5.4.Электродинамические силы в кольцевом витке и между кольцевыми витками

5.5. Электродинамические силы при однофазном переменном токе

5.6. Электродинамические силы при трехфазном переменном токе

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1943.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

2.26 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 2322 23 > Следующая >>>

Вопросы для самоконтроля

1.Как определить модуль магнитной индукции в перегнутом под прямым углом проводнике круглого сечения, по которому течёт ток короткого замыкания?

2.Как вычислить ЭДУ, возникающее между перпендикулярными проводниками при коротком замыкании?

3.Во сколько раз возрастёт ЭДУ при коротком замыкании, если ток короткого замыкания в 30 раз оказался выше номинального?

4.Если проводник имеет несколько изгибов, то при токе короткого замыкания что будет происходить с этими изгибами? Будут ли они выпрямляться или изгибаться ещё сильнее?

виток, по которому течёт ток I (рис. 5.4).

ИF FyR2FxДh

	А
б			R1	∆
и		Рис. 5.5. ЭДУ между двумя витками
		Рис. 5.5. ЭДУ между двумя витками

В таком витке возн кают радиальные силы fR , стремящиеся увеличить

его периметр, то есть разорвать виток. Магнитная индукция в центре этого витка определится из (5.3) и в данном случае будет равна

Idl sin

B С= ∫dB = ∫

. =

∫dl =

2πR

(5.20)

4πR2

4π

4πR2 l

где R − радиус витка.

Тогда сила Ампера, стремящаяся разорвать виток, согласно (5.2) и

(5.20), будет равна

= IBl sin π = I

µ0I

2πR = µ πI 2.

(5.21)

Данную формулу можно применять не только к одному витку, но и к обмотке с любым числом витковw. Только в этом случае за значение тока следует принимать магнитодвижущую силу Iw , и сила, стремящаяся разорвать обмотку катушки, будет в самом общем случае равна

F	= µ π(Iw)2.	(5.22)
R	0
	112

Теперь рассмотрим электромагнитные взаимодействия между отдельными кольцевыми витками с током. Пусть имеется два витка с радиусами R1 и R2 , по которым текут токи I1 и I2 соответственно.

Расстояние между ними равно h (рис.5.5).

Значение соответствующих сил взаимодействия в этом случае можно оценить по следующим приближённым формулам:

где ∆ = R2 − R1 (см. рис.5.5); I1, I2 − токи в соответствующих витках.

Зависимости этих сил от расстояния между витками представлены на рис. 5.6.

	Fx				Fy


	а)				И
	а)				б)
				Д
				Д
0			А			0	h
0			h			0	h
		б					Fx (h) ; б) – Fy (h)
Рис. 5.6.Зависимости сил взаимодействия между витками: а) –							Fx (h) ; б) – Fy (h)
	и
Вопросы для самоконтроля
	С

1. Чему равен модуль магнитной индукции в центре кольцевого витка с током?

2. Чему равна сила Ампера, стремящаяся разорвать виток? 3. Чему равна сила, стремящаяся разорвать обмотку катушки?

Полученные выше уравнения для вычисления ЭДУ справедливы и для сетей переменного тока. При этом ЭДУ будут иметь, как и ток, переменный характер. Сначала рассмотрим силы, действующие между параллельными проводниками в сети однофазного переменного тока.

Пусть по параллельным проводникам течёт ток i1 = i2 = i = Im sinωτ . Из

(5.11) следует, что между ними возникает ЭДУ
f = c i2	= c I	m	2 sin2 ωt =	1 c I	m	2 −	1 c I	m	2 cos2ωτ,	(5.25)
1	1	m		2 1	m		2 1	m

113

где c1 = 4µπ0 k Kф − объединяющий все поправки постоянный коэффициент,

Гн/м; параметры переменного тока: Im – амплитуда, А, и угловая частота, с-1; τ − время, с.

Данное усилие состоит из двух составлявших:	f		=	1 c I	m	2	−
		−		2 1	m

постоянной составляющей и f≈ = 12 c1Im2 cos2ωτ − переменной.

