2261

02

Сучётом нового обозначения уравнение (55) можно записать в

виде:

А xст,

где коэффициент динамичности.

Коэффициент динамичности показывает во сколько раз амплитуда установившихся вынужденных колебаний А больше статическо-

H

го перемещения xcт C . вызванного статически приложенной си-

лой Н.

Для случая, когда сила H не зависит от угловой частоты , за-

висимость коэффициента динамичности от отношения частот

0

можно представить в виде графика, который называется “резонансная кривая’’ (рис. 10).

Как видно из резонансной кривой, представленной на рис. 11, с возрастанием частоты возмущающей силы от нуля коэффициент

динамичности увеличивается и при 1, стремится к бесконечно-

0

- 30 -

сти , а, следовательно, и амплитуда колебаний стремится к бесконечности.

При дальнейшем возрастании частоты коэффициент динамично-

сти постепенно убывает и при соотношении 2 становится

0

меньше единицы - в этой области динамический эффект вынуждающей силы слабее, чем при её статическом действии. Этим свойством часто пользуются в технике – для уменьшения колебаний объектов под действием гармонических вынуждающих сил, уменьшают жёст-

ется, повышается отношение , снижается коэффициент динамич-

0

ности.

Согласно уравнению (52) при ω < ω0 колебания совпадают по фазе с вынуждающей силой, а когда ω > ω0 колебания находятся в противофазе с вынуждающей силой.

На рис. 12 изображена фазо-частотная характеристика вынужденных колебаний системы без учёта трения: – угол сдвига фаз между вынуждающей силой и колебаниями системы; частота вынуждающей силы.

- 31 -

В центробежных вибраторах, а также в машинах с неуравновешенным ротором роль возмущающей силы играет центробежная сила, величина которой зависит от частоты вращения вала. Обозначив

m R D,

(где m – масса вращающегося тела, R – расстояние от центра масс до оси вращения), получим

Подставив выражение (57) в уравнение (53), получим

- 32 -

при центробежном возбуждении колебаний

При неограниченном возрастании частоты возмущающего воздействия , амплитуда колебаний стремится не к нулю, как на

рис. 11, а к значению D. m

1.10. Вынужденные колебания диссипативной системы (с учётом трения)

Влияние трения на вынужденные колебания, происходящие вдали от резонансных режимов, обычно невелико и в практических расчётах им чаще всего пренебрегают. Однако, вблизи резонанса учёт трения становится необходимым – без этого ошибки в определении амплитуды вынужденных колебаний становятся недопустимо большими.

1.10.1.Вынужденные колебания диссипативной системы

слинейным трением при действии гармонической вынуждающей силы

Уравнение вынужденных колебаний диссипативной системы можно получить из уравнения (33), дополнив его правую часть выражением для вынуждающей силы. В случае гармонической вынуждающей силы уравнение вынужденных колебаний принимает вид:

- 33 -

Разделив обе части уравнения на массу, получим:

где H – амплитуда вынуждающей силы, h – коэффициент демпфирования, 0 угловая частота собственных колебаний системы, угловая частота колебаний вынуждающей силы.

Полагая, h 0, запишем общий интеграл уравнения (59).

угол, характеризующий отставание фазы перемещения от фазы вынуждающей силы.

2h tg 02 2 ,

где угловая частота вынуждающей силы.

Первая часть решения дифференциального уравнения (60) представляет собой колебания с частотой , которые с течением времени затухают и становятся пренебрежимо малыми.

- 34 -

Основное значение имеет вторая часть общего решения (чисто вынужденные колебания).

m ( 02 2 )2 4h2 2

Это уравнение описывает незатухающие установившиеся колебания, происходящие с частотой возбуждающей силы.

При близких значениях частот 0 и ( 0 ) результирующее движение носит характер биений, которые постепенно затухают.

Амплитуда установившихсяколебаний определяется выражением:

Коэффициент динамичности показывает во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний А превышает статическую деформацию xcт под действием постоянно приложенной силы Н.

Зависимость коэффициента динамичности от отношения час-

тот изобразим на рис. 14 в виде графика (резонансная кривая с

0

учётом сил трения) для различных значений 2h, характеризующих

0

демпфирующее действие линейного трения.

Максимум кривых f( ) на рис. 14 лишь незначительно

0

смещены влево от значения 1, поэтому резонансные значения

0

динамического коэффициента определяют из выражения (64), принимая 0 .

В результате получаем:

- 36 -

Выражение (67) можно представить в виде:

Ранее мы записывали выражение для логарифмического декремента затухания (41):

h T.

Резонансное значение динамического коэффициента называют добротностью системы. Чем выше добротность, тем острее резонансный пик.

Фазовая частотная характеристика системы с трением имеет вид, представленный на рис. 15.

-(p/ 2) -p

Рис. 15. Фазовая частотная характеристика диссипативной системы

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) системы с трением показывает, что с увеличением частоты вынуждающих колебаний угол сдвига фаз между колебаниями системы и колебаниями вынуждающей силы также увеличивается. При 0 угол сдвига фаз

- 37 -

достигает минус (90 ), при дальнейшем увеличении частоты вы-

2

нуждающей силы угол сдвига фаз стремится к значению минус

(180 ).

1.10.2. Вынужденные колебания диссипативной системы

сцентробежным возбуждением колебаний

Ввибрационных машинах часто применяется центробежное возбуждение колебаний, когда в роли вынуждающей силы выступает центробежная сила или её проекция на определённое направление. При равномерном вращении неуравновешенных элементов – дебалансов – амплитуда вынуждающей силы пропорциональна квадрату угловой частоты вращения.

где m0 масса дебаланса, R – расстояние от центра тяжести дебаланса до оси вращения.

Подставив выражение (70) в уравнение (62), получим:

Здесь m1 масса системы, совершающейвынужденныеколебания.

Рис. 16. Колебательная система

- 38 -

с центробежным возбуждением колебаний

На рис. 16 изображена расчётная схема колебательной системы с центробежным возбуждением колебаний.

Исследовав выражение (71) на экстремум, найдём максимальное значение амплитуды:

Резонансная частота

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) системы с центробежным возбуждением представлена на рис. 17.

Рис. 17. АЧХ системы с центробежным возбуждением колебаний

- 39 -