ман-Класки (Quine McCluskey), метод карт Карно и др. Члены сокращенной формы ДНФ называют простыми импликантами функции. Сокращенная ДНФ отличается минимальным количеством импликант и минимальным набором переменных [19].
84
Имея сокращенную ДНФ, можно дать приблизительную оценку сложности реализации логической функции, подсчитав коэффициент сложности КС как сумму общего количества переменных P, вошедших в импликанты, и количества импликант I [19]:
КС=P+I. (3.84)
Т а б л и ц а 3.5. Сокращенные ДНФ, минимальные формы и значения
коэффициента сложности КС логических функций x1… x9
x1 |
Исх. форма |
(a13 a5 a4) (¬((a3 (¬a5 a14)) (a13 a5 a4))) |
КС=13 |
ДНФ |
(¬a14 ¬a3 a13) (a5 ¬a3) (¬a14 ¬a3 a5) (¬a14 ¬a3 a4) |
||
|
Мин. форма |
¬a14 ¬a3 a4 a13 ¬a14 ¬a3 ¬a3 a5 |
|
x2 |
Исх. форма |
(a3 (a14 ¬a5)) (¬((a3 (a14 ¬a5)) (a13 a5 a4))) |
КС=10 |
ДНФ |
(¬a13 ¬a5 ¬a4 a3) (¬a13 ¬a5 ¬a4 a14) |
||
|
Мин. форма |
¬a13 a14 ¬a4 ¬a5 ¬a13 a3 ¬a4 ¬a5 |
|
x3 |
Исх. форма |
(a15 a7 a4) (¬((a3 (¬a7 a16)) (a15 a7 a4))) |
КС=13 |
ДНФ |
(¬a16 ¬a3 a15) (a7 ¬a3) (¬a16 ¬a3 a7) (¬a16 ¬a3 a4) |
||
|
Мин. форма |
¬a16 ¬a3 a4 a15 ¬a16 ¬a3 ¬a3 a7 |
|
x4 |
Исх. форма |
(a3 (a16 ¬a7)) (¬((a3 (a16 ¬a7)) (a15 a7 a4))) |
КС=10 |
ДНФ |
(¬a15 ¬a7 ¬a4 a3) (¬a15 ¬a7 ¬a4 a16) |
||
|
Мин. форма |
¬a15 a16 ¬a4 ¬a7 ¬a15 a3 ¬a4 ¬a7 |
|
x5 |
Исх. форма |
(a14 a9 a4) (¬((a3 (¬a9 a13)) (a14 a9 a4))) |
КС=13 |
ДНФ |
(¬a13 ¬a3 a14) (a9 ¬a3) (¬a13 ¬a3 a9) (¬a13 ¬a3 a4) |
||
|
Мин. форма |
¬a13 ¬a3 a4 ¬a13 a14 ¬a3 ¬a3 a9 |
|
x6 |
Исх. форма |
(a3 (a13 ¬a9)) (¬((a3 (a13 ¬a9)) (a14 a9 a4))) |
КС=10 |
ДНФ |
(¬a14 ¬a9 ¬a4 a3) (¬a14 ¬a9 ¬a4 a13) |
||
|
Мин. форма |
a13 ¬a14 ¬a4 ¬a9 ¬a14 a3 ¬a4 ¬a9 |
|
x7 |
Исх. форма |
(a16 a11 a4) (¬((a3 (¬a11 a15)) (a16 a11 a4))) |
КС=13 |
ДНФ |
(¬a15 ¬a3 a16) (a11 ¬a3) (¬a15 ¬a3 a11) (¬a15 ¬a3 a4) |
||
|
Мин. форма |
¬a15 ¬a3 a4 ¬a15 a16 ¬a3 a11 ¬a3 |
|
x8 |
Исх. форма |
(a3 (a15 ¬a11)) (¬((a3 (a15 ¬a11)) (a16 a11 a4))) |
КС=10 |
ДНФ |
(¬a16 ¬a11 ¬a4 a3) (¬a16 ¬a11 ¬a4 a15) |
||
|
Мин. форма |
¬a11 a15 ¬a16 ¬a4 ¬a11 ¬a16 a3 ¬a4 |
|
x9 |
Исх. форма |
a1 a2 a6 a8 a10 a12 |
КС=7 |
ДНФ |
a1 a2 a6 a8 a10 a12 |
||
|
Мин. форма |
a1 a2 a6 a8 a10 a12 |
|
В сокращенной ДНФ могут содержаться члены, устранение которых никаким образом не влияет на значения функции. В ряде случаев возможно дальнейшее упрощение логической функции – приведение ее к минимальной форме. Существуют несколько способов минимизации булевых функций. Это аналитический символьный и аналитический кодовый методы, метод Квайна-Мак-Класки, метод БлекаПорецкого, метод обобщенных кодов и графическая минимизация с
85
помощью карт Карно. Метод Квайна-Мак-Класки считается одним из наиболее эффективных, т.к. лишен некоторых недостатков метода Карно, и может быть применен при любом количестве переменных. Он основан на преобразовании СДНФ с помощью операций неполного склеивания и поглощения [19].
