2261
.pdf
При параллельном соединении
C |
2Н / м 18Н / м 20Н / м. |
При последовательном соединении
C |
|
18 2 |
|
36 |
1,8Н / м. |
|
|
||||
|
18 2 20 |
||||
Деформации
1кг 9,8м/ с2 0,49м;
20Н / м
1кг 9,8м/ с2 5,44м.
1,8Н / м
Ответ: 20Н/м, 1,8Н/м, 0,49м, 5,44м.
Задача 4
Груз подвесили к концу вертикальной пружины и отпустили без начальной скорости (рис. 50). Определить закон колебаний груза, если в равновесном состоянии он растягивает пружину на величину СТ (статическое удлинение пружины).
Рис. 50. Расчетная схема подвеса груза
- 90 -
Решение
Поместим начало координат О в положение статического равновесия груза и направим ось Х вертикально вниз. Сила упругости
F C l,
где l X СТ – суммарная деформация пружины.
F C( X СТ ). |
(121) |
Составим дифференциальное уравнение движения:
m X C( X СТ ) mg. |
(122) |
Подставив в уравнение (122) выражение mg C СТ , получим
m X C СТ CX C СТ 0.
В итоге получим дифференциальное уравнение
. m X CX 0
Разделим обе части уравнения на m:
|
C |
|||
X |
|
X 0. |
||
Введём обозначение |
m |
|||
|
|
C |
|
|
|
|
|
02; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
X 02 X 0.
Интеграл этого дифференциального уравнения:
X C1 sin 0t C2 cos 0t
(123)
(124)
(125)
(126)
- 91 -
В данном уравнении – два неизвестных С1иС2. Чтобы найти два неизвестных нужно иметь второе уравнение. Для этого продифференцируем выражение (126) по времени:
|
dX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
0 |
C |
cos |
t |
0 |
C |
2 |
sin |
t. |
(127) |
|
dt |
|
1 |
0 |
|
|
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Постоянные интегрирования С1иС2 находим из уравнений (126) и (127) подставляя данные в момент t = 0 (при начальных условиях). В нашем случае при t = 0 начальное перемещение X X0 СТ , начальная скоростьX X0 0, учитывая что при t = 0
sin 0t 0,cos 0t 1 из уравнений (126) и (127) получим:
СТ С2 1; |
(128) |
0 0 С1. |
(129) |
Из уравнений (128) и (129) получаем
С2 СТ ;
С1 0.
Подставляя значения С1иС2 в общее решение дифференциального уравнения (126) получим уравнение колебаний груза.
X СТ cos 0t
Ответ: X СТ cos 0t,
где 0 
С ; С – коэффициент жёсткости пружины Н / м ; m – масса
m
груза [кг]; СТ – статическая деформация пружины от веса груза [м].
- 92 -
2.2.2.Задачи для самостоятельного решения
1.Дифференциальное уравнение движения имеет вид:
X + 26 X = 36sin (4t + 0,9).
Найти период и частоту вынужденных колебаний, амплитуду, коэффициент динамичности.
2.На груз массой 0,2 кг, подвешенный на пружине с коэффициентом жесткости 15 Н/м действует возмущающая сила F=0,6 sin 2t
Определить период, частоту и амплитуду вынужденных колеба-
ний.
3.Дифференциальное уравнение вертикальных колебаний тела, подвешенного на пружине с коэффициентом жёсткости 25 Н/м имеет вид:
X + 5X = 1,5 sin (3t + 4).
Определить максимальное значение возмущающей силы.
4.Тело массой 1,5 кг подвешено на пружине с коэффиценто жёсткости 150 Н/м и совершает вынужденные колебания под действием возмущающей силы F = 24sin t. Определить статическую деформацию, амплитуду вынужденных колебаний , а также угловую частоту возмущающей силы, при которой наступит резонанс.
5.Дифференциальное уравнение колебательного движения тела массой 8 кг имеет вид:
X + 12X + 64X = 18 sin 4t.
Определить коэффициент динамичности и амплитуду вынужденных колебаний.
6. Дифференциальное уравнение колебательного движения груза, подвешенного к пружине, имеет вид
X 20x 0.
Определить массу груза, если коэффициент жесткости пружины
С=150 Н/м.
Ответ: 7,5кг.
- 93 -
7.Определить период колебаний тела, подвешенного к вертикальной пружине, если статическая деформация пружины пружиныст 20см. Известно С=10 Н/м. Найти массу тела .