Переменная составляющая ЭДУ при этом меняется с удвоенной частотой относительно частоты переменного тока (рис.5.7).

а)

ωτ , рад

− Im

б)

f−

ωτ , рад

Рис. 5.7.Временные диаграммы: а) – тока и б) – ЭДУ

Общее электрод намбческое усилие

будет меняться

только по

величине в интервале 0 ≤ f ≤ c I

2 , не меняя своего направления.

Таким образом, максимальное ЭДУ здесь будет

= c I

2 = 2c I 2

(5.26)

где I =

− действующее значение переменного тока.

Из этого следует, что при однофазном переменном токе значение ЭДУ в два раза больше, чем при постоянном токе, эквивалентном данному.

Кроме того, если при постоянном токе значение тока короткого замыкания равно некоторому установившемуся значению I уст , то при

переменном токе в зависимости от момента короткого замыкания первая амплитуда ударного тока I удm может значительно превосходить значение

тока I уст. Экспериментально установлено [3, с. 13 – 14], что

I удm = k удIm = k уд

(5.27)

114

где kуд − ударный коэффициент, зависящий от момента возникновения короткого замыкания (kуд =1 1,8).

Тогда максимальное ЭДУ в этом случае может составить

F		=c	(I		)2 =c (1,8		2 I 2 = 6,48c I 2	,	(5.28)
	удm			удm		2)
		1			1		1

то есть электродинамическое усилие здесь может почти в шесть с половиной раз превзойти ЭДУ при постоянном токе, значение которого соответствует действующему значению данного переменного тока.

Вопросы для самоконтроля

1. По какому закону изменяется величина ЭДУ в сети однофазного переменного тока?

2. Почему в отличие от переменного тока ЭДУ не меняется по направлению?

3. Какие явления следует учитывать при вычислении возможных

значений ЭДУ при коротком замыкании в сети однофазного

переменного тока?

4. Чем объяснить возможность более чем шестикратного увеличения

ЭДУ при однофазном переменном токе?

Fx = µ0I1I2

Fy = µ0I1I2

В обычной трёхфазной сети токи в фазах сдвинуты на 120°, то есть

i1 = Im sinωτ ,

(5.29)

= Im sin(ωτ −120°) ,

(5.30)

i3 = Im sin(ωτ +120°) .

(5.31)

Рассмотрим случай, когда проводники лежат в одной плоскости и

параллельны друг другу (р

с.5.8).

Рис. 5.8. Схема расположения проводников трёхфазного тока

Введём обозначения:

F12 − сила электромагнитного взаимодействия между проводниками 1

и 2, Н/А2;

F13 − сила электромагнитного взаимодействия между проводниками 1

и 3, Н/А2.

Тогда полная сила, действующая на проводник 1, определится выражением

f1 = F12i1i2 + F13i1i3.

(5.31)

115

Используя (5.29) и (5.30), вычислим величину

i1i2 = Im sinωτ Im sin(ωτ −120°) = Im2 sinωτ [sinωτ cos120°−sin120°cosωτ] =

1 sinωτ −

cosωτ] =

Im2

(−2sin2 ωτ −

2sinωτ cosωτ )=

= Im2 sinωτ [−

Im2

(−(1−cos2ωτ) −

sin 2ωτ )=

Im2

(cos2ωτ −1−

sin 2ωτ ).

Поскольку Im =

I , то из последнего выражения следует

i i

I 2

(cos2ωτ −1−

sin 2ωτ ).

(5.32)

1 2

Затем, используя (5.29) и (5.31), вычислим величину

i i

= I

sinωτ I

sin(ωτ +120°) = I

2 sinωτ [sinωτ cos120°+sin120°cosωτ] =

1 3

Im2

(−2sin2

2sinωτ cosωτ )

= Im2 sinωτ [−1 sinωτ +

cosωτ] =

ωτ +

Im2

(−(1−cos2ωτ) +

sin 2ωτ )=

Im2

(cos2ωτ −1+

sin 2ωτ ).

Подставив Im =

I , окончательно получим

i i

(cos2ωτ −1+

sin 2ωτ ).