В табл. 3.5 приведены сокращенные ДНФ и минимальные формы, полученные по методу Квайна-Мак-Класки, а также значения КС для логических выражений (3.75) – (3.83).
3.7. Структура математической модели процесса управления положениемплатформыстроительноймашинысприменениемЭВМ
В качестве инструмента для реализации разработанного математического аппарата был выбран программный комплекс MATLAB R2009а и его пакетное приложение Simulink, дающее возможность визуально-блочного программирования и всестороннего исследования полученной модели [4, 27].
На рис. 3.36 представлена модель системы управления положением платформы, выполненная в виде последовательно соединенных подсистем с множеством входных и выходных параметров. Составленное математическое описание системы управления положением платформы позволяет учитывать множество конструктивных особенностей машины при изучении процесса управления платформой.
Для того, чтобы определить, как работает данная модель, была смоделирована ситуация, когда платформа имеет наклон αx = 3° (по оси X) и αy = 2° (по оси Y). На рис. 3.37 схематично показана платформа, имеющая наклон по двум осям: X и Y.
На рис. 3.38 представлен график переходного процесса работы системы. На графике показана зависимость изменения угла наклона платформы αz от времени. На рис. 3.39 представлен график переходного процесса работы всей системы. На графике показаны зависимости положений штоков гидроцилиндров опор от времени.
Составленные расчетные схемы и аналитические зависимости позволили разработать сложную математическую модель процесса управления и исследовать ее характеристики. Разработанная математическая модель процесса управления положением платформы строительной машины позволяет проводить теоретические исследования и легко реализуется на ПЭВМ с помощью программного комплекса
MATLAB и его приложения Simulink.
86
87
Рис. 3.36. Модель системы управления положением платформы, выполненная в обозначениях Simulink
2
1
|
O2 |
|
|
O1 |
|
|
|
3 |
4 |
Положение 2 |
∆αx =3° |
|
||
|
Положение 1 |
X |
|
|
X' |
Рис. 3.37. Платформа, имеющая наклон по двум осям: X и Y
Рис. 3.38. График зависимости αz от времени
Рис. 3.39. График зависимости L1, L2, L3, L4 от времени
Y
Y'
∆αy=2°
88
Предложенный алгоритм работы устройства управления позволяет выполнять выравнивание платформы строительной машины максимально быстро и просто.
4. РЕЗУЛЬТАТЫ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ ПРОЦЕССА УПРАВЛЕНИЯ ПОЛОЖЕНИЕМ ПЛАТФОРМЫ СТРОИТЕЛЬНОЙ МАШИНЫ
Целью теоретических исследований являлся анализ и синтез основных параметров процесса управления положением платформы строительной машины на основе математической модели процесса управления положением платформы строительной машины.
4.1. Обоснование параметров, подлежащих исследованию
Предварительным этапом теоретических исследований математической модели процесса управления положением платформы строительной машины выступало распределение параметров модели на три основные группы:
1)параметры, имеющие фиксированные значения;
2)параметры, носящие случайный характер;
3)параметры, варьируемые в процессе исследования.
Данное разделение параметров необходимо для определения области исследований и выявления параметров, влияющих на процесс управления положением платформы строительной машины.
К фиксированным параметрам математической модели процесса управления положением платформы следует относить:
геометрические и физические параметры платформы: a, b,
mплат;
геометрические и |
физические |
параметры |
гидропривода: |
|
Lmin конт, Lmax констр, Lmin пред, |
Lmax пред, Rmin, Rцил , kл, |
dл, |
Lл , Eж, Eл , δл, |
|
λл, ρж, νж, Lлин, Lсл, dц, dш, ц, Ец, μб, fб, |
fлн, μлс, |
fлс, |
c1, с2, с3, m зол, |
|
mц, зол; |
|
|
|
|
параметры системы управления: заданные значения αzзад. Параметром математической модели процесса управления по-
ложением платформы строительной машины, имеющим случайный характер, является начальный угол наклона платформы в горизонтальной плоскости αz.
89