8.Определить частоту свободных вертикальных колебаний груза массой m = 10 кг, подвешенного на двух пружинах, если их эквивалентный коэффициент жесткости = 3,6 Н/м (рис. 51; 52).
С1 7,2Н / м ; С2 7,2Н м ; m =10 кг
Рис. 51. Последовательное |
Рис. 52. Параллельное |
соединение пружин |
соединение пружин |
Ответ: Т = 0,955 с.
9.Тело, подвешенное к пружине с жесткостью С = 700 Н/м совершает свободное вертикальные колебания с амплитудой А = 0,2м.
Определить массу тела, если колебания начались из положения статического равновесия с начальной скоростью 4 м/с .
Ответ: 1,75 кг.
10.Определить частоту свободных вертикальных колебаний груза массой m = 2кг, если С1 С2 С3 300Н / м (рис. 53).
Ответ: f0 10 рад.
с
Рис. 53. Схема последовательно-параллельного соединения пружин
- 94 -
2.3. Контрольные задания и тесты для самопроверки по дисциплине «Теория колебаний и вибрационная техника»
1)В каких единицах измеряется период колебаний в системе СИ?
а) секунда; б) герц;
в) радиан в секунду.
2)В каких единицах измеряется линейная частота колебаний в системе СИ?
а) секунда; б) герц;
в) радиан в секунду.
3)В каких единицах измеряется угловая частота колебаний в системе СИ?
а) секунда; б) герц;
в) радиан в секунду.
..
4)Уравнение mx cx 0 – это:
а) уравнение свободных колебаний без учёта трения; б) уравнение вынужденных колебаний с учётом трения;
в) уравнение вынужденных колебаний без учёта трения.
.. .
5)Уравнение mx bx cx 0 – это:
а) уравнение вынужденных колебаний; б) уравнение свободных колебаний без учёта трения;
в) уравнение затухающих свободных колебаний.
..
6) Уравнение mx cx H sin( t 0 ) – это:
а) уравнение затухающих свободных колебаний; б) уравнение вынужденных колебаний с учётом диссипативных
сил;
в) уравнение вынужденных колебаний без учёта трения.
.. .
7) Уравнение mx bx cx H sin( t 0 ) – это:
а) уравнение свободных колебаний с учётом диссипативных
сил;
б) уравнение вынужденных колебаний с учётом сил трения;
- 95 -
в) уравнение свободных колебаний без учёта сил трения.
8)Период колебаний математического маятника зависит от:
а) массы маятника; б) длины подвеса;
в) длины подвеса и ускорения свободного падения.
9)Увеличение коэффициента затухания в уравнении колебаний с учётом диссипативных сил:
а) увеличивает период собственных колебаний системы; б) снижает период собственных колебаний системы; в) не влияет на период собственных колебаний системы.
10)Центробежные вибровозбудители могут возбуждать:
а) только круговые колебания; б) колебания только направленного действия;
в) колебания круговые и направленного действия.
11) «Виброкипение» сыпучего материала возникает при:
а) ускорении частиц менее ускорения свободного падения; б) ускорении частиц близким к ускорению свободного падения;
в) ускорении частиц большим чем ускорение свободного паде-
ния.
12) Вибрационные воздействия:
а) снижают углы внутреннего и внешнего трения сыпучего материала;
б) увеличивают углы внутреннего и внешнего трения сыпучего материала;
в) не влияют на углы внутреннего и внешнего трения сыпучего материала.
13) Воздействие вибрации на изделия из хрупких материалов приводит к:
а) повышению прочности материала; б) снижению прочности материала;
в) внезапному разрушению материала даже при незначительных нагрузках.
14)Вибрационные сортировочные машины сортируют сыпучие материалы:
а) по плотности материала зёрен; б) по размеру зёрен; в) по материалу зёрен.
15)При определении момента инерции машины (или детали) по методу физического маятника необходимо измерить:
-96 -
а) период колебаний физического маятника; б) длину математического маятника, колеблющегося синхронно;
в) период колебаний математического маятника.
16)При определении момента инерции машины (или детали) по методу приведённой длины необходимо измерить:
а) период колебаний физического маятника; б) длину математического маятника, колеблющегося синхронно;
в) период колебаний математического маятника.