(5.33)

1 2

В (5.31) подставим (5.32) и (5.33)Д. После преобразований получим

f =

[(F

− F )

3 sin 2ωτ − (F

− F )(1

− cos2ωτ)].

(5.34)

В отличие от однофазного тока здесь ЭДУ меняется не только по

величине, но и по направленбю (по знаку) в зависимости от времени.

Если проводн ки (р с. 5.8) расположены на равном расстоянии a друг

от друга и их длина много больше этого расстояния (l >> a),

то F13 ≈ 2 F12 .

Это с тем, что при l >> a из (5.10) следует k =

−

≈

. Тогда

= 2l

, k

≈

1 k

и, следовательно,

≈

1 F

. В этом

2 12

случае из (5.34) получим

I 2

f =

[3cos2ωτ − 3 sin 2ωτ −3].

(5.35)

1 4

Если данная сила имеет положительный знак, то это сила притягивания проводника 1, а если отрицательный – то сила отталкивания.

Найдём максимумы и минимумы такой силы. Для этого исследуем на экстремум функцию

116

f (x) = 3cos x −		sin x −3,	(5.36)
	3

где с целью сокращения записи за x обозначена величина 2ωτ .

Для нахождения экстремальных точек найдём производную функции f (x) и приравняем её к нулю:

′

3 cos xm = 0,

(x) = −3sin xm −

откуда tg xm = −

;

+πn =πn − 30°.

= arctg −

1,2

При n = 0

= −30° и

f (−30°) = 3

−

1) −3 = 2

−3 = 0,464 –

3(−

это максимум.

При n =1

xm2

=π −30° =150° и

−

−3 = −6,464

f (150°) = 3

– это минимум.

Тогда максимальная сила притяжения проводника 1

F I 2

I 2 ,

f (−30°) = 0,116F

(5.37)

1пр

мах

а максимальная сила отталкивания проводника 1

F I 2

I 2.

f (150°)

= −1,616F

(5.38)

1от

мах

Исходя из соображений симметрии (см. рис. 5.8), силы, действующие на проводник 3, будут такими же, как и силы, действующие на проводник 1,

но противоположны по направлению.

Для определен я ЭДУ, действующих на проводник 2 (средний),

необходимо выч сл ть вел ч ну i2i3 .

Используя

(5.30)

и (5.31),

получим

Сm

sin(ωτ +120°) = I

2[sinωτ cos120°−sin120°cosωτ]×

i = I

sin(ωτ

−

120°) I

2 3

×[sinωτ cos120°+sin120°cosωτ]

= Im

[

sin

ωτ −

cos

ωτ

] = −

(cos2ωτ +

I 2

+ 2cos

ωτ) = −

(cos2ωτ +1+cos2ωτ )

= −

(1+ 2cos2ωτ ).

Тогда

f2 = F12i1i2 + F23i2i3 .

Подставляя сюда найденное i2i3

и i1i2 из

(5.33),

получим

I 2

[−F

− F +(F −2F

)cos2ωτ −

sin 2ωτ].

(5.39)

При равных токах и равных расстояниях

F23 = F12 . Поэтому

I 2F

f2 =

[−2 −cos2ωτ −

3 sin 2ωτ] =

ϕ(x),

(5.40)

где ϕ(x) = −2 − cos x −

sin x, x = 2ωτ .

Найдём

экстремальные

точки для

данной функции. Для этого её первую производную приравняем к нулю:

117

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 2322 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.20212.25 Mб41939.pdf
#
07.01.2021341.93 Кб13194.pdf
#
07.01.20212.25 Mб21940.pdf
#
07.01.20212.25 Mб71941.pdf
#
07.01.20212.25 Mб241942.pdf
#
07.01.20212.26 Mб661943.pdf
#
07.01.20212.26 Mб141944.pdf
#
07.01.20212.27 Mб81945.pdf
#
07.01.20212.27 Mб91946.pdf
#
07.01.20212.27 Mб41947.pdf
#
07.01.20212.27 Mб201948.pdf