17)Число степеней свободы колебательной системы определяется:
а) числом колеблющихся масс; б) количеством упругих элементов в системе;
в)количеством независимых координат, определяющих положе-
ние элементов системы.
18) Гармонические колебания – это:
а) периодические колебания, содержащие высшие гармоники; б) периодические колебания, содержащие низшие гармоники; в) периодические колебания, описываемые функцией синуса и
косинуса.
19) При гармонических колебаниях:
а) вектор виброускорения опережает вектор виброперемещения на угол 90º;
б) вектор виброускорения опережает вектор виброперемещения на угол 180º;
в) вектор виброускорения отстаёт от вектора виброперемещения на угол 90º.
20) При гармонических колебаниях:
а) вектор виброскорости опережает вектор виброперемещения на угол 90º;
б) вектор виброскорости опережает вектор виброперемещения на угол 180º;
в) вектор виброскорости отстаёт от вектора виброперемещения на угол 90º.
21) Упруго-вязкий элемент Кельвина-Фохта это:
а) последовательное соединение упругого элемента и элемента вязкого трения;
б) параллельное соединение упругого элемента и элемента вязкого трения;
- 97 -
в) параллельно-последовательное соединение упругих элементов и элементов вязкого трения.
22) Собственная угловая частота колебательной системы определяется по формуле:
c
а) 0 m;
б) 0 
c ; m
в) 0 |
1 |
|
c |
, где с – коэффициент упругости, Н/м; m – масса, |
|
|
|||
|
2 |
m |
||
кг.
23) Период собственных колебаний системы без учёта диссипативных сил определяются по формуле:
а) T 2 |
m |
; |
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
c |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
б) T |
1 |
|
|
|
|
|
m |
; |
|||||
|
|
|
|
||||||||||
0 |
|
2 |
|
|
|
c |
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
в) T |
|
|
|
|
|
c |
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
0 |
|
2 |
|
|
|
m |
|||||||
24) Линейная частота собственных колебаний системы определяются о формуле:
а) |
f0 |
2 |
|
c |
; |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
m |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
f0 |
|
|
|
|
|
c |
; |
|
|
||||||
2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
в) |
f0 |
|
|
|
|
|
|
m |
. |
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|||||
25) В уравнении x A sin 0t 0 , |
0 |
– это: |
||||||||||||||
а) начальная амплитуда колебаний; |
|
|||||||||||||||
б) начальная фаза колебаний; |
|
|
||||||||||||||
в) |
начальная скорость колебаний. |
|
|
|||||||||||||
26) В уравнении x A sin 0t 0 , |
A- |
это: |
||||||||||||||
а) начальная фаза колебаний; |
|
|
||||||||||||||
б) амплитуда колебаний; |
|
|
||||||||||||||
в) амплитуда возмущающей силы. |
|
|
||||||||||||||
27) В уравнении x A sin 0t 0 , |
0 |
– это: |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
- 98 - |
|
|
|||||||
а) линейная частота возмущающей силы; б) угловая частота собственных колебаний; в) виброускорение, действующее на систему.
28) Из уравнения x A sin 0t 0 следует, что:
а) увеличение амплитуды колебаний уменьшает частоту и увеличивает период колебаний;
б) уменьшение амплитуды колебаний уменьшает частоту и увеличивает период колебаний;
в) изменение амплитуды колебаний не влияет на частоту и период колебаний.
29)Колебания, частота которых не зависит от амплитуды, называется:
а) изохронными ; б) изохорными; в) асинхронными.
30)При закритическом демпфировании движение системы носит:
а) характер колебаний; б) апериодический характер; в) движение отсутствует.
31)При докритическом демпфировании движение системы носит :
а) характер колебаний; б) апериодический характер; в) движение отсутствует.
32)При затухающий колебаниях отношение двух последовательных максимальных отклонений A( t) и A (t + T) является:
а) постоянной величиной; б) величиной , которая уменьшается с течение времени;
в) величиной , которая возрастает с течением времени.
33)Логарифмический декремент затухания это:
а) десятичный логарифм отношения двух максимальных откло-
нений A(t) и A (t +T);
б) натуральный логарифм отношения двух последовательных максимальных отклонений A(t) и A (t + T);
в) логарифм по основанию π отношения двух последовательных максимальных отклонений A (t) и A (t + T).
34) При вынужденных колебаниях системы без учета диссипативных сил амплитуда колебаний находится, как:
- 99